Метод доминирующего баланса

В математике метод доминирующего баланса аппроксимирует решение уравненияпутем решения упрощенной формы уравнения, содержащей 2 или более членов уравнения, которые больше всего влияют (доминируют) на решение, и исключая члены, вносящие лишь небольшие изменения в это приближенное решение. После первоначального решения итерация процедуры может генерировать дополнительные члены асимптотического разложения, обеспечивающие более точное решение.

Ранним примером метода доминирующего баланса является метод многоугольников Ньютона . Ньютон разработал этот метод, чтобы найти явное приближение алгебраической функции . Ньютон выразил функцию как пропорциональную независимой переменной, возведенной в степень , сохранил только полиномиальные члены низшей степени (доминирующие члены) и решил это упрощенное сокращенное уравнение, чтобы получить приближенное решение. Доминантный баланс имеет широкий спектр применений, решая дифференциальные уравнения, возникающие в механике жидкости , физике плазмы , турбулентности , горении , нелинейной оптике , геофизической гидродинамике и нейробиологии .

Асимптотические отношения

Функции ${\textstyle f(z)}$ и $g(z)$ параметра или независимой переменной ${\textstyle z}$ и частное ${\textstyle f(z)/g(z)}$ иметь пределы , как ${\textstyle z}$ приближается к пределу ${\textstyle L}$.

Функция ${\textstyle f(z)}$ намного меньше , чем ${\textstyle g(z)}$ как ${\textstyle z}$ подходы ${\textstyle L}$, записанный как ${\textstyle f(z)\ll g(z)\ (z\to L)}$, если предел частного ${\textstyle f(z)/g(z)}$ равен нулю, поскольку ${\textstyle z}$ подходы ${\textstyle L}$.

Отношение ​ ${\textstyle f(z)}$ имеет более низкий порядок, чем ${\textstyle g(z)}$ как ${\textstyle z}$ подходы ${\textstyle L}$, записанный с использованием Little-o обозначения ${\textstyle f(z)=o(g(z))\ (z\to L)}$, идентичен ${\textstyle f(z)}$ намного меньше , чем ${\textstyle g(z)}$ как ${\textstyle z}$ подходы ${\textstyle L}$ связь.

Функция ${\textstyle f(z)}$ эквивалентно ​ ​ ${\textstyle g(z)}$ как ${\textstyle z}$ подходы ${\textstyle L}$, записанный как ${\textstyle f(z)\sim g(z)\ (z\to L)}$, если предел частного ${\textstyle f(z)/g(z)}$ 1 как ${\textstyle z}$ подходы ${\textstyle L}$.

Этот результат указывает на то, что нулевая функция , ${\textstyle f(z)=0}$ для всех значений ${\textstyle z}$, никогда не может быть эквивалентна какой-либо другой функции.

Асимптотически эквивалентные функции остаются асимптотически эквивалентными при интегрировании , если выполняются требования, связанные со сходимостью. Существуют более конкретные требования к тому, чтобы асимптотически эквивалентные функции оставались асимптотически эквивалентными при дифференцировании .

Свойства уравнения

Приблизительное решение уравнения: ${\textstyle s(z)}$ как ${\textstyle z}$ приближается к пределу ${\textstyle L}$. Члены уравнения, которые могут быть константами или содержать это решение: ${\textstyle T_{0}(s),T_{1}(s),\ldots ,T_{n}(s)}$. Если приближенное решение полностью правильное, сумма членов уравнения в этом уравнении равна нулю: $$T_{0}(s)+T_{1}(s)+\ldots +T_{n}(s)=0.$$ Для различных целочисленных индексов ${\textstyle i,j}$, это уравнение представляет собой сумму двух слагаемых и остатка ${\textstyle R_{ij}(s)}$ выражается как $${\begin{aligned}&T_{i}(s)+T_{j}(s)+R_{ij}(s)=0\\&R_{ij}(s)=\sum _{{k=0} \atop {k\neq i,k\neq j}}^{n}T_{k}(s).\end{aligned}}$$ баланса Условия уравнения ${\textstyle T_{i}(s)}$ и ${\textstyle T_{j}(s)}$ означает сделать эти члены равными и асимптотически эквивалентными, найдя функцию ${\textstyle s(z)}$ которое решает сокращенное уравнение ${\textstyle T_{i}(s)+T_{j}(s)=0}$ с ${\textstyle T_{i}(s)\neq 0}$ и ${\textstyle T_{j}(s)\neq 0}$.

Это решение ${\textstyle s(z)}$ является последовательным, если условия ${\textstyle T_{i}(s)}$ и ${\textstyle T_{j}(s)}$ являются доминирующими ; доминирующий означает оставшиеся члены уравнения ${\textstyle R_{ij}(s)}$ намного меньше, чем термины ${\textstyle T_{i}(s)}$ и ${\textstyle T_{j}(s)}$ как ${\textstyle z}$ подходы ${\textstyle L}$. Согласованное решение, которое уравновешивает два члена уравнения, может дать точное приближение к решению полного уравнения для ${\textstyle z}$ ценности, приближающиеся ${\textstyle L}$. Приближенные решения, возникающие в результате балансировки различных членов уравнения, могут генерировать различные приближенные решения, например, решения для внутреннего и внешнего слоев .

Подстановка масштабированной функции ${\textstyle s(z)=(z-L)^{p}{\tilde {s}}(z)}$ в уравнение и приняв предел как ${\textstyle z}$ подходы ${\textstyle L}$ может генерировать упрощенные сокращенные уравнения для различных значений показателя степени ${\textstyle p}$. Эти упрощенные уравнения называются выделенными пределами и определяют сбалансированные доминирующие члены уравнения. Преобразование масштаба генерирует масштабированные функции. Метод доминирующего баланса применяет масштабные преобразования к членам уравнения баланса, факторы которого содержат различные показатели степени. Например, ${\textstyle T_{i}(s)}$ содержит фактор ${\textstyle (z-L)^{q}}$ и срок ${\textstyle T_{j}(s)}$ содержит фактор ${\textstyle (z-L)^{r}}$ с ${\textstyle q\neq r}$. Масштабированные функции применяются к дифференциальным уравнениям, когда ${\textstyle z}$ является параметром уравнения, а не независимой переменной дифференциального уравнения. Диаграмма Краскала-Ньютона облегчает идентификацию необходимых масштабированных функций, необходимых для доминирующего баланса алгебраических и дифференциальных уравнений.

Для решений дифференциальных уравнений, содержащих нерегулярную особенность , ведущим поведением является первый член решения асимптотического ряда, который остается, когда независимая переменная ${\textstyle z}$ приближается к нерегулярной сингулярности ${\textstyle L}$. Управляющий фактор – наиболее быстро меняющаяся часть ведущего поведения. Рекомендуется «показать, что уравнение для функции, полученное путем исключения доминирующего балансового решения из самого точного решения, имеет решение, которое меняется менее быстро, чем доминирующее балансовое решение».

Алгоритм

Входными данными являются набор членов уравнения и предел L. Выходными данными является набор приближенных решений. Для каждой пары различных членов уравнения ${\textstyle T_{i}(s),T_{j}(s)}$ алгоритм при необходимости применяет масштабное преобразование, балансирует выбранные члены, находя функцию, которая решает сокращенное уравнение, а затем определяет, согласована ли эта функция. Если функция уравновешивает условия и непротиворечива, алгоритм добавляет функцию к множеству приближенных решений, в противном случае алгоритм отклоняет функцию. Процесс повторяется для каждой пары различных членов уравнения.

Входные данные Набор членов уравнения ${\textstyle \{T_{0}(s),T_{1}(s),\ldots ,T_{n}(s)\}}$ и ограничить ${\textstyle L}$

Выходные данные Набор приближенных решений ${\textstyle \{s_{0}(z),s_{1}(z),\dots \}}$

1. Для каждой пары различных членов уравнения ${\textstyle T_{i}(s),T_{j}(s)}$ делать:
   1. При необходимости примените преобразование масштаба.
   2. Решите сокращенное уравнение: ${\textstyle T_{i}(s)+T_{j}(s)=0}$ с ${\textstyle T_{i}(s)\neq 0}$ и ${\textstyle T_{j}(s)\neq 0}$.
   3. Проверьте согласованность: ${\textstyle R_{ij}(s)\ll T_{i}(s)\ (z\to L)}$ и ${\textstyle R_{ij}(s)\ll T_{j}(s)\ (z\to L).}$
   4. Если функция ${\textstyle s(z)}$ является непротиворечивым и решает приведенное уравнение, добавьте эту функцию к множеству приближенных решений, в противном случае отбросьте функцию.

Повышенная точность

Метод можно повторять для генерации дополнительных членов асимптотического разложения, чтобы обеспечить более точное решение. Итеративные методы , такие как метод Ньютона-Рафсона, могут дать более точное решение. Ряд возмущений , использующий приближенное решение в качестве первого члена, также может дать более точное решение.

Примеры

Алгебраическая функция

Метод доминантного баланса найдет явное приближенное выражение для многозначной функции ${\textstyle s=s(z)}$ определяется уравнением ${\textstyle 1-16s+zs^{5}=0}$ как ${\textstyle z}$ приближается к нулю.

Вход

Набор членов уравнения ${\textstyle \{1,-16s,zs^{5}\}}$ и предел равен нулю.

Пара первого срока

1. Выберите условия ${\textstyle 1}$ и ${\textstyle -16s}$.
2. Преобразование масштаба не требуется.
3. Решите сокращенное уравнение: $1-16s=0,s(z)={\tfrac {1}{16}}$.
4. Проверьте согласованность: $zs^{5}\ll 1\ (z\to 0),\ zs^{5}\ll 16s\ (z\to 0)\$ для $s(z)={\tfrac {1}{16}}.$
5. Добавьте эту функцию к множеству приближенных решений: $s_{0}(z)={\tfrac {1}{16}}$.

Пара второго срока

1. Выберите условия $-16s$ и $zs^{5}$.
2. Примените преобразование масштаба $s=z^{-1/4}{\tilde {s}}$. Преобразованное уравнение имеет вид $z^{1/4}-16{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0$.
3. Решите сокращенное уравнение: $-16{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0,\ {\tilde {s}}=2,-2,2i,-2i$.
4. Проверьте согласованность: $z^{1/4}\ll 16{\tilde {s}}\ (z\to 0),\ z^{1/4}\ll {\tilde {s}}^{5}\ (z\to 0)\$ для ${\tilde {s}}=2,-2,2i,-2i.$
5. Добавьте эти функции к множеству приближенных решений:

$$s_{1}(z)={\frac {2}{z^{1/4}}},s_{2}(z)={\frac {-2}{z^{1/4}}},s_{3}(z)={\frac {2i}{z^{1/4}}},s_{4}(z)={\frac {-2i}{z^{1/4}}}.$$

Пара третьего срока

1. Выберите условия $1$ и $zs^{5}$.
2. Примените преобразование масштаба $s=z^{-1/5}{\tilde {s}}$. Преобразованное уравнение имеет вид $1-16z^{-1/5}{\tilde {s}}+{\tilde {s}}^{5}=0.$
3. Решите сокращенное уравнение: $1+{\tilde {s}}^{5}=0,\ {\tilde {s}}=(-1)^{1/5}.$
4. Функция не согласована: $-16z^{-1/5}{\tilde {s}}\gg 1\ (z\to 0),\ z^{-1/5}{\tilde {s}}\gg {\tilde {s}}^{5}\ (z\to 0)\$ для ${\tilde {s}}=(-1)^{1/5}.$
5. Отклонить эту функцию: $s=z^{-1/5}(-1)^{1/5}.$

Выход

Набор приближенных решений имеет 5 функций: $$\left\{{\frac {1}{16}},{\frac {2}{z^{1/4}}},{\frac {-2}{z^{1/4}}},{\frac {2i}{z^{1/4}}},{\frac {-2i}{z^{1/4}}}\right\}.$$

Решение ряда возмущений

Приближенные решения — это первые члены в решениях ряда возмущений.

$${\begin{aligned}&s_{0}(z)={\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16777216}}z^{1}+{\frac {5}{17592186044416}}z^{2}+\ldots ,\\&s_{1}(z)={\frac {2}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}-{\frac {5}{16384}}z^{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}-\ldots ,\\&s_{2}(z)=-{\frac {2}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}+{\frac {5}{16384}}z^{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}+\ldots ,\\&s_{3}(z)={\frac {2i}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}+{\frac {5i}{16384}}z^{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}-\ldots \\&s_{4}(z)=-{\frac {2i}{z^{1/4}}}-{\frac {1}{64}}-{\frac {5i}{16384}}z^{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{524288}}z^{\frac {1}{2}}+\ldots ,\\\end{aligned}}$$

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение ${\textstyle z^{3}w^{\prime \prime }-w=0}$ известно, что оно имеет решение с экспоненциальным главным членом. Преобразование ${\textstyle w(z)=e^{s(z)}}$ приводит к дифференциальному уравнению ${\textstyle 1-z^{3}(s^{\prime })^{2}-z^{3}s^{\prime \prime }=0}$. Метод доминирующего баланса найдет приближенное решение как ${\textstyle z}$ приближается к нулю. Масштабированные функции использоваться не будут, поскольку ${\textstyle z}$ является независимой переменной дифференциального уравнения, а не параметром дифференциального уравнения.

Вход

Набор членов уравнения ${\textstyle \{1,-z^{3}(s^{\prime })^{2},-z^{3}s^{\prime \prime }\}}$ и предел равен нулю.

Пара первого срока

1. Выбирать $1$ и $-z^{3}(s^{\prime })^{2}$.
2. Преобразование масштаба не требуется.
3. Решите сокращенное уравнение: $1-z^{3}(s^{\prime })^{2}=0,\ s(z)=\pm 2z^{-1/2}$
4. Проверьте согласованность: $z^{3}s^{\prime \prime }\ll 1\ (z\to 0),\ z^{3}s^{\prime \prime }\ll z^{3}(s^{\prime })^{2}\ (z\to 0)$ для $s(z)=\pm 2z^{-1/2}.$
5. Добавьте эти 2 функции в набор приближенных решений: $s_{+}(z)=+2z^{-1/2},\ s_{-}(z)=-2z^{-1/2}.$

Пара второго срока

1. Выбирать $1$ и $-z^{3}s^{\prime \prime }$
2. Преобразование масштаба не требуется.
3. Решите сокращенное уравнение: $1-z^{3}s^{\prime \prime }=0,\ s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}$
4. Функция не согласована: $z^{3}(s^{\prime })^{2}\gg 1\ (z\to 0),\ z^{3}(s^{\prime })^{2}\gg z^{3}s^{\prime \prime }\ (z\to 0)$ для $s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.$
5. Отклонить эту функцию: $s(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1}.$.

Пара третьего срока

1. Выбирать $-z^{3}(s^{\prime })^{2}$ и $-z^{3}s^{\prime \prime }$.
2. Преобразование масштаба не требуется.
3. Решите сокращенное уравнение: $z^{3}(s^{\prime })^{2}+z^{3}s^{\prime \prime }=0,\ s(z)=\ln z$.
4. Функция не согласована: $1\gg z^{3}(s^{\prime })^{2}\ (z\to 0)\$ и $\ 1\gg \ z^{3}s^{\prime \prime }\ (z\to 0)$ для $s(z)=\ln z.$
5. Отклонить эту функцию: $s(z)=\ln z.$

Выход

Множество приближенных решений имеет 2 функции: $$\left\{+2z^{-1/2},-2z^{-1/2}\right\}.$$

Найдите двухчленные решения

Используя 1-членное решение, можно получить 2-членное решение. $$s_{2\pm }(z)=\pm 2z^{-1/2}+s(z).$$Подстановка этого двухчленного решения в исходное дифференциальное уравнение приводит к новому дифференциальному уравнению: $${\begin{aligned}1-z^{3}(s_{2\pm }^{\prime })^{2}-z^{3}s_{2\pm }^{\prime \prime }&=0\\\pm 1\mp {\frac {4}{3}}zs^{\prime }+{\frac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\frac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }&=0.\end{aligned}}$$

Вход

Набор членов уравнения ${\textstyle \{\pm 1,\mp {\frac {4}{3}}zs^{\prime },{\frac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2},{\frac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\}}$ и предел равен нулю.

Пара первого срока

1. Выбирать $1$ и $-{\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }$.
2. Преобразование масштаба не требуется.
3. Решите сокращенное уравнение: $1-{\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }=0,\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z$.
4. Проверьте согласованность: ${\tfrac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\tfrac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\ll 1\ (z\to 0),{\text{for}}\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z$ ${\tfrac {2}{3}}z^{5/2}(s^{\prime })^{2}+{\tfrac {2}{3}}z^{5/2}s^{\prime \prime }\ll {\tfrac {4}{3}}zs^{\prime }\ (z\to 0)\ {\text{for}}\ s(z)={\tfrac {3}{4}}\ln z.$
5. Добавьте эти функции к множеству приближенных решений: ${\textstyle s_{2+}(z)=+2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z,\ s_{2-}(z)=-2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z}$.

Другие пары терминов

Для других пар терминов функции, решающие приведенные уравнения, не являются согласованными.

Выход

Множество приближенных решений имеет 2 функции: $$\left\{+2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z,-2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\ln z\right\}.$$

Асимптотическое расширение

Следующая итерация генерирует трехчленное решение. ${\textstyle s_{3\pm }(z)=\pm 2z^{-1/2}+{\tfrac {3}{4}}\operatorname {ln} (z)+h(z)}$ с ${\textstyle h(z)\ll 1\ (z\to 0)}$ а это означает, что разложение в степенной ряд может представлять собой оставшуюся часть решения. Метод доминирующего баланса генерирует главный член этого асимптотического разложения с постоянной ${\textstyle A}$ и коэффициенты разложения, определяемые подстановкой в ​​полное дифференциальное уравнение:

$w(z)=Az^{3/4}e^{\pm 2z^{-1/2}}\left(\sum _{n=0}^{m}\ a_{n}z^{n/2}\right)$

$a_{n+1}=\pm {\frac {(n-1/2)(n+3/2)a_{n}}{4(n+1)}}.$

Частичная сумма этого несходящегося ряда дает приближенное решение. Главный член соответствует приближению Лиувилля-Грина (ЛГ) или Венцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ) .

Ссылки

• Бендер, СМ ; Орзаг, С.А. (1999). Передовые математические методы для ученых и инженеров . Спрингер. ISBN  0-387-98931-5 .
• Каллахам, Джаред Л.; Кох, Джеймс В.; Брантон, Бингни В.; Куц, Дж. Натан; Брантон, Стивен Л. (2021). «Изучение доминирующих физических процессов с помощью моделей баланса, управляемых данными» . Природные коммуникации . 12 (1): 1016. arXiv : 2001.10019 . Бибкод : 2021NatCo..12.1016C . дои : 10.1038/s41467-021-21331-z . ISSN   2041-1723 . ПМЦ   7884409 . ПМИД   33589607 .
• Кристенсен, Крис (1996). «Метод Ньютона для решения сложных уравнений» . Математический журнал колледжа . 27 (5): 330–340. дои : 10.1080/07468342.1996.11973804 . ISSN   0746-8342 .
• де Брейн, Н.Г. (1981), Асимптотические методы анализа , Dover Publications , ISBN  9780486642215
• Фишалек, Т.; Уайт, РБ (2008). «Технический отчет: использование диаграмм Крускала-Ньютона для дифференциальных уравнений» . Принстонская лаборатория физики плазмы (PPL-4289). Принстон, Нью-Джерси: Отдел научной и технической информации Министерства энергетики США: 1–29. дои : 10.2172/960287 . ОСТИ   960287 .
• Хинч, Э.Дж. (1991). Методы возмущения . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-37897-0 .
• Краскал, доктор медицины (1962). «Технический отчет: Асимптотология, отчет MATT 160» (PDF) . Принстонская лаборатория физики плазмы . Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет: 1–32.
• Ной, Джон К. (2015). Сингулярное возмущение в физических науках . Американское математическое соц. ISBN  978-1-4704-2555-5 .
• Олвер, Фрэнк Уильям Джон. (1974). Введение в асимптотику и специальные функции . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  0-12-525856-9 .
• Полсен, Уильям (2013). Асимптотический анализ и теория возмущений . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4665-1512-3 .
• Розман, Майкл (2020). «Методы возмущений» (PDF) . Математические методы в физических науках . Университет Коннектикута . Проверено 5 мая 2024 г.
• Уайт, РБ (2010). Асимптотический анализ дифференциальных уравнений . Всемирная научная. ISBN  978-1-84816-607-3 .

См. также

• Асимптотический анализ