Метод согласованных асимптотических разложений

В математике метод согласованных асимптотических разложений. Это общий подход к поиску точного приближения к решению уравнения или системы уравнений . Он особенно используется при решении сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений . Он предполагает нахождение нескольких различных приближенных решений, каждое из которых является действительным (т.е. точным) для части диапазона независимой переменной, а затем объединение этих различных решений вместе, чтобы дать одно приближенное решение, действительное для всего диапазона значений независимой переменной. независимая переменная. В русской литературе эти методы были известны под названием «промежуточной асимптотики» и были введены в работах Якова Зельдовича и Григория Баренблатта .

Обзор метода

В большом классе сингулярно возмущенных задач область может быть разделена на две или более подобластей. В одном из них, часто самом большом, решение точно аппроксимируется асимптотическим рядом можно найти, рассматривая проблему как регулярное возмущение (т. е. путем установки нуля относительно небольшого параметра). Другие подобласти состоят из одной или нескольких небольших областей, в которых это приближение является неточным, обычно потому, что члены возмущения в задаче там не являются пренебрежимо малыми. называются переходными слоями Эти области в целом , а в частности — пограничными слоями или внутренними слоями в зависимости от того, возникают ли они на границе области (как это обычно бывает в приложениях) или внутри области соответственно.

Аппроксимация в виде асимптотического ряда получается в переходном слое(ях) путем рассмотрения этой части области как отдельной задачи возмущения. Это приближение называется внутренним решением , а другое — внешним решением , названным в честь их связи с переходным слоем(ями). Затем внешние и внутренние решения объединяются посредством процесса, называемого «сопоставлением», таким образом, что получается приближенное решение для всей области.

Простой пример

Рассмотрим краевую задачу $$\varepsilon y''+(1+\varepsilon )y'+y=0,$$где $y$ является функцией независимой переменной времени $t$, который находится в диапазоне от 0 до 1, граничные условия: $y(0)=0$ и $y(1)=1$, и $\varepsilon$ малый параметр, такой, что $0<\varepsilon \ll 1$.

Внешнее решение, справедливое для t = O (1)

С $\varepsilon$ очень мала, наш первый подход состоит в том, чтобы рассматривать уравнение как регулярную задачу возмущения, т.е. сделать аппроксимацию $\varepsilon =0$и, следовательно, найти решение задачи $$y'+y=0.$$

Альтернативно, учтите, что когда $y$ и $t$ оба имеют размер O (1), четыре члена в левой части исходного уравнения имеют соответственно размеры $O(\varepsilon )$, О (1), $O(\varepsilon )$ и О (1). Баланс ведущего порядка в этой временной шкале, действительный в выделенном пределе. $\varepsilon \to 0$, поэтому задается вторым и четвертым членами, т. е. $y'+y=0.$

Это имеет решение $$y=Ae^{-t}$$для некоторой константы $A$. Применение граничного условия $y(0)=0$, у нас было бы $A=0$; применяя граничное условие $y(1)=1$, у нас было бы $A=e$. Поэтому невозможно удовлетворить оба граничных условия, поэтому $\varepsilon =0$ не является допустимым приближением для всей области (т. е. это проблема сингулярного возмущения ). Отсюда мы делаем вывод, что на одном из концов области, где находится пограничный слой, должен существовать пограничный слой. $\varepsilon$ необходимо включить. Этот регион будет местом, где $\varepsilon$ уже не является пренебрежимо малым по сравнению с независимой переменной $t$, то есть $t$ и $\varepsilon$ имеют сопоставимые размеры, т.е. пограничный слой примыкает к $t=0$. Следовательно, другое граничное условие $y(1)=1$ применяется в этой внешней области, поэтому $A=e$, то есть $y_{\mathrm {O} }=e^{1-t}$ является точным приближенным решением исходной краевой задачи в этой внешней области. Это решение ведущего порядка.

Внутреннее решение, действительное для t = O ( ε )

Во внутреннем регионе, $t$ и $\varepsilon$ оба крошечные, но сопоставимого размера, поэтому определите новую временную переменную O (1) $\tau =t/\varepsilon$. Измените масштаб исходной краевой задачи, заменив $t$ с $\tau \varepsilon$, и проблема становится $${\frac {1}{\varepsilon }}y''(\tau )+\left({1+\varepsilon }\right){\frac {1}{\varepsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,$$который после умножения на $\varepsilon$ и принимая $\varepsilon =0$, является $$y''+y'=0.$$

Альтернативно, учтите, что когда $t$ уменьшился до размеров $O(\varepsilon )$, затем $y$ по-прежнему имеет размер O (1) (используя выражение для $y_{\mathrm {O} }$), и поэтому четыре члена в левой части исходного уравнения имеют размеры соответственно $O(\varepsilon ^{-1})$, $O(\varepsilon ^{-1})$, О (1) и О (1). Баланс ведущего порядка в этой временной шкале, действительный в выделенном пределе. $\varepsilon \to 0$, поэтому задается первым и вторым членами, т.е. $y''+y'=0.$

Это имеет решение $$y=B-Ce^{-\tau }$$для некоторых констант $B$ и $C$. С $y(0)=0$ применяется в этой внутренней области, это дает $B=C$, поэтому точное приближенное решение исходной краевой задачи в этой внутренней области (это решение главного порядка) равно $$y_{\mathrm {I} }=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\varepsilon }}\right).$$

Соответствие

Мы используем сопоставление, чтобы найти значение константы $B$. Идея сопоставления состоит в том, что внутренние и внешние решения должны совпадать для значений $t$ в промежуточной (или перекрывающейся) области, т.е. там, где $\varepsilon \ll t\ll 1$. Нам нужно, чтобы внешний предел внутреннего решения соответствовал внутреннему пределу внешнего решения, т. е. $$\lim _{\tau \to \infty }y_{\mathrm {I} }=\lim _{t\to 0}y_{\mathrm {O} },$$что дает $B=e$.

Описанная выше задача является простейшей из простых задач, касающихся согласованных асимптотических разложений. Это можно сразу подсчитать $e^{1-t}$ представляет собой весь асимптотический ряд для внешней области, тогда как ${\mathcal {O}}(\varepsilon )$ поправка к внутреннему решению $y_{\mathrm {I} }$ является ${\textstyle B(1-e^{-t/\varepsilon })}$ и константа интегрирования $B$ должно быть получено путем внутреннего и внешнего сопоставления.

Обратите внимание, интуитивная идея сопоставления пределов, т.е. ${\textstyle \lim _{\tau \to \infty }y_{\mathrm {I} }=\lim _{t\to 0}y_{\mathrm {O} },}$ не применяется на этом уровне. Это просто потому, что подчеркнутый член не сходится к пределу. В таких случаях следует либо использовать а) метод промежуточной переменной, либо использовать б) правило соответствия Ван-Дайка. Первый метод громоздок и всегда работает, тогда как правило Ван-Дейка легко реализовать, но его применимость ограничена. Конкретная краевая задача, имеющая все необходимые компоненты, состоит в следующем.

Рассмотрим краевую задачу $$\varepsilon y''-x^{2}y'-y=1,\quad y(0)=y(1)=1$$

Обычное внешнее расширение $y_{\mathrm {O} }=y_{0}+\varepsilon y_{1}+\cdots$ дает $y_{0}=\alpha e^{1/x}-1$, где $\alpha$ должно быть получено в результате сопоставления.

В задаче есть пограничные слои как слева, так и справа. Левый пограничный слой вблизи $0$ имеет толщину $\varepsilon ^{1/2}$ тогда как правый пограничный слой вблизи $1$ имеет толщину $\varepsilon$. Сначала вычислим решение в левом пограничном слое, изменив масштаб $X=x/\varepsilon ^{1/2},\;Y=y$, то дифференциальное уравнение, которому нужно удовлетворять слева, будет $$Y''-\varepsilon ^{1/2}X^{2}Y'-Y=1,\quad Y(0)=1$$ и соответственно мы предполагаем расширение $Y^{l}=Y_{0}^{l}+\varepsilon ^{1/2}Y_{1/2}^{l}+\cdots$.

The ${\mathcal {O}}(1)$ неоднородное состояние слева дает нам повод начать разложение с ${\mathcal {O}}(1)$. Решение ведущего порядка $Y_{0}^{l}=2e^{-X}-1$.

Это с $1-1$ Сопоставление Ван-Дейка дает $\alpha =0$.

Теперь посчитаем решение при правом масштабировании. $X=(1-x)/\varepsilon ,\;Y=y$, то дифференциальное уравнение, которое должно удовлетворяться справа, будет $$Y''+\left(1-2\varepsilon X+\varepsilon ^{2}X^{2}\right)Y'-\varepsilon Y=\varepsilon ,\quad Y(1)=1,$$и соответственно мы предполагаем расширение $$Y^{r}=Y_{0}^{r}+\varepsilon Y_{1}^{r}+\cdots .$$

The ${\mathcal {O}}(1)$ неоднородное состояние справа дает нам повод начать разложение с ${\mathcal {O}}(1)$. Решение ведущего порядка $Y_{0}^{r}=(1-B)+Be^{-X}$. Это с $1-1$ Сопоставление Ван-Дейка дает $B=2$. Действуя аналогичным образом, если мы вычислим поправки более высокого порядка, мы получим решения как $$Y^{l}=2e^{-X}-1+\varepsilon ^{1/2}e^{-X}\left({\frac {X^{3}}{3}}+{\frac {X^{2}}{2}}+{\frac {X}{2}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),\quad X={\frac {x}{\varepsilon ^{1/2}}}.$$$$y\equiv -1.$$$$Y^{r}=2e^{-X}-1+2\varepsilon e^{-X}\left(X+X^{2}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\quad X={\frac {1-x}{\varepsilon }}.$$

Композитное решение

Чтобы получить окончательное согласованное составное решение, действительное для всей области, одним из популярных методов является унифицированный метод. В этом методе мы добавляем внутреннюю и внешнюю аппроксимации и вычитаем их перекрывающееся значение, $\,y_{\mathrm {overlap} }$, что в противном случае было бы засчитано дважды. Значение перекрытия — это внешний предел решения внутреннего пограничного слоя и внутренний предел внешнего решения; выше было обнаружено, что эти пределы равны $e$. Следовательно, окончательное приближенное решение этой краевой задачи имеет вид: $$y(t)=y_{\mathrm {I} }+y_{\mathrm {O} }-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\varepsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\varepsilon }}\right).$$

Обратите внимание, что это выражение правильно сводится к выражениям для $y_{\mathrm {I} }$ и $y_{\mathrm {O} }$ когда $t$ является $O(\varepsilon )$ и О (1) соответственно.

Точность

Сходимость приближений. Приближения и точные решения, неразличимые в этом масштабе, показаны для различных $\varepsilon$. Также показано внешнее решение. Заметим, что поскольку пограничный слой с уменьшением $\varepsilon$аппроксимации сходятся к внешнему решению поточечно , но не равномерно , почти всюду.

Это окончательное решение удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению задачи (показанному путем подстановки его и его производных в исходное уравнение). Кроме того, граничные условия, полученные этим окончательным решением, соответствуют значениям, заданным в задаче, с точностью до постоянного кратного числа. Из-за единственности решения это означает, что согласованное асимптотическое решение идентично точному решению с точностью до постоянного кратного. Это не всегда так: любые оставшиеся члены должны равномерно стремиться к нулю, поскольку $\varepsilon \rightarrow 0$.

Наше решение не только успешно решает проблему, но и близко приближается к ее точному решению. Бывает, что эта конкретная задача легко находит точное решение. $$y(t)={\frac {e^{-t}-e^{-t/\varepsilon }}{e^{-1}-e^{-1/\varepsilon }}},$$которое имеет тот же вид, что и приближенное решение, на константу умножения. Приближенное решение — это первый член биномиального разложения точного решения по степеням $e^{1-1/\varepsilon }$.

Расположение пограничного слоя

Удобно видеть, что пограничный слой, где $y'$ и $y''$ большие, находятся рядом $t=0$, как мы предполагали ранее. Если бы мы предположили, что он находится на другой конечной точке, и продолжили бы масштабирование $\tau =(1-t)/\varepsilon$, мы сочли бы невозможным удовлетворить полученное условие соответствия. Для многих задач такого рода метод проб и ошибок является единственным способом определить истинное местоположение пограничного слоя.

Более сложные проблемы

Приведенная выше задача является простым примером, поскольку это одно уравнение только с одной зависимой переменной, и в решении имеется один пограничный слой. Более сложные задачи могут содержать несколько взаимозависимых переменных в системе нескольких уравнений и/или с несколькими граничными и/или внутренними слоями в решении.

Часто желательно найти больше членов в асимптотических разложениях как внешнего, так и внутреннего решения. Соответствующая форма этих разложений не всегда ясна: в то время как разложение в степенной ряд в $\varepsilon$ может работать, иногда подходящая форма включает дробные степени $\varepsilon$, такие функции, как $\varepsilon \log \varepsilon$и так далее. Как и в приведенном выше примере, мы получим внешнее и внутреннее разложение с некоторыми коэффициентами, которые необходимо определить путем сопоставления.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка типа Шрёдингера

Метод согласованных асимптотических разложений - с сопоставлением решений в общей области применимости - был разработан и широко использовался Динглом и Мюллером-Кирстеном для получения асимптотических разложений решений и характеристических чисел (границ зон) шредингеровских уравнений. дифференциальные уравнения второго порядка с периодическими потенциалами - в частности для уравнения Матье (лучший пример), Ламе и эллипсоидальные волновые уравнения, сплюснутый и вытянуть сфероидальные волновые уравнения и уравнения с ангармоническими потенциалами.

Уравнения конвекции-диффузии

Разработаны методы согласованных асимптотических разложений для нахождения приближенных решений уравнения конвекции-диффузии Смолуховского , которое представляет собой сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение второго порядка. Проблема изучалась, в частности, в контексте коллоидных частиц в линейных полях потока, где переменная задается парной функцией распределения вокруг пробной частицы.В пределе низкого Пекле числа уравнение конвекции-диффузии также представляет сингулярность на бесконечном расстоянии (где обычно должно быть размещено граничное условие в дальней зоне ) из-за того, что поле потока линейно при разделении между частицами. Эту проблему можно обойти с помощью пространственного преобразования Фурье, как показал Ян Донт. Другой подход к решению этой задачи был разработан Алессио Закконе с соавторами и заключается в размещении граничного условия прямо на расстоянии пограничного слоя, предполагая (в первом приближении) постоянное значение парной функции распределения во внешнем слое. потому что там преобладает конвекция. Это приводит к приближенной теории скорости встречи двух взаимодействующих коллоидных частиц в линейном поле потока, которая хорошо согласуется с полным численным решением. Когда число Пекле значительно больше единицы, сингулярность на бесконечном расстоянии больше не возникает и метод согласованной асимптотики может быть применен для построения полного решения парной функции распределения во всей области.

См. также

• Асимптотический анализ
• Многомасштабный анализ
• Асимптотика энергии активации