Функция парного распределения

Функция парного распределения описывает распределение расстояний между парами частиц, содержащихся в данном объеме. Математически, если a и b — две частицы, парная функция распределения b относительно a , обозначаемая как $g_{ab}({\vec {r}})$ — вероятность найти частицу b на расстоянии ${\vec {r}}$ из a , где a взята за начало координат.

Обзор

Парная функция распределения используется для описания распределения объектов внутри среды (например, апельсинов в ящике или молекул азота в газовом баллоне). Если среда однородна (т. е. каждое пространственное положение имеет одинаковые свойства), то существует равная плотность вероятности обнаружения объекта в любом положении. ${\vec {r}}$:

$p({\vec {r}})=1/V$,

где $V$ это объём контейнера. С другой стороны, вероятность обнаружения пар объектов в заданных положениях (т. е. плотность вероятности двух тел) не является равномерной. Например, пары твердых мячей должны быть разделены как минимум диаметром мяча. Функция парного распределения $g({\vec {r}},{\vec {r}}')$ получается путем масштабирования функции плотности вероятности двух тел на общее количество объектов $N$ и размер контейнера:

$g({\vec {r}},{\vec {r}}')=p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}{\frac {N-1}{N}}$.

В общем случае, когда количество объектов в контейнере велико, это упрощается следующим образом:

$g({\vec {r}},{\vec {r}}')\approx p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}$.

Простые модели и общие свойства

Простейшая возможная функция парного распределения предполагает, что все местоположения объектов взаимно независимы, что дает:

$g({\vec {r}})=1$,

где ${\vec {r}}$ это разделение между парой объектов. Однако это неточно в случае твердых объектов, как обсуждалось выше, поскольку не учитывается минимальное расстояние, необходимое между объектами. Приближение дырочной коррекции (HC) обеспечивает лучшую модель:

$g(r)={\begin{cases}0,&r<b,\\1,&r\geq {}b\end{cases}},$

где $b$ - диаметр одного из объектов.

Хотя приближение HC дает разумное описание разреженно упакованных объектов, оно не работает для плотной упаковки. Это можно проиллюстрировать, рассмотрев коробку, полностью заполненную одинаковыми твердыми шариками, так что каждый шарик касается своих соседей. В этом случае каждая пара шаров в ящике находится на расстоянии ровно $r=nb$ где $n$ является положительным целым числом. Таким образом, парное распределение для объема, полностью заполненного твердыми сферами, представляет собой набор дельта-функций Дирака вида:

$g(r)=\sum \limits _{i}\delta (r-ib)$.

Наконец, можно отметить, что пара объектов, разделенных большим расстоянием, не влияет на положение друг друга (при условии, что контейнер не заполнен полностью). Поэтому,

$\lim \limits _{r\to \infty }g(r)=1$.

В общем, парная функция распределения будет иметь форму где-то между разреженно упакованной (HC-приближение) и плотноупакованной (дельта-функция) моделями, в зависимости от плотности упаковки. $f$.

Функция радиального распределения

Особое практическое значение имеет радиальная функция распределения , не зависящая от ориентации. Это основной дескриптор атомной структуры аморфных материалов (стекол, полимеров) и жидкостей. Функцию радиального распределения можно рассчитать непосредственно на основе физических измерений, таких как рассеяние света или порошковая рентгеновская дифракция, путем выполнения преобразования Фурье .

В статистической механике PDF задается выражением

$g_{ab}(r)={\frac {1}{N_{a}N_{b}}}\sum \limits _{i=1}^{N_{a}}\sum \limits _{j=1}^{N_{b}}\langle \delta (\vert \mathbf {r} _{ij}\vert -r)\rangle$

Приложения

Функция распределения пар тонких пленок

Когда тонкие пленки неупорядочены, как это происходит в электронных устройствах, парное распределение используется для просмотра деформации и структурных свойств этого материала или композиции. Они обладают свойствами, которые невозможно использовать в объемной или кристаллической форме. Известен метод с радиальным распределением, позволяющий рассмотреть локальную структуру неупорядоченной тонкой пленки ${\ce {GeSe2}}$. Но создатели этого метода заявили о необходимости лучшего метода просмотра неупорядоченных фильмов среднего порядка. При создании функции распределения пар в тонких пленках (tfPDF) используется статистическое распределение среднего порядка материала, что позволяет просматривать важные детали, такие как беспорядок. В этом методе 2D-данные, полученные методом рассеяния, интегрируются, а Фурье преобразуется в 1D-данные, которые показывают вероятность наличия связей в этом материале. TfPDF работает лучше всего в сочетании с другими методами определения характеристик, такими как просвечивающая электронная микроскопия. Несмотря на то, что tfPDF является развивающейся методологией, он может предоставить полные взаимосвязи структура-свойство с помощью надежного метода определения характеристик.

См. также

• метод гиперсети с классической картой

Ссылки

Фишер-Колбри, Биненшток, Фуосс, Маркус. Физ. Ред. Б (1988) 38, 12388

Дженсен, К.М., Биллинг, С.Дж. (2015). МСКрЖ, 2(5), 481-489.