Возмущение собственных значений

Основная статья: Теория возмущений

В математике проблема возмущения собственных значений - это задача поиска собственных векторов и собственных значений системы. $Ax=\lambda x$ который возмущен из одного с известными собственными векторами и собственными значениями $A_{0}x_{0}=\lambda _{0}x_{0}$. Это полезно для изучения того, насколько чувствительны собственные векторы и собственные значения исходной системы. $x_{0i},\lambda _{0i},i=1,\dots n$ относятся к изменениям в системе. Этот тип анализа был популяризирован лордом Рэлеем в его исследовании гармонических колебаний струны, возмущенной небольшими неоднородностями.

Выводы в этой статье по существу самостоятельны и могут быть найдены во многих текстах по числовой линейной алгебре или численному функциональному анализу. Данная статья посвящена случаю возмущения простого собственного значения (см. кратность собственных значений ).

Почему обобщенные собственные значения?

Во вводных приложениях собственных значений и собственных векторов мы находим множество научных областей, в которых собственные значения используются для получения решений. Обобщенные задачи на собственные значения менее распространены, но играют ключевую роль в изучении вибраций . Они полезны, когда мы используем метод Галеркина или метод Рэлея-Ритца для нахождения приближенного значения. решения уравнений в частных производных, моделирующих колебания таких конструкций, как струны и пластины; статья Куранта (1943 г.) является фундаментальным. Метод конечных элементов представляет собой широко распространенный частный случай.

В классической механике мы можем найти обобщенные собственные значения, когда ищем колебания систем с несколькими степенями свободы, близких к равновесию; кинетическая энергия обеспечивает матрицу масс $M$, потенциальная энергия деформации дает матрицу жесткости $K$. Подробности см., например, в первом разделе статьи Вайнштейна (1941, на французском языке).

Оба метода позволяют получить систему дифференциальных уравнений или матричное дифференциальное уравнение. $M{\ddot {x}}+B{\dot {x}}+Kx=0$ с массовой матрицей $M$ , матрица демпфирования $B$ и матрица жесткости $K$. Если пренебречь эффектом затухания, то воспользуемся $B=0$, мы можем искать решение следующего вида $x=e^{i\omega t}u$; мы получаем, что $u$ и $\omega ^{2}$являются решением обобщенной проблемы собственных значений $-\omega ^{2}Mu+Ku=0$

Постановка возмущения для обобщенной задачи собственных значений

Предположим, у нас есть решения обобщенной проблемы собственных значений :

$\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (0)$

где $\mathbf {K} _{0}$ и $\mathbf {M} _{0}$ являются матрицами. То есть мы знаем собственные значения λ _{0 i} и собственные векторы x _{0 i} для i = 1, ..., N . Требуется также, чтобы собственные значения были различны .

Теперь предположим, что мы хотим немного изменить матрицы. То есть мы хотим найти собственные значения и собственные векторы

$\mathbf {K} \mathbf {x} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}\qquad (1)$

где

${\begin{aligned}\mathbf {K} &=\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} \\\mathbf {M} &=\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \end{aligned}}$

с возмущениями $\delta \mathbf {K}$ и $\delta \mathbf {M}$ намного меньше, чем $\mathbf {K}$ и $\mathbf {M}$ соответственно. Тогда мы ожидаем, что новые собственные значения и собственные векторы будут подобны исходным, плюс небольшие возмущения:

${\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\end{aligned}}$

Шаги

Мы предполагаем, что матрицы симметричны и положительно определены , и предполагаем, что мы масштабировали собственные векторы так, что

$\mathbf {x} _{0j}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\delta _{ij},\quad$$\mathbf {x} _{i}^{T}\mathbf {M} \mathbf {x} _{j}=\delta _{ij}\qquad (2)$

где δij _{Кронекера} — дельта . Теперь мы хотим решить уравнение

$\mathbf {K} \mathbf {x} _{i}-\lambda _{i}\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=0.$

В этой статье мы ограничиваем исследование возмущениями первого порядка.

Разложение уравнения первого порядка

Подставив в (1), получим

$(\mathbf {K} _{0}+\delta \mathbf {K} )(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i})=\left(\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}\right)\left(\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \right)\left(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\right),$

который расширяется до

${\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}&+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\\[6pt]&\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\quad \lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}$

Отмена с (0) ( $\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}$) листья

${\begin{aligned}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+&\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{aligned}}$

Убрав члены более высокого порядка, это упрощает

$\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (3)$

Другими словами, $\delta \lambda _{i}$ больше не означает точное изменение собственного значения, а его приближение первого порядка.

Поскольку матрица симметрична, невозмущенные собственные векторы равны $M$ ортогональны, поэтому мы используем их в качестве основы для возмущенных собственных векторов. То есть мы хотим построить

$\delta \mathbf {x} _{i}=\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}\qquad (4)\quad$ с $\varepsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}M\delta \mathbf {x} _{i}$,

где ε _ij — малые константы, подлежащие определению.

Аналогично, подставив в (2) и удалив члены более высокого порядка, получим $\delta \mathbf {x} _{j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0j}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}\delta \mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0\quad {(5)}$

Вывод может продолжаться двумя вилками.

Первая вилка: получить первое возмущение собственного значения

Возмущение собственных значений

Начнем с (3) $\quad \mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i};$

мы оставили умножить на $\mathbf {x} _{0i}^{T}$ и использовать (2), а также его вариацию первого порядка (5); мы получаем

$\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}$

или

$\delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}$

Заметим, что это возмущение первого порядка обобщенного фактора Рэлея с фиксированным $x_{0i}$: $R(K,M;x_{0i})=x_{0i}^{T}Kx_{0i}/x_{0i}^{T}Mx_{0i},{\text{ with }}x_{0i}^{T}Mx_{0i}=1$

Более того, для $M=I$, формула $\delta \lambda _{i}=x_{0i}^{T}\delta Kx_{0i}$ следует сравнить с теоремой Бауэра-Фике , которая дает оценку возмущения собственных значений.

Возмущение собственного вектора

Мы оставили умножить (3) на $x_{0j}^{T}$ для $j\neq i$ и получить

$\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {K} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.$

Мы используем $\mathbf {x} _{0j}^{T}K=\lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}M{\text{ and }}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0,$ для $j\neq i$.

$\lambda _{0j}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.$

или

$(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.$

Поскольку собственные значения предполагаются простыми, для $j\neq i$

$\epsilon _{ij}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots N;j=1,\dots N;j\neq i.$

Более того, (5) (вариация первого порядка (2)) дает $2\epsilon _{ii}=2\mathbf {x} _{0i}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta x_{i}=-\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta M\mathbf {x} _{0i}.$ Мы получили все компоненты $\delta x_{i}$ .

Вторая вилка: простые манипуляции

Подстановка (4) в (3) и перестановка дает

${\begin{aligned}\mathbf {K} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&(5)\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&\\({\text{applying }}\mathbf {K} _{0}{\text{ to the sum}})\\\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\lambda _{0j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&({\text{using Eq. }}(1))\end{aligned}}$

Поскольку собственные векторы M ₀ -ортогональны, когда M ₀ положительно определен, мы можем удалить суммирование, умножив слева на $\mathbf {x} _{0i}^{\top }$:

$\mathbf {x} _{0i}^{\top }\varepsilon _{ii}\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.$

Снова используя уравнение (1):

$\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\qquad (6)$

Два члена, содержащие ε _ii, равны, поскольку умножение (1) слева на $\mathbf {x} _{0i}^{\top }$ дает

$\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {K} _{0}\mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.$

Отмена этих условий в (6) оставляет

$\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.$

Перестановка дает

$\delta \lambda _{i}={\frac {\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}}$

Но в силу (2) этот знаменатель равен 1. Таким образом,

$\delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}.$

Тогда, как $\lambda _{i}\neq \lambda _{k}$ для $i\neq k$ (допущение простых собственных значений) путем умножения уравнения (5) слева на $\mathbf {x} _{0k}^{\top }$:

$\varepsilon _{ik}={\frac {\mathbf {x} _{0k}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0k}}},\qquad i\neq k.$

Или изменив название индексов:

$\varepsilon _{ij}={\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}},\qquad i\neq j.$

Чтобы найти ε _ii , используйте тот факт, что:

$\mathbf {x} _{i}^{\top }\mathbf {M} \mathbf {x} _{i}=1$

подразумевает:

$\varepsilon _{ii}=-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}.$

Сводка результатов возмущения первого порядка

В случае, когда все матрицы являются эрмитовыми положительно определенными и все собственные значения различны ,

${\begin{aligned}\lambda _{i}&=\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}\right)+\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\end{aligned}}$

для бесконечно малых $\delta \mathbf {K}$ и $\delta \mathbf {M}$ (членами более высокого порядка в (3) пренебрегаем).

До сих пор мы не доказали, что этими членами более высокого порядка можно пренебречь. Эту точку можно вывести с помощью теоремы о неявной функции; в следующем разделе мы суммируем использование этой теоремы для получения разложения первого порядка.

Теоретический вывод

Возмущение неявной функции.

В следующем параграфе мы воспользуемся теоремой о неявной функции (формулировка теоремы); заметим, что для непрерывно дифференцируемой функции $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m},\;f:(x,y)\mapsto f(x,y)$, с обратимой матрицей Якобиана $J_{f,b}(x_{0},y_{0})$, с точки $(x_{0},y_{0})$ решение $f(x_{0},y_{0})=0$, мы получаем решения $f(x,y)=0$ с $x$ близко к $x_{0}$ в форме $y=g(x)$ где $g$ — непрерывно дифференцируемая функция; более того, якобианская марикс $g$ обеспечивается линейной системой

$J_{f,y}(x,g(x))J_{g,x}(x)+J_{f,x}(x,g(x))=0\quad (6)$.

Как только условия теоремы выполняются, матрица Якоби $g$ можно вычислить с помощью разложения первого порядка $f(x_{0}+\delta x,y_{0}+\delta y)=0$, мы получаем

$J_{f,x}(x,g(x))\delta x+J_{f,y}(x,g(x))\delta y=0$; как $\delta y=J_{g,x}(x)\delta x$, это эквивалентно уравнению $(6)$.

Возмущение собственных значений: теоретическая основа.

Мы используем предыдущий параграф (Возмущение неявной функции) с несколько иными обозначениями, подходящими для возмущения собственных значений; мы представляем ${\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{2n^{2}}\times \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}$, с

• ${\tilde {f}}(K,M,\lambda ,x)={\binom {f(K,M,\lambda ,x)}{f_{n+1}(x)}}$ с

$f(K,M,\lambda ,x)=Kx-\lambda x,f_{n+1}(M,x)=x^{T}Mx-1$. Чтобы использовать теорему о неявной функции , мы изучаем обратимость якобиана $J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})$ с

$J_{{\tilde {f}};\lambda ,x}(K,M;\lambda _{i},x_{i})(\delta \lambda ,\delta x)={\binom {-Mx_{i}}{0}}\delta \lambda +{\binom {K-\lambda M}{2x_{i}^{T}M}}\delta x_{i}$. Действительно, решение

$J_{{\tilde {f}};\lambda _{0i},x_{0i}}(K,M;\lambda _{0i},x_{0i})(\delta \lambda _{i},\delta x_{i})=$${\binom {y}{y_{n+1}}}$ может быть получено с помощью вычислений, аналогичных выводу разложения.

$$\delta \lambda _{i}=-x_{0i}^{T}y,\;{\text{ and }}(\lambda _{0i}-\lambda _{0j})x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y,j=1,\dots ,n,j\neq i\;;$$ ${\text{ or }}x_{0j}^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y/(\lambda _{0i}-\lambda _{0j}),{\text{ and }}\;2x_{0i}^{T}M\delta x_{i}=y_{n+1}$

Когда $\lambda _{i}$ является простым собственным значением, поскольку собственные векторы $x_{0j},j=1,\dots ,n$ образуют ортонормированный базис, для любой правой части мы получили одно решение, следовательно, якобиан обратим.

Теорема о неявной функции дает непрерывно дифференцируемую функцию $(K,M)\mapsto (\lambda _{i}(K,M),x_{i}(K,M))$ отсюда и расширение с небольшим обозначением o : $\lambda _{i}=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)$ $x_{i}=x_{0i}+\delta x_{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)$. с

$\delta \lambda _{i}=\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i};$ $\delta x_{i}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}\mathbf {x} _{0j}{\text{ with}}$$\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}={\frac {-\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots n;j=1,\dots n;j\neq i.$ Это разложение возмущенных собственных значений и векторов первого порядка. что и доказано.

Результаты анализа чувствительности по отношению к элементам матриц

Результаты

Это означает, что можно эффективно проводить анализ чувствительности к λ _i в зависимости от изменений в элементах матриц. (Напомним, что матрицы симметричны, поэтому изменение K _{k ℓ} также изменит K _{ℓ k} , следовательно, член (2 − δ _{k ℓ} ) .)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right)\\{\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&={\frac {\partial }{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=-\lambda _{i}x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned}}$

Сходным образом

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}&=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right)}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\\{\frac {\partial \mathbf {x} _{i}}{\partial \mathbf {M} _{(k\ell )}}}&=-\mathbf {x} _{0i}{\frac {x_{0i(k)}x_{0i(\ell )}}{2}}(2-\delta _{k\ell })-\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{N}{\frac {\lambda _{0i}x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned}}$

Чувствительность к собственным значениям, небольшой пример

Простой случай $K={\begin{bmatrix}2&b\\b&0\end{bmatrix}}$; однако вы можете вычислить собственные значения и собственные векторы с помощью онлайн-инструментов, таких как [1] ​​(см. введение в Википедии WIMS ) или с помощью Sage SageMath . Вы получаете наименьшее собственное значение $\lambda =-\left[{\sqrt {b^{2}+1}}+1\right]$ и явное вычисление ${\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {-x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$; более того, ассоциированный собственный вектор ${\tilde {x}}_{0}=[x,-({\sqrt {x^{2}+1}}+1))]^{T}$; это не унитарный вектор; так $x_{01}x_{02}={\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{02}/\|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}$; мы получаем $\|{\tilde {x}}_{0}\|^{2}=2{\sqrt {x^{2}+1}}({\sqrt {x^{2}+1}}+1)$ и ${\tilde {x}}_{01}{\tilde {x}}_{02}=-x({\sqrt {x^{2}+1}}+1)$ ; следовательно $x_{01}x_{02}=-{\frac {x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}$; для этого примера мы проверили это ${\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=2x_{01}x_{02}$ или $\delta \lambda =2x_{01}x_{02}\delta b$.

Существование собственных векторов

Обратите внимание, что в приведенном выше примере мы предполагали, что как невозмущенная, так и возмущенная системы содержат симметричные матрицы , что гарантировало существование $N$ линейно независимые собственные векторы. Не гарантируется, что проблема собственных значений, включающая несимметричные матрицы, будет иметь $N$ линейно независимые собственные векторы, хотя достаточным условием является то, что $\mathbf {K}$ и $\mathbf {M}$ быть одновременно диагонализуемыми .

Случай повторяющихся собственных значений

Технический отчет Реллиха для возмущения задач на собственные значения приводит несколько примеров. Элементарные примеры приведены в главе 2. Отчет можно скачать с сайта archive.org . Мы нарисуем пример, в котором собственные векторы ведут себя неприятно.

Пример 1

Рассмотрим следующую матрицу $B(\epsilon )=\epsilon {\begin{bmatrix}\cos(2/\epsilon )&,\sin(2/\epsilon )\\\sin(2/\epsilon )&,s\cos(2/\epsilon )\end{bmatrix}}$ и $A(\epsilon )=I-e^{-1/\epsilon ^{2}}B;$ $A(0)=I.$ Для $\epsilon \neq 0$, матрица $A(\epsilon )$ имеет собственные векторы $\Phi ^{1}=[\cos(1/\epsilon ),-\sin(1/\epsilon )]^{T};\Phi ^{2}=[\sin(1/\epsilon ),-\cos(1/\epsilon )]^{T}$ принадлежность к собственным значениям $\lambda _{1}=1-e^{-1/\epsilon ^{2})},\lambda _{2}=1+e^{-1/\epsilon ^{2})}$. С $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ для $\epsilon \neq 0$ если $u^{j}(\epsilon ),j=1,2,$ любые нормализованные собственные векторы, принадлежащие $\lambda _{j}(\epsilon ),j=1,2$ соответственно затем $u^{j}=e^{\alpha _{j}(\epsilon )}\Phi ^{j}(\epsilon )$ где $\alpha _{j},j=1,2$ реальны для $\epsilon \neq 0.$ Очевидно, невозможно определить $\alpha _{1}(\epsilon )$ скажем так, что $u^{1}(\epsilon )$ стремится к пределу, так как $\epsilon \rightarrow 0,$ потому что $|u^{1}(\epsilon )|=|\cos(1/\epsilon )|$ не имеет предела, так как $\epsilon \rightarrow 0.$

Обратите внимание, что в этом примере $A_{jk}(\epsilon )$ не только непрерывна, но и имеет непрерывные производные всех порядков. Реллих делает следующее важное следствие. << Так как, вообще говоря, отдельные собственные векторы не зависят непрерывно от параметра возмущения, хотя оператор $A(\epsilon )$ действительно, необходимо работать не с собственным вектором, а с пространством, охватываемым всеми собственными векторами, принадлежащими одному и тому же собственному значению. >>

Пример 2

Этот пример менее неприятен, чем предыдущий. Предполагать $[K_{0}]$ — единичная матрица 2x2, любой вектор является собственным вектором; затем $u_{0}=[1,1]^{T}/{\sqrt {2}}$ — один из возможных собственных векторов. Но если сделать небольшое возмущение, например

$[K]=[K_{0}]+{\begin{bmatrix}\epsilon &0\\0&0\end{bmatrix}}$

Тогда собственные векторы $v_{1}=[1,0]^{T}$ и $v_{2}=[0,1]^{T}$; они постоянны относительно $\epsilon$ так что $\|u_{0}-v_{1}\|$ постоянна и не стремится к нулю.

См. также

• Теория возмущений (квантовая механика)
• Теорема Бауэра – Фике

Дальнейшее чтение

Книги

• Рен-Цан Ли (2014). «Матричная теория возмущений». В Хогбене, Лесли (ред.). Справочник по линейной алгебре (Второе изд.). ISBN  978-1466507289 .
• Реллих Ф. и Берковиц Дж. (1969). Теория возмущений задач на собственные значения. ЦРК Пресс . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) .
• Бхатия, Р. (1987). Границы возмущения собственных значений матрицы. СИАМ.

Отчет

• Реллих, Франц (1954). Теория возмущений задач на собственные значения . Нью-Йорк: Институт математических наук Куранта, Нью-Йоркский университет.

Журнальные статьи

• Саймон, Б. (1982). Большие порядки и суммируемость теории возмущений собственных значений: математический обзор. Международный журнал квантовой химии, 21 (1), 3-25.
• Крэндалл, М.Г., и Рабиновиц, П.Х. (1973). Бифуркация, возмущение простых собственных значений и линеаризованная устойчивость. Архив рациональной механики и анализа, 52 (2), 161–180.
• Стюарт, GW (1973). Границы ошибок и возмущений для подпространств, связанных с некоторыми проблемами собственных значений. Обзор SIAM, 15(4), 727-764.
• Лёвдин, П.О. (1962). Исследования по теории возмущений. IV. Решение проблемы собственных значений с помощью формализма проекционного оператора. Журнал математической физики, 3 (5), 969–982.