Матричное дифференциальное уравнение

— Дифференциальное уравнение математическое уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных, связывающее значения самой функции и ее производных различных порядков. Матричное дифференциальное уравнение содержит более одной функции, объединенной в векторную форму с матрицей, связывающей функции с их производными.

Например, матричное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)

где $\mathbf {x} (t)$ это $n\times 1$ вектор функций базовой переменной $t$ , $\mathbf {\dot {x}} (t)$ – вектор первых производных этих функций, а $\mathbf {A} (t)$ это $n\times n$ матрица коэффициентов.

В случае, когда $\mathbf {A}$ является постоянным и имеет n линейно независимых собственных векторов , это дифференциальное уравнение имеет следующее общее решение:

\mathbf {x} (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {u} _{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {u} _{n}~,

где λ ₁ , λ ₂ , …, λ _n — собственные значения оператора A ; u ₁ , u ₂ , …, — _{соответствующие} собственные векторы A un ; и c ₁ , c ₂ , …, c _n — константы.

В более общем смысле, если $\mathbf {A} (t)$ коммутирует со своим интегралом $\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds$ тогда разложение Магнуса сводится к главному порядку, и общее решение дифференциального уравнения имеет вид

\mathbf {x} (t)=e^{\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}\mathbf {c} ~,

где $\mathbf {c}$ это $n\times 1$ постоянный вектор.

С помощью теоремы Кэли-Гамильтона и матриц типа Вандермонда это формальное матричное экспоненциальное решение можно привести к простой форме. ^[1] Ниже это решение показано в терминах алгоритма Путцера. ^[2]

Устойчивость и устойчивое состояние матричной системы

Матричное уравнение

\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {b}

с n параметром × 1 вектор-константа b стабилен тогда и только тогда , когда все собственные значения постоянной матрицы A имеют отрицательную действительную часть.

Устойчивое состояние x*, к которому оно сходится, если оно стабильно, находится путем установки

\mathbf {\dot {x}} ^{*}(t)=\mathbf {0} ~,

таким образом давая

\mathbf {x} ^{*}=-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ~,

предполагая, что A обратимо.

Таким образом, исходное уравнение можно записать в однородном виде через отклонения от установившегося состояния:

\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]~.

Эквивалентный способ выразить это состоит в том, что x* является частным решением неоднородного уравнения, в то время как все решения имеют вид

\mathbf {x} _{h}+\mathbf {x} ^{*}~,

с $\mathbf {x} _{h}$ решение однородного уравнения ( b = 0 ).

Устойчивость случая двух переменных состояний

В случае n = 2 (с двумя переменными состояния) условия устойчивости, при которых каждое из двух собственных значений матрицы перехода A имеет отрицательную действительную часть, эквивалентны условиям, когда след матрицы A отрицательен, а ее определитель положителен.

Решение в матричной форме

Формальное решение $\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]$ имеет матричную экспоненциальную форму

\mathbf {x} (t)=\mathbf {x} ^{*}+e^{\mathbf {A} t}[\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} ^{*}]~,

оцениваются с использованием любого из множества методов.

Алгоритм Путцера для вычисления $e В $

Дана матрица A с собственными значениями $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}$ ,

e^{\mathbf {A} t}=\sum _{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf {P} _{j}

где

\mathbf {P} _{0}=\mathbf {I}

\mathbf {P} _{j}=\prod _{k=1}^{j}\left(\mathbf {A} -\lambda _{k}\mathbf {I} \right)=\mathbf {P} _{j-1}\left(\mathbf {A} -\lambda _{j}\mathbf {I} \right),\qquad j=1,2,\dots ,n-1

{\dot {r}}_{1}=\lambda _{1}r_{1}

r_{1}{\left(0\right)}=1

{\dot {r}}_{j}=\lambda _{j}r_{j}+r_{j-1},\qquad j=2,3,\dots ,n

r_{j}{\left(0\right)}=0,\qquad j=2,3,\dots ,n

Уравнения для $r_{i}(t)$ являются простыми неоднородными ОДУ первого порядка.

Обратите внимание, что алгоритм не требует, чтобы матрица A была диагонализуемой , и обходит сложности обычно используемых жордановых канонических форм .

Разобранный пример матричного обыкновенного дифференциального уравнения

Однородное матричное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с двумя функциями x ( t ) и y ( t ), выведенное из матричного вида, имеет следующий вид:

{\frac {dx}{dt}}=a_{1}x+b_{1}y,\quad {\frac {dy}{dt}}=a_{2}x+b_{2}y

где $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ , и $b_{2}$ могут быть любые произвольные скаляры.

Матричные ОДУ более высокого порядка могут иметь гораздо более сложную форму.

Решение деконструированных матричных обыкновенных дифференциальных уравнений

Процесс решения приведенных выше уравнений и нахождения искомых функций именно данного порядка и вида состоит из 3 основных этапов. Краткое описание каждого из этих шагов приведено ниже:

Нахождение собственных значений
Нахождение собственных векторов
Находим нужные функции

Последний, третий шаг в решении такого рода обыкновенных дифференциальных уравнений обычно выполняется путем подстановки значений, вычисленных на двух предыдущих шагах, в специализированное уравнение общего вида, упомянутое ниже в этой статье.

Решенный пример матричного ОДУ

Чтобы решить матричное ОДУ в соответствии с тремя шагами, подробно описанными выше, используя в процессе простые матрицы, давайте найдем, скажем, функцию $x$ и функцию $y,$ обе в терминах одной независимой переменной $t$ , в следующем однородном линейном дифференциальном уравнении первого порядка,

{\frac {dx}{dt}}=3x-4y,\quad {\frac {dy}{dt}}=4x-7y~.

Чтобы решить эту конкретную систему обыкновенных дифференциальных уравнений , в какой-то момент процесса решения нам понадобится набор из двух начальных значений (соответствующих двум переменным состояния в начальной точке). В этом случае возьмем $x (0) = y (0) = 1$ .

Первый шаг

Первым шагом, уже упомянутым выше, является нахождение собственных A значений в

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}~.

производной , Обозначение x ′ и т. д., наблюдаемое в одном из векторов выше, известно как обозначение Лагранжа (впервые введенное Жозефом Луи Лагранжем) . Оно эквивалентно обозначению производной dx/dt используемому в предыдущем уравнении, известному как обозначение Лейбница , в честь имя Готфрида Лейбница .)

После того, как коэффициенты двух переменных записаны в матричной форме A, показанной выше, можно оценить собственные значения . С этой целью находят определитель матрицы , которая формируется, когда единичная матрица , $I_{n}$ , умноженный на некоторую константу $λ$ , вычитается из приведенной выше матрицы коэффициентов, чтобы получить характеристический полином ее ,

\det \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)~,

и найти его нули.

Применение дальнейшего упрощения и основных правил сложения матриц дает результаты.

\det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}~.

Применяя правила нахождения определителя одной матрицы 2 × 2, получаем следующее элементарное квадратное уравнение :

\det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}=0

-21-3\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+16=0\,\!

который можно сократить еще больше, чтобы получить более простую версию вышеизложенного,

\lambda ^{2}+4\lambda -5=0~.

Теперь найдя два корня, $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ данного квадратного уравнения с применением метода факторизации дает

\lambda ^{2}+5\lambda -\lambda -5=0

\lambda (\lambda +5)-1(\lambda +5)=0

(\lambda -1)(\lambda +5)=0

\lambda =1,-5~.

Ценности $\lambda _{1}=1$ и $\lambda _{2}=-5$ являются искомыми собственными значениями A , вычисленные выше , .В некоторых случаях, например в других матричных ОДУ, собственные значения могут быть комплексными , и в этом случае следующий шаг процесса решения, а также окончательная форма и решение могут резко измениться.

Второй шаг

шаг включает в себя поиск собственных векторов A Как упоминалось выше, этот на основе первоначально предоставленной информации.

Для каждого из вычисленных собственных значений у нас есть отдельный собственный вектор . Для первого собственного значения , которое $\lambda _{1}=1$ , у нас есть

{\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.

Упрощение приведенного выше выражения путем применения основных правил умножения матриц дает

3\alpha -4\beta =\alpha

\alpha =2\beta ~.

Все эти вычисления были сделаны только для того, чтобы получить последнее выражение, которое в нашем случае равно $α = 2 β$ . Теперь взяв какое-то произвольное значение, предположительно небольшое, незначительное, с которым гораздо легче работать, либо для $α$ , либо для $β$ (в большинстве случаев это не имеет особого значения), мы подставляем его в $α = 2 β$ . В результате получается простой вектор, который является необходимым собственным вектором для этого конкретного собственного значения. В нашем случае мы выбираем $α = 2$ , что, в свою очередь, определяет, что $β = 1$ и, используя стандартные векторные обозначения , наш вектор выглядит так

\mathbf {\hat {v}} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}.

Выполнив ту же операцию с использованием второго вычисленного нами собственного значения , которое равно $\lambda =-5$ , мы получаем наш второй собственный вектор. Процесс разработки этого вектора не показан, но конечный результат

\mathbf {\hat {v}} _{2}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.

Третий шаг

Этот последний шаг находит нужные функции, которые «спрятаны» за производными изначально заданными нам . Есть две функции, потому что наши дифференциальные уравнения имеют дело с двумя переменными.

Уравнение, включающее в себя все части информации, которые мы нашли ранее, имеет следующий вид:

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{\lambda _{1}t}\mathbf {\hat {v}} _{1}+Be^{\lambda _{2}t}\mathbf {\hat {v}} _{2}.

Подстановка значений собственных значений и собственных векторов дает

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{t}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+Be^{-5t}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.

Применяя дальнейшее упрощение,

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Ae^{t}\\Be^{-5t}\end{bmatrix}}.

Упрощая дальше и записывая уравнения для функций $x$ и $y$ отдельно,

x=2Ae^{t}+Be^{-5t}

y=Ae^{t}+2Be^{-5t}.

Вышеупомянутые уравнения, по сути, являются искомыми общими функциями, но они находятся в их общей форме (с неуказанными значениями $A$ и $B$ ), тогда как мы хотим фактически найти их точные формы и решения. Итак, теперь мы рассмотрим заданные начальные условия задачи (задача, включающая заданные начальные условия, - это так называемая проблема начального значения ). Предположим, нам даны $x(0)=y(0)=1$ , который играет роль отправной точки для нашего обыкновенного дифференциального уравнения; применение этих условий задает константы $A$ и $B$ . Как мы видим из $x(0)=y(0)=1$ условиях, когда $t = 0$ , левые части приведенных выше уравнений равны 1. Таким образом, мы можем построить следующую систему линейных уравнений :

1=2A+B

1=A+2B~.

Решая эти уравнения, находим, что обе константы $A$ и $B$ равны 1/3. Поэтому подставляя эти значения в общую форму этих двух функцийуказывает их точные формы, $x={\tfrac {2}{3}}e^{t}+{\tfrac {1}{3}}e^{-5t}$ $y={\tfrac {1}{3}}e^{t}+{\tfrac {2}{3}}e^{-5t}~,$ две искомые функции.

Использование матричного возведения в степень

Вышеупомянутая проблема могла быть решена прямым применением матричной экспоненты . То есть мы можем сказать, что

${\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right){\begin{bmatrix}x_{0}(t)\\y_{0}(t)\end{bmatrix}}$

Учитывая это (которое можно вычислить с помощью любого подходящего инструмента, такого как MATLAB 's expm инструмент или путем выполнения диагонализации матрицы и использования того свойства, что матричная экспонента диагональной матрицы совпадает с поэлементным возведением в степень ее элементов)

$\exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right)={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}$

конечный результат

${\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{-5t}/3+2e^{t}/3\\e^{t}/3+2e^{-5t}/3\end{bmatrix}}$

Это то же самое, что и метод собственных векторов, показанный ранее.

См. также

Ссылки

^ Моя-Сесса, Х.; Сото-Эгибар, Ф. (2011). Дифференциальные уравнения: операционный подход . Нью-Джерси: Ринтон Пресс. ISBN 978-1-58949-060-4 .
^ Путцер, Э.Дж. (1966). «Избегание жордановой канонической формы при обсуждении линейных систем с постоянными коэффициентами». Американский математический ежемесячник . 73 (1): 2–7. дои : 10.1080/00029890.1966.11970714 . JSTOR 2313914 .

[1] Моя-Сесса, Х.; Сото-Эгибар, Ф. (2011). Дифференциальные уравнения: операционный подход . Нью-Джерси: Ринтон Пресс. ISBN 978-1-58949-060-4 .

[2] Путцер, Э.Дж. (1966). «Избегание жордановой канонической формы при обсуждении линейных систем с постоянными коэффициентами». Американский математический ежемесячник . 73 (1): 2–7. дои : 10.1080/00029890.1966.11970714 . JSTOR 2313914 .

[1]

[2]