Матричное разностное уравнение

Матричное разностное уравнение — это разностное уравнение , в котором значение вектора (или иногда матрицы) переменных в один момент времени связано с его собственным значением в один или несколько предыдущих моментов времени с помощью матриц . ^[1]^[2] Порядок уравнения – это максимальный временной интервал между любыми двумя указанными значениями вектора переменной. Например,

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

является примером матричного разностного уравнения второго порядка, в котором $x$ — $n \times 1$ вектор переменных размера $, а A$ и $B$ — $матрицы размера n \times n$ . Это уравнение является однородным, поскольку в конце уравнения не добавляется векторный постоянный член. То же уравнение можно также записать как

\mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {Ax} _{t+1}+\mathbf {Bx} _{t}

или как

\mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}

Наиболее часто встречающиеся матричные разностные уравнения относятся к первому порядку.

Неоднородный случай первого порядка и установившееся состояние

Примером неоднородного матричного разностного уравнения первого порядка является

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b}

с аддитивным постоянным вектором $b$ . Устойчивым состоянием этой системы является такое значение $x *$ вектора $x$ , при достижении которого оно не будет отклоняться в дальнейшем. $x *$ находится путем задания $x t = x t -1 = x *$ в разностном уравнении и решения $x *$ для получения

\mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b}

где $I$ — $n \times n$ единичная матрица размера и предполагается, $[I - A]$ обратимо что . Тогда неоднородное уравнение можно переписать в однородную форму через отклонения от установившегося состояния:

\left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]

Устойчивость случая первого порядка

Матричное разностное уравнение первого порядка $[x t - x *] = A [x t -1 - x *]$ устойчиво , т. е. $x t$ асимптотически сходится к установившемуся состоянию $x *$ , тогда и только тогда, когда все собственные значения матрица перехода $A$ (действительная или комплексная) имеет абсолютное значение меньше 1.

Решение случая первого порядка

Предположим, что уравнение приведено к однородному виду $y t = Ay t -1$ . Затем мы можем многократно выполнять итерацию и замену из начального условия $y 0$ , которое является начальным значением вектора $y$ и которое необходимо знать, чтобы найти решение:

{\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {Ay} _{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}

и так далее, так что с помощью математической индукции решение в терминах $t$ будет

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}

Далее, если $A$ диагонализуемо, мы можем переписать $A$ через его собственные значения и собственные векторы , дав решение в виде

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},

где $P$ — $матрица размера n \times n$ , столбцы которой являются собственными векторами матрицы $A$ (при условии, что все собственные значения различны), а $D$ — $размера n \times n,$ диагональная матрица диагональные элементы которой являются собственными значениями $A.$ матрицы Это решение мотивирует приведенный выше результат устойчивости: $A т$ сжимается к нулевой матрице с течением времени тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы $A$ меньше единицы по абсолютной величине.

Извлечение динамики одной скалярной переменной из матричной системы первого порядка

Начиная с $n$ -мерной системы $y t = Ay t -1$ , мы можем извлечь динамику одной из переменных состояния, скажем $y 1$ . Приведенное выше уравнение решения для $y t$ показывает, что решение для $y 1, t$ находится в терминах $n$ собственных значений $A$ . Следовательно, уравнение, описывающее эволюцию $y 1,$ само по себе должно иметь решение, включающее те же собственные значения. Это описание интуитивно мотивирует уравнение эволюции $y 1$ , которое имеет вид

y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,t-n}

где параметры $a i$ взяты из характеристического уравнения матрицы $A$ :

\lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.

Таким образом, каждая отдельная скалярная переменная $n$ -мерной линейной системы первого порядка развивается согласно одномерному $разностному уравнению n$ -й степени, которое обладает тем же свойством устойчивости (устойчивым или неустойчивым), что и матричное разностное уравнение.

Решение и устойчивость случаев высших порядков

Матричные разностные уравнения более высокого порядка, т. е. с запаздыванием более одного периода, можно решать и анализировать их устойчивость, переводя их в форму первого порядка с помощью блочной матрицы (матрицы матриц). Например, предположим, что у нас есть уравнение второго порядка

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

с вектором переменной $x,$ равным $n \times 1$ , а $A$ и $B$ равными $n \times n$ . Это можно сложить в виде

{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}

где $I$ — $размера n \times n$ единичная матрица , а $0$ — $размера n \times n$ нулевая матрица . Затем, обозначая $сложенный вектор 2 n \times 1$ текущих и однократно запаздывающих переменных как $z t$ и $блочную матрицу 2 n \times 2 n$ как $L$ , мы имеем, как и раньше, решение

\mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}

Как и раньше, это составное уравнение и, следовательно, исходное уравнение второго порядка устойчивы тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы $L$ меньше единицы по абсолютной величине.

Нелинейные матричные разностные уравнения: уравнения Риккати

При линейно-квадратично-гауссовском управлении будущих затрат возникает нелинейное матричное уравнение для обратной эволюции матрицы , обозначенное ниже как $H.$ текущих и Это уравнение называется дискретным динамическим уравнением Риккати , и оно возникает, когда вектор переменной, развивающийся в соответствии с линейным матричным разностным уравнением, управляется путем манипулирования экзогенным вектором с целью оптимизации квадратичной функции стоимости . Это уравнение Риккати принимает следующую или подобную форму:

\mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A}

где $H$ , $K$ и $A$ — это $n \times n$ , $C$ — это $n \times k$ , $R$ — это $k \times k$ , $n$ — количество элементов в векторе, которым нужно управлять, а $k$ — количество элементов в векторе управления. Матрицы параметров $A$ и $C$ взяты из линейного уравнения, а матрицы параметров $K$ и $R$ взяты из квадратичной функции стоимости. смотрите здесь Подробности .

В общем случае это уравнение не может быть решено аналитически для $H t$ через $t$ ; скорее, последовательность значений $H t$ находится путем итерации уравнения Риккати. Однако было показано ^[3] что это уравнение Риккати можно решить аналитически, если $R = 0$ и $n = k + 1$ , путем сведения его к скалярному рационально-разностному уравнению ; более того, для любых $k$ и $n,$ если матрица перехода $A$ невырождена, уравнение Риккати можно решить аналитически через собственные значения матрицы, хотя, возможно, их придется найти численно. ^[4]

В большинстве случаев эволюция $H$ назад во времени стабильна, а это означает, что $H$ сходится к определенной фиксированной матрице $H *$ , которая может быть иррациональной, даже если все остальные матрицы рациональны. См. также Стохастический контроль § Дискретное время .

Родственное уравнение Риккати ^[5] является

\mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}

в котором все матрицы $X, A, B, C, E$ имеют размер $n \times n$ . Это уравнение можно решить явно. Предполагать $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1},$ что, конечно, справедливо для $t = 0$ с $N 0 = X 0$ и $D 0 = I$ . Затем использование этого в разностном уравнении дает

{\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}

поэтому по индукции имеем форму $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}$ справедливо для всех $t$ . Тогда эволюцию $N$ и $D$ можно записать как

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}

Таким образом, по индукции

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}

См. также

Ссылки

^ Калл, Пол; Флахайв, Мэри ; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу . Спрингер. гл. 7. ISBN 0-387-23234-6 .
^ Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 608–612 . ISBN 9780070107809 .
^ Балверс, Рональд Дж.; Митчелл, Дуглас В. (2007). «Понижение размерности линейно-квадратичных задач управления» (PDF) . Журнал экономической динамики и контроля . 31 (1): 141–159. дои : 10.1016/j.jedc.2005.09.013 . S2CID 121354131 .
^ Воган, доктор медицинских наук (1970). «Нерекурсивное алгебраическое решение дискретного уравнения Риккати». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 15 (5): 597–599. дои : 10.1109/TAC.1970.1099549 .
^ Мартин, CF; Аммар, Г. (1991). «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный с ним метод собственных значений». В Биттани; Лауб; Виллемс (ред.). Уравнение Риккати . Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-642-58223-3_5 . ISBN 978-3-642-63508-3 .

[1] Калл, Пол; Флахайв, Мэри ; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу . Спрингер. гл. 7. ISBN 0-387-23234-6 .

[2] Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). МакГроу-Хилл. стр. 608–612 . ISBN 9780070107809 .

[3] Балверс, Рональд Дж.; Митчелл, Дуглас В. (2007). «Понижение размерности линейно-квадратичных задач управления» (PDF) . Журнал экономической динамики и контроля . 31 (1): 141–159. дои : 10.1016/j.jedc.2005.09.013 . S2CID 121354131 .

[4] Воган, доктор медицинских наук (1970). «Нерекурсивное алгебраическое решение дискретного уравнения Риккати». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 15 (5): 597–599. дои : 10.1109/TAC.1970.1099549 .

[5] Мартин, CF; Аммар, Г. (1991). «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный с ним метод собственных значений». В Биттани; Лауб; Виллемс (ред.). Уравнение Риккати . Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-642-58223-3_5 . ISBN 978-3-642-63508-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]