Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера.

Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера ( КАМ ) представляет собой результат в динамических системах о сохранении квазипериодических движений при малых возмущениях. Теорема частично решает проблему малых делителей , возникающую в теории возмущений классической механики .

Проблема в том, приведет ли небольшое возмущение консервативной динамической системы к устойчивой квазипериодической орбите . Оригинальный прорыв в этой проблеме был сделан Андреем Колмогоровым в 1954 году. ^[1] Это было строго доказано и расширено Юргеном Мозером в 1962 году. ^[2] (для карт плавного поворота ) и Владимир Арнольд в 1963 году. ^[3] (для аналитических гамильтоновых систем ), а общий результат известен как теорема КАМ.

Первоначально Арнольд думал, что эту теорему можно применить к движению Солнечной системы или к другим примерам $задачи n$ тел , но оказалось, что она работает только для задачи трёх тел из-за вырождения в его формулировке проблемы для больших тел. числа тел. Позже Габриэлла Пинзари показала, как устранить это вырождение, разработав версию теоремы, инвариантную к вращению. ^[4]

Заявление

Интегрируемые гамильтоновы системы

Теорема КАМ обычно формулируется в терминах траекторий в пространстве интегрируемой фазовом гамильтоновой системы .Движение интегрируемой системы ограничено инвариантным тором ( поверхностью в форме бублика ). Различные начальные условия интегрируемой гамильтоновой системы будут отслеживать разные инвариантные торы в фазовом пространстве. Построение координат интегрируемой системы показало бы, что они квазипериодичны.

Возмущения

Теорема КАМ утверждает, что если система подвергается слабому нелинейному возмущению, некоторые из инвариантных торов деформируются и сохраняются, т. е. существует отображение исходного многообразия в деформированное, непрерывное по возмущению. И наоборот, другие инвариантные торы разрушаются: даже сколь угодно малые возмущения приводят к тому, что многообразие перестает быть инвариантным, и такого отображения в близлежащие многообразия не существует. Выжившие торы удовлетворяют условию нерезонансности, т. е. имеют «достаточно иррациональные» частоты. Это означает, что движение на деформированном торе продолжает оставаться квазипериодическим с изменением независимых периодов (вследствие условия невырожденности). Теорема КАМ количественно определяет уровень возмущения, который можно применить, чтобы это было правдой.

Те КАМ-торы, которые разрушаются в результате возмущения, становятся инвариантными канторовыми множествами , названными Кантори Яном К. Персивалем в 1979 году. ^[5]

Условия нерезонансности и невырожденности теоремы КАМ становится все труднее выполнить для систем с большим количеством степеней свободы. С увеличением числа измерений системы объем, занимаемый торами, уменьшается.

По мере увеличения возмущения и распада гладких кривых мы переходим от теории КАМ к теории Обри–Мазера, которая требует менее строгих гипотез и работает с канторовскими множествами.

Существование теоремы КАМ для возмущений квантовых интегрируемых систем многих тел до сих пор остается открытым вопросом, хотя считается, что сколь угодно малые возмущения разрушат интегрируемость в пределе бесконечного размера.

Последствия

Важным следствием теоремы КАМ является то, что для большого набора начальных условий движение остается постоянно квазипериодическим. ^{[ который? ]}

КАМ-теория

Методы, предложенные Колмогоровым, Арнольдом и Мозером, превратились в большой массив результатов, связанных с квазипериодическими движениями, ныне известными как теория КАМ . Примечательно, что оно было распространено на негамильтоновы системы (начиная с Мозера), на непертурбативные ситуации (как в работах Майкла Германа ) и на системы с быстрыми и медленными частотами (как в работах Михаила Б. Севрюка). .

КАМ тор

Многообразие ${\mathcal {T}}^{d}$ инвариант под действием потока $\phi ^{t}$ называется инвариантом $d$ -тор, если существует диффеоморфизм ${\boldsymbol {\varphi }}:{\mathcal {T}}^{d}\rightarrow \mathbb {T} ^{d}$ в стандарт $d$ -тор $\mathbb {T} ^{d}:=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{d}$ такое, что результирующее движение по $\mathbb {T} ^{d}$ является однородным линейным, но не статическим, т.е. $\mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}$ ,где ${\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{d}$ — ненулевой постоянный вектор, называемый вектором частоты .

Если вектор частоты ${\boldsymbol {\omega }}$ является:

рационально независимы ( то есть несоизмеримы, т.е. ${\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0$ для всех ${\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}$ )
и «плохо» аппроксимируется рациональными числами, обычно в диофантовом смысле: $\exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}$ ,

тогда инвариант $d$ -тор ${\mathcal {T}}^{d}$ ( $d\geq 2$ ) называется КАМ-тором . $d=1$ В классической теории КАМ этот случай обычно исключается, поскольку в нем не используются малые делители.

См. также

Примечания

^ A. N. Kolmogorov, "On the Conservation of Conditionally Periodic Motions under Small Perturbation of the Hamiltonian [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона]," Dokl. Akad. Nauk SSR 98 (1954).
^ Дж. Мозер, «Об инвариантных кривых сохраняющих площадь отображений кольца», Nachr. Акад. Висс. Геттинген Матем.-Физ. кл. II 1962 (1962), 1–20.
^ V. I. Arnold, "Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the preservation of conditionally periodic motions under a small perturbation of the Hamiltonian [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]," Uspekhi Mat. Nauk 18 (1963) (English transl.: Russ. Math. Surv. 18 , 9--36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130 ).
^ Хесин, Борис (24 октября 2011 г.), Коллиандер, Джеймс (ред.), «Дополнение к семинару Мемориала Арнольда: Хесин о разговоре Пинзари» , блог Джеймса Коллиандера , заархивировано из оригинала 29 марта 2017 г. , получено 29 марта 2017 г.
^ Персиваль, IC (1 марта 1979 г.). «Вариационный принцип для инвариантных торов фиксированной частоты». Журнал физики A: Математический и общий . 12 (3): L57–L60. Бибкод : 1979JPhA...12L..57P . дои : 10.1088/0305-4470/12/3/001 .

Ссылки

Арнольд, Вайнштейн, Фогтманн. Математические методы классической механики , 2-е изд., Приложение 8: Теория возмущений условно-периодического движения и теорема Колмогорова. Спрингер 1997.
Уэйн, К. Юджин (январь 2008 г.). «Введение в теорию КАМ» (PDF) . Препринт : 29 . Проверено 20 июня 2012 г.
Юрген Пёшель (2001). «Лекция по классической КАМ-теореме» (PDF) . Труды симпозиумов по чистой математике . 69 : 707–732. CiteSeerX 10.1.1.248.8987 . дои : 10.1090/pspum/069/1858551 . ISBN 9780821826829 . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г. Проверено 6 июня 2006 г.
Рафаэль де ла Льяв (2001) Учебник по теории КАМ .
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера» . Математический мир .
Теория КАМ: наследие статьи Колмогорова 1954 года
Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера из Scholarpedia
H Скотт Дюма. История КАМ – дружелюбное введение в содержание, историю и значение классической теории Колмогорова – Арнольда – Мозера , 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3 . Глава 1: Введение

[1] A. N. Kolmogorov, "On the Conservation of Conditionally Periodic Motions under Small Perturbation of the Hamiltonian [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона]," Dokl. Akad. Nauk SSR 98 (1954).

[2] Дж. Мозер, «Об инвариантных кривых сохраняющих площадь отображений кольца», Nachr. Акад. Висс. Геттинген Матем.-Физ. кл. II 1962 (1962), 1–20.

[3] V. I. Arnold, "Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the preservation of conditionally periodic motions under a small perturbation of the Hamiltonian [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]," Uspekhi Mat. Nauk 18 (1963) (English transl.: Russ. Math. Surv. 18 , 9--36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130 ).

[4] Хесин, Борис (24 октября 2011 г.), Коллиандер, Джеймс (ред.), «Дополнение к семинару Мемориала Арнольда: Хесин о разговоре Пинзари» , блог Джеймса Коллиандера , заархивировано из оригинала 29 марта 2017 г. , получено 29 марта 2017 г.

[5] Персиваль, IC (1 марта 1979 г.). «Вариационный принцип для инвариантных торов фиксированной частоты». Журнал физики A: Математический и общий . 12 (3): L57–L60. Бибкод : 1979JPhA...12L..57P . дои : 10.1088/0305-4470/12/3/001 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]