Диффузия Арнольда

В прикладной математике диффузия Арнольда — явление неустойчивости почти интегрируемых гамильтоновых систем . Феномен назван в честь Владимира Арнольда , который первым опубликовал результаты в этой области в 1964 году. Точнее, диффузия Арнольда относится к результатам, утверждающим существование решений почти интегрируемых гамильтоновых систем, которые демонстрируют значительное изменение переменных действия.

Диффузия Арнольда описывает диффузию траекторий согласно эргодической теореме в части фазового пространства , не связанной никакими ограничениями ( т.е. не ограниченной лагранжевыми торами, возникающими из констант движения ) в гамильтоновых системах . Это происходит в системах с более чем N =2 степенями свободы, поскольку N не разделяют 2 N -мерные инвариантные торы больше -1 мерное фазовое пространство. Таким образом, сколь угодно малое возмущение может привести к псевдослучайному блужданию ряда траекторий по всей части фазового пространства, оставленной разрушенными торами.

Предыстория и заявление

Для интегрируемых систем имеет место сохранение переменных действия . Согласно теореме КАМ, если мы слегка возмущаем интегрируемую систему, то многие, хотя, конечно, не все, решения возмущенной системы навсегда останутся близкими к невозмущенной системе. В частности, поскольку переменные действия изначально сохранялись, теорема говорит нам, что для многих решений возмущенной системы происходят лишь небольшие изменения в действии.

Однако, как впервые было отмечено в статье Арнольда, существуют почти интегрируемые системы, для которых существуют решения, демонстрирующие сколь угодно большой рост переменных действия. Точнее, Арнольд рассмотрел пример почти интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом

$H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1)+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}$

Первые три члена этого гамильтониана описывают систему ротатор-маятник.Арнольд показал, что для этой системы при любом выборе $I_{+}>I_{-}>0$и для $0<\mu \ll \epsilon \ll 1$, существует решение системы, для которого

$I(0)<I_{-}{\text{ and }}I(T)>I_{+}$

в течение некоторого времени $T\gg 0.$

Его доказательство опирается на существование «переходных цепочек» «усов» торов, то есть последовательностей торов с транзитивной динамикой, таких, что неустойчивое многообразие (ус) одного из этих торов трансверсально пересекает стабильное многообразие (ус) следующего. один. Арнольд предположил, что «механизм «цепей переходов», гарантирующий неустойчивость в нашем примере, применим и к общему случаю (например, к задаче трех тел)».

Теорема КАМ и диффузия Арнольда привели к созданию сборника строгих математических результатов с идеями из физики.

Общий случай

В модели Арнольда член возмущения имеет особый тип. Общий случай диффузионной задачи Арнольда касается гамильтоновых систем одного из видов

(1) $H_{\epsilon }(I,\phi ,p,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)$

где $(I,\phi ,p,q,t)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}$, $m,n\geq 1$, и $H_{0}(I,p,q)$ описывает систему ротатор-маятник, или

(2) $H_{\epsilon }(I,\phi )=H_{0}(I)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,t)$

где $(I,\phi ,t)\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N}\times \mathbb {T} ^{1}$, $N\geq 2.$

Для систем типа (1) невозмущенный гамильтониан обладает гладкими семействами инвариантных торов, имеющими гиперболические устойчивые и неустойчивые многообразия; такие системы называются априори неустойчивыми . Для системы типа (2) фазовое пространство невозмущенного гамильтониана расслаивается на лагранжевы инвариантные торы; такие системы называются априорно устойчивыми . В любом случае проблема диффузии Арнольда утверждает, что для «общих» систем существует $\rho >0$ такой, что для каждого $\epsilon >0$ достаточно малы, существуют кривые решения, для которых

$\|I(T)-I(0)\|\geq \rho$

в течение некоторого времени $T\gg 0.$ Точные формулировки возможных условий общности в контексте априорно нестабильной и априорно устойчивой системы можно найти в: соответственно. Неформально говоря, проблема диффузии Арнольда гласит, что небольшие возмущения могут накапливаться и приводить к большим эффектам.

Недавние результаты в априорно нестабильном случае включают: и в априорно устойчивом случае.

В контексте ограниченной задачи трех тел диффузию Арнольда можно интерпретировать в том смысле, что для всех достаточно малых, ненулевых значений эксцентриситета эллиптических орбит массивных тел существуют решения, вдоль которых энергия пренебрежимо малая масса изменяется на величину, не зависящую от эксцентриситета.

См. также

• KAM theorem
• оценки Нехорошева