Бабочка Хофштадтера

Рендеринг бабочки Хофштадтера

В конденсированного состояния физике бабочка Хофштадтера представляет собой график спектральных свойств невзаимодействующих двумерных электронов в перпендикулярном магнитном поле в решетке . Фрактальная, самоподобная природа спектра была открыта в докторской диссертации 1976 года. работа Дугласа Хофштадтера и является одним из первых примеров современной визуализации научных данных. Название отражает тот факт, что, как писал Хофштадтер, «большие пробелы [на графике] образуют очень яркий узор, чем-то напоминающий бабочку».

Бабочка Хофштадтера играет важную роль в теории целочисленного квантового эффекта Холла и теории топологических квантовых чисел .

История

Первое математическое описание электронов на двумерной решетке, на которые действует перпендикулярное однородное магнитное поле, было изучено Рудольфом Пайерлсом и его учеником Р.Г. Харпером в 1950-х годах.

Хофштадтер впервые описал структуру в 1976 году в статье об энергетических уровнях блоховских электронов в перпендикулярных магнитных полях. Он дает графическое представление спектра уравнения Харпера на разных частотах. Один ключевой аспект математической структуры этого спектра – расщепление энергетических зон для определенного значения магнитного поля по одному измерению (энергии) – был ранее упомянут вскользь советским физиком Марком Азбелем в 1964 году. (в статье, цитируемой Хофштадтером), но Хофштадтер значительно расширил эту работу, построив график всех значений магнитного поля в зависимости от всех значений энергии, создав двумерный график, который впервые раскрыл уникальные рекурсивные геометрические свойства спектра.

Написанная во время учебы Хофштадтера в Университете Орегона , его статья оказала влияние на направление дальнейших исследований. На теоретических основаниях он предсказал, что значения разрешенных уровней энергии электрона в двумерной квадратной решетке в зависимости от магнитного поля, приложенного перпендикулярно системе, образуют то, что сейчас известно как фрактальное множество . То есть распределение энергетических уровней для мелкомасштабных изменений приложенного магнитного поля рекурсивно повторяет закономерности, наблюдаемые в крупномасштабной структуре. «Gplot», как Хофштадтер назвал эту фигуру, был описан как рекурсивная структура в его статье 1976 года в Physical Review B : написанное до того, как Бенуа Мандельбротом в английском тексте появилось новое слово «фрактал», придуманное . Хофштадтер также обсуждает эту фигуру в своей книге 1979 года « Гёдель, Эшер, Бах» . Структура стала широко известна как «бабочка Хофштадтера».

Дэвид Дж. Таулесс и его команда обнаружили, что крылья бабочки характеризуются целыми числами Черна , которые позволяют вычислить холловскую проводимость в модели Хофштадтера.

Подтверждение

Моделирование электронов с помощью сверхпроводящих кубитов дает бабочку Хофштадтера

В 1997 году бабочка Хофштадтера была воспроизведена в экспериментах с микроволновым проводником, оснащенным решеткой рассеивателей. Сходство математического описания СВЧ-волна с рассеивателями и волн Блоха в магнитном поле позволило воспроизвести бабочку Хофштадтера для периодических последовательностей рассеивателей.

В 2001 году Кристиан Альбрехт, Клаус фон Клитцинг и его коллеги реализовали экспериментальную установку для проверки Таулесса и др. Предсказания Хофштадтера о бабочке Хофштадтера с двумерным электронным газом в потенциале сверхрешетки.

В 2013 году три отдельные группы исследователей независимо сообщили о наличии спектра бабочки Хофштадтера в графеновых устройствах, изготовленных на гексагональных подложках из нитрида бора . В этом случае спектр бабочки возникает в результате взаимодействия между приложенным магнитным полем и крупномасштабным муаровым узором , который развивается, когда решетка графена ориентирована с рассогласованием почти нулевого угла по отношению к нитриду бора.

В сентябре 2017 года группа Джона Мартиниса в Google в сотрудничестве с группой Ангелакиса из CQT Singapore опубликовала результаты моделирования 2D-электронов в перпендикулярном магнитном поле с использованием взаимодействующих фотонов в 9 сверхпроводящих кубитах . Моделирование, как и ожидалось, восстановило бабочку Хофштадтера.

В 2021 году бабочку наблюдали в скрученном двухслойном графене под вторым магическим углом.

Теоретическая модель

Бабочка Хофштадтера — это графическое решение уравнения Харпера, где соотношение энергий $\epsilon$ построен как функция отношения потоков $2\pi \alpha$.

В своей оригинальной статье Хофштадтер рассматривает следующий вывод: заряженная квантовая частица в двумерной квадратной решетке с шагом решетки $a$, описывается периодическим уравнением Шредингера в перпендикулярном статическом однородном магнитном поле, ограниченном одной полосой Блоха. Для двумерной квадратной решетки сильной энергии уравнение дисперсии связи имеет вид

$W(\mathbf {k} )=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a)={\frac {E_{0}}{2}}(e^{ik_{x}a}+e^{-ik_{x}a}+e^{ik_{y}a}+e^{-ik_{y}a})$,

где $W(\mathbf {k} )$ энергетическая функция, $\mathbf {k} =(k_{x},k_{y})$ – импульс кристалла , а $E_{0}$ является эмпирическим параметром. Магнитное поле $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$, где $\mathbf {A}$ магнитный векторный потенциал может быть учтен с помощью замены Пайерлса , заменяя импульс кристалла каноническим импульсом $\hbar \mathbf {k} \to \mathbf {p} -q\mathbf {A}$, где $\mathbf {p} =(p_{x},p_{y})$ частицы — оператор импульса , $q$ – заряд частицы ( $q=-e$ для электрона, $e$ – элементарный заряд ). Для удобства выбираем калибр $\mathbf {A} =(0,Bx,0)$.

Используя это $e^{ip_{j}a}$ является оператором перевода , так что $e^{ip_{j}a}\psi (x,y)=\psi (x+a,y)$, где $j=x,y,z$ и $\psi (\mathbf {r} )=\psi (x,y)$ — двумерная волновая функция частицы . Можно использовать $W(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )$ в качестве эффективного гамильтониана , чтобы получить следующее независимое от времени уравнение Шредингера:

$E\psi (x,y)={\frac {E_{0}}{2}}\left[\psi (x+a,y)+\psi (x-a,y)+\psi (x,y+a)e^{-iqBxa/\hbar }+\psi (x,y-a)e^{+iqBxa/\hbar }\right].$

Учитывая, что частица может прыгать только между точками решетки, запишем $x=na,y=ma$, где $n,m$ являются целыми числами. Хофштадтер дает следующий анзац : $\psi (x,y)=g_{n}e^{i\nu m}$, где $\nu$ зависит от энергии, чтобы получить уравнение Харпера (также известное как почти оператор Матье для $\lambda =1$):

$g_{n+1}+g_{n-1}+2\cos(2\pi n\alpha -\nu )g_{n}=\epsilon g_{n},$

где $\epsilon =2E/E_{0}$ и $\alpha =\phi (B)/\phi _{0}$, $\phi (B)=Ba^{2}$ пропорциональна магнитному потоку через ячейку решетки и $\phi _{0}=2\pi \hbar /q$ – квант магнитного потока . Коэффициент потока $\alpha$ также может быть выражено через магнитную длину ${\textstyle l_{\rm {m}}={\sqrt {\hbar /eB}}}$, такой, что ${\textstyle \alpha =(2\pi )^{-1}(a/l_{\rm {m}})^{2}}$.

Бабочка Хофштадтера — результат сюжета $\epsilon _{\alpha }$ как функция отношения потоков $\alpha$, где $\epsilon _{\alpha }$ это совокупность всех возможных $\epsilon$ которые являются решением уравнения Харпера.

Решения уравнения Харпера и лечение Ванье

Фазовая диаграмма бабочки Хофштадтера при нулевой температуре. Горизонтальная ось указывает плотность электронов, начиная с отсутствия электронов слева. Вертикальная ось указывает силу магнитного потока, начиная с нуля внизу, картина периодически повторяется для более сильных полей. Цвета представляют собой числа Черна пробелов в спектре, также известные как целые числа TKNN (Таулесс, Кохмото, Найтингейл и Нийс). Голубоватые холодные цвета указывают на отрицательные числа Черна, теплые красные цвета — на положительные числа Черна, белый — на ноль.

Из-за свойств функции косинуса эта закономерность является периодической. $\alpha$ с периодом 1 (он повторяется для каждого квантового потока на элементарную ячейку). График в районе г. $\alpha$ между 0 и 1 имеет отражательную симметрию в линиях ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ и $\epsilon =0$. Обратите внимание, что $\epsilon$ обязательно ограничено между -4 и 4.

Уравнение Харпера обладает тем особым свойством, что решения зависят от рациональности $\alpha$. Навязывая периодичность $n$, можно показать, что если $\alpha =P/Q$ ( рациональное число ), где $P$ и $Q$ являются различными простыми числами , существует ровно $Q$ энергетические полосы. Для больших $Q\gg P$энергетические зоны сходятся к тонким энергетическим зонам, соответствующим уровням Ландау .

Грегори Ванье показал, что, учитывая плотность состояний , можно получить диофантово уравнение , описывающее систему: как

${\frac {n}{n_{0}}}=S+T\alpha$

где

$n=\int _{-4}^{\epsilon _{\rm {F}}}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon \;;\;n_{0}=\int _{-4}^{4}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon$

где $S$ и $T$ являются целыми числами, а $\rho (\epsilon )$ плотность состояний при данном $\alpha$. Здесь $n$ подсчитывает количество состояний с точностью до энергии Ферми , и $n_{0}$ соответствует уровням полностью заполненной зоны (от $\epsilon =-4$ к $\epsilon =4$). Это уравнение характеризует все решения уравнения Харпера. Самое главное, это можно получить, когда $\alpha$ — иррациональное число , существует бесконечно много решений для него. $\epsilon _{\alpha }$.

Союз всех $\epsilon _{\alpha }$ образует самоподобный фрактал, разрывающий между рациональными и иррациональными значениями $\alpha$. Этот разрыв нефизичен, и непрерывность восстанавливается при конечной неопределенности в $B$ или для решеток конечного размера. Масштаб, в котором бабочка может быть решена в реальном эксперименте, зависит от конкретных условий системы.

Фазовая диаграмма, проводимость и топология

Фазовая диаграмма электронов в двумерной квадратной решетке в зависимости от перпендикулярного магнитного поля, химического потенциала и температуры имеет бесконечное число фаз. Таулесс и его коллеги показали, что каждая фаза характеризуется интегральной холловской проводимостью, где допускаются все целые значения. Эти целые числа известны как числа Черна .

См. также

• Модель Обри – Андре