Кристаллический импульс

Существует бесконечное количество синусоидальных колебаний, которые идеально соответствуют набору дискретных осцилляторов, что делает невозможным однозначное определение k-вектора. Это связь межосцилляторных расстояний с пространственной частотой Найквиста волн в решетке. См. также Псевдоним § Выборка синусоидальных функций для получения дополнительной информации об эквивалентности k-векторов.

В твердого тела физике импульс кристалла или квазиимпульс представляет собой импульсу, , подобный вектор связанный с электронами в кристаллической решетке . Он определяется соответствующими волновыми векторами $\mathbf {k}$ этой решетки, согласно

${\mathbf {p} }_{\text{crystal}}\equiv \hbar {\mathbf {k} }$

(где $\hbar$ – приведенная постоянная Планка ). Часто Импульс кристалла сохраняется , как и механический импульс, что делает его полезным для физиков и материаловедов в качестве аналитического инструмента.

Происхождение симметрии решетки

Распространенный метод моделирования кристаллической структуры и поведения состоит в том, чтобы рассматривать электроны как квантово-механические частицы, движущиеся через фиксированный бесконечный периодический потенциал. $V(x)$ такой, что

$V({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=V({\mathbf {x} }),$

где $\mathbf {a}$ — произвольный вектор решетки . Такая модель разумна, поскольку кристаллические ионы , образующие структуру решетки, обычно в десятки тысяч раз массивнее электронов. что позволяет безопасно заменить их структурой с фиксированным потенциалом, а макроскопические размеры кристалла обычно намного превышают один шаг решетки, что делает краевые эффекты незначительными. Следствием этой функции потенциальной энергии является то, что можно сместить начальное положение электрона на любой вектор решетки. $\mathbf {a}$ без изменения какого-либо аспекта проблемы, тем самым определяя дискретную симметрию . Технически бесконечный периодический потенциал подразумевает, что оператор перевода решетки $T(a)$ коммутирует с гамильтонианом , принимая простую форму кинетика-плюс-потенциал.

Из этих условий следует теорема Блоха , которая утверждает

$\psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }),\qquad u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })$,

или что электрон в решетке, который можно смоделировать как волновую функцию одной частицы $\psi (\mathbf {x} )$, находит свои стационарные решения в виде плоской волны, умноженной на периодическую функцию $u(\mathbf {x} )$. Теорема возникает как прямое следствие упомянутого выше факта, что оператор перевода симметрии решетки коммутирует с гамильтонианом системы.

Одним из примечательных аспектов теоремы Блоха является то, что она непосредственно показывает, что стационарные решения можно отождествить с волновым вектором. $\mathbf {k}$, что означает, что это квантовое число остается константой движения. Импульс кристалла затем традиционно определяется путем умножения этого волнового вектора на постоянную Планка:

${\mathbf {p} }_{\text{crystal}}=\hbar {\mathbf {k} }.$

Хотя на самом деле это идентично определению, которое можно было бы дать для регулярного импульса (например, рассматривая эффекты оператора перевода с помощью эффектов частицы в свободном пространстве ),существуют важные теоретические различия. Например, хотя регулярный импульс полностью сохраняется, импульс кристалла сохраняется только в пределах вектора решетки. Например, электрон можно описать не только волновым вектором $\mathbf {k}$, но и с любым другим волновым вектором $\mathbf {k} '$такой, что

$\mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K} ,$

где $\mathbf {K}$ – произвольный вектор обратной решетки . Это следствие того факта, что симметрия решетки дискретна, а не непрерывна, и, следовательно, связанный с ней закон сохранения не может быть получен с помощью теоремы Нётер .

Физическое значение

Фазовая модуляция блоховского состояния $\psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })$ такое же, как у свободной частицы с импульсом $\hbar k$, то есть $k$ дает периодичность состояния, которая отличается от периодичности решетки. Эта модуляция вносит вклад в кинетическую энергию частицы (тогда как модуляция полностью отвечает за кинетическую энергию свободной частицы).

В областях, где зона имеет приблизительно параболическую форму, импульс кристалла равен импульсу свободной частицы с импульсом $\hbar k$ если мы присвоим частице эффективную массу , связанную с кривизной параболы.

Отношение к скорости

Волновой пакет с дисперсией , из-за чего групповая скорость и фазовая скорость различны. Это изображение представляет собой одномерную реальную волну, но электронные волновые пакеты представляют собой трехмерные сложные волны.

Импульс кристалла соответствует физически измеримому понятию скорости согласно

${\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }).$

Это та же формула, что и групповая скорость волны . Точнее, из-за принципа неопределенности Гейзенберга электрон в кристалле не может иметь одновременно точно определенное значение k и точное положение в кристалле. Однако он может сформировать волновой пакет с центром по импульсу k (с небольшой неопределенностью) и с центром в определенном положении (с небольшой неопределенностью). Положение центра этого волнового пакета меняется по мере распространения волны, движущейся через кристалл со скоростью v, заданной формулой выше. В реальном кристалле электрон движется таким образом — путешествуя в определенном направлении с определенной скоростью — лишь в течение короткого периода времени, прежде чем столкнуться с дефектом кристалла, который заставляет его двигаться в другом, случайном направлении. Эти столкновения, называемые рассеянием электронов , чаще всего вызываются кристаллографическими дефектами , поверхностью кристалла и случайными тепловыми колебаниями атомов в кристалле ( фононами ).

Реакция на электрические и магнитные поля

Импульс кристалла также играет важную роль в полуклассической модели динамики электрона, что следует из теоремы об ускорении. что он подчиняется уравнениям движения (в единицах СГС):

${\mathbf {v} }_{n}({\mathbf {k} })={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{\mathbf {k} }E_{n}({\mathbf {k} }),$

${\mathbf {\dot {p}} }_{\text{crystal}}=-e\left({\mathbf {E} }-{\frac {1}{c}}{\mathbf {v} }\times {\mathbf {H} }\right)$

Здесь, возможно, аналогия между импульсом кристалла и истинным импульсом наиболее сильна, поскольку это именно те уравнения, которым подчиняется электрон в свободном пространстве в отсутствие какой-либо кристаллической структуры. Импульс кристалла также имеет шанс проявить себя в такого рода расчетах, поскольку для того, чтобы вычислить траекторию движения электрона с использованием приведенных выше уравнений, нужно учитывать только внешние поля, пытаясь выполнить расчет на основе набора уравнений движения, основанных на истинный импульс потребует учета индивидуальных сил Кулона и Лоренца каждого отдельного иона решетки в дополнение к внешнему полю.

Приложения

Фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES)

В фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES) облучение кристаллического образца светом приводит к выбросу электрона из кристалла. В ходе взаимодействия можно объединить две концепции кристалла и истинного импульса и тем самым получить прямое знание зонной структуры кристалла. Другими словами, кристаллический импульс электрона внутри кристалла становится его истинным импульсом после того, как он покидает кристалл, и истинный импульс впоследствии можно вывести из уравнения

${\mathbf {p_{\parallel }} }={\sqrt {2mE_{\text{kin}}}}\sin \theta$

путем измерения угла и кинетической энергии, под которой электрон выходит из кристалла, где $m$ - масса одного электрона. Поскольку на границе кристалла теряется симметрия кристалла в направлении, нормальном к поверхности кристалла, импульс кристалла в этом направлении не сохраняется. Следовательно, единственные направления, в которых можно получить полезные данные ARPES, — это направления, параллельные поверхности кристалла.