Модель Обри – Андре

Модель Обри-Андре представляет собой игрушечную модель одномерного кристалла с периодически меняющейся локальной энергией. Модель применяется для изучения как квазикристаллов , так и локализационного перехода Андерсона металл-диэлектрик в неупорядоченных системах. Впервые он был разработан Сержем Обри и Жилем Андре в 1980 году.

Гамильтониан модели

Переход Обри-Андре металл-изолятор, обратная длине локализации $l_{\rm {loc}}$ как функция энергетических отношений $\lambda /J$.

Модель Обри-Андре описывает одномерную решетку с перескоком между узлами ближайших соседей и периодически меняющимися энергиями на узлах. Это модель с жесткой привязкой (однозонная) без взаимодействий. Полный гамильтониан можно записать как

$H=\sum _{n}{\Bigl (}-J|n\rangle \langle n+1|-J|n+1\rangle \langle n|+\epsilon _{n}|n\rangle \langle n|{\Bigr )}$,

где где сумма идет по всем узлам решетки $n$, $|n\rangle$ находится штат Ванье на территории $n$, $J$ - это прыжковая энергия, а энергии на месте $\epsilon _{n}$ даны

$\epsilon _{n}=\lambda \cos(2\pi \beta n+\varphi )$.

Здесь $\lambda$ - амплитуда изменения локальных энергий, $\varphi$ является относительной фазой, и $\beta$ – период модуляции локального потенциала в единицах постоянной решетки. Этот гамильтониан самодуален, поскольку сохраняет ту же форму после преобразования Фурье, меняющего роли положения и импульса.

Фазовый переход металл-изолятор

Для иррациональных значений $\beta$, соответствующий модуляции локальной энергии, несоизмеримой с основной решеткой, модель демонстрирует квантовый фазовый переход между металлической фазой и изолирующей фазой как $\lambda$ разнообразен. Например, для $\beta =(1+{\sqrt {5}})/2$ ( золотое сечение ) и почти любое $\varphi$, если $\lambda >2J$ собственные моды экспоненциально локализованы, а если $\lambda <2J$ собственные моды представляют собой протяженные плоские волны. Переход Обри-Андре металл-изолятор происходит при критическом значении $\lambda$ который разделяет эти два поведения, $\lambda =2J$.

Хотя этот квантовый фазовый переход , вызванный беспорядком между металлическим делокализованным состоянием и изолирующим локализованным состоянием напоминает локализационный переход Андерсона , между этими двумя явлениями есть некоторые ключевые различия. В частности, модель Обри-Андре не имеет реального беспорядка, а только несоизмеримую модуляцию локальных энергий. Именно поэтому переход Обри-Андре происходит при конечном значении силы псевдобеспорядка. $\lambda$, тогда как в одном измерении переход Андерсона происходит при нулевой силе беспорядка.

Энергетический спектр

Энергетический спектр $E_{n}$ является функцией $\beta$ и определяется почти уравнением Матье

$E_{n}\psi _{n}=-J(\psi _{n+1}+\psi _{n-1})+\epsilon _{n}\psi _{n}$.

В $\lambda =2J$ это эквивалентно знаменитому фрактальному энергетическому спектру, известному как бабочка Хофштадтера , который описывает движение электрона в двумерной решетке под действием магнитного поля. В модели Обри–Андре напряженность магнитного поля отображается на параметр $\beta$.

Реализация

В 2008 году Дж. Роати и др. экспериментально реализовали фазовый переход локализации Обри-Андре, используя газ ультрахолодных атомов в несоразмерной оптической решетке.

В 2009 г. Ю. Лахини и др. реализовал модель Обри-Андре в фотонных решетках.

См. также

• Арнольд язык
• Модель Бозе – Хаббарда