Хофштадтерские очки

В плоской геометрии точка Хофштадтера — это особая точка, связанная с каждым плоским треугольником . На самом деле с треугольником связано несколько точек Хофштадтера. Все они являются центрами треугольников . Два из них, нулевая точка Хофштадтера и одноточечная Хофштадтера , представляют особый интерес. Это два трансцендентных треугольных центра . Нулевая точка Хофштадтера — это центр, обозначенный как X (360), а одноточечная точка Хофштадтера — это центр, обозначенный как X (359) в Кларка Кимберлинга Энциклопедии центров треугольников . Нулевая точка Хофштадтера была открыта Дугласом Хофштадтером в 1992 году.

Треугольники Хофштадтера

Пусть △ ABC — данный треугольник. Пусть r — положительная вещественная константа.

Поверните отрезок BC вокруг B на угол rB в направлении A и пусть L _BC будет линией, содержащей этот отрезок. Затем поверните отрезок BC вокруг C на угол rC направлении A. в Пусть L' _BC — прямая, содержащая этот отрезок. прямые LBC _BC и L' _. пересекаются в точке A ( r ) Пусть Аналогично точки B ( r ) и C ( r ) строятся . Треугольник, вершинами которого являются A ( r ), B ( r ), C ( r ), -треугольником Хофштадтера является r (или r -треугольником Хофштадтера) треугольника △ ABC .

Особый случай

• Треугольник Хофштадтера 1/3 треугольника △ ABC является первым треугольником Морли треугольника △ ABC . Треугольник Морли всегда равносторонний .
• Треугольник Хофштадтера 1/2 — это просто центр треугольника.

Трилинейные координаты вершин треугольников Хофштадтера

Трилинейные координаты вершин r -треугольника Хофштадтера приведены ниже:

$${\begin{array}{ccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{array}}$$

Очки Хофштадтера

Анимация, показывающая различные точки Хофштадтера. H ₀ — нулевая точка Хофштадтера. H ₁ – одноточечная точка Хофштадтера. Маленькая красная дуга в центре треугольника — это место расположения r -точек Хофштадтера для 0 < r < 1 . Это геометрическое положение проходит через центр I треугольника.

Для положительной вещественной константы r > 0 пусть A ( r ), B ( r ), C ( r ) -треугольник Хофштадтера — r треугольника △ ABC . Тогда прямые AA ( r ), BB ( r ), CC ( r ) совпадают. Точка совпадения — это r -точка Хофштдтера △ ABC .

Хофштадтера Трилинейные координаты r -точки

Трилинейные координаты -точки Хофштадтера r приведены ниже.

$${\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}\ :\ {\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}\ :\ {\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}$$

одно

Трилинейные координаты этих точек невозможно получить, подставив значения 0 и 1 для r в выражения для трилинейных координат r -точки Хофштадтера.

Нулевая точка Хофштадтера является пределом -точки Хофштадтера, r когда r приближается к нулю; таким образом, трилинейные координаты нулевой точки Хофштадтера получаются следующим образом:

$${\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC\sin(C-rC)}}\end{array}}$$

С $\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rA}{rA}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rB}{rB}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rC}{rC}}=1,$

$$\implies {\frac {A}{\sin A}}\ :\ {\frac {B}{\sin B}}\ :\ {\frac {C}{\sin C}}\quad =\quad {\frac {A}{a}}\ :\ {\frac {B}{b}}\ :\ {\frac {C}{c}}$$

Одна точка Хофштадтера является пределом r -точки Хофштадтера, когда r приближается к единице; таким образом, трилинейные координаты одноточки Хофштадтера получаются следующим образом:

$${\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{array}}$$

С $\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)A}{\sin(A-rA)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)B}{\sin(B-rB)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)C}{\sin(C-rC)}}=1,$

$$\implies {\frac {\sin A}{A}}\ :\ {\frac {\sin B}{B}}\ :\ {\frac {\sin C}{C}}\quad =\quad {\frac {a}{A}}\ :\ {\frac {b}{B}}\ :\ {\frac {c}{C}}$$