Уравнение Бенджамина–Боны–Махони.

Анимация обгона двух уединенных волн согласно уравнению Бенджамина–Боны–Махони (BBM). Высоты уединенных волн равны 1,2 и 0,6 соответственно, а их скорости 1,4 и 1,2.
Верхний график соответствует системе отсчета , движущейся со средней скоростью уединенных волн. Огибающая . догоняющих волн показана серым цветом: обратите внимание, что максимальная высота волны уменьшается в процессе взаимодействия
Нижний график (с другим вертикальным масштабом и в стационарной системе отсчета) показывает колебательный хвост, возникающий в результате взаимодействия. ^{[ 1 ]} Таким образом, уединенно-волновые решения уравнения ББМ не являются солитонами .

Уравнение Бенджамина-Боны-Махони ( уравнение BBM , также регуляризованное длинноволновое уравнение ; RLWE ) представляет собой уравнение в частных производных

u_{t}+u_{x}+uu_{x}-u_{xxt}=0.\,

Это уравнение изучалось Бенджамином , Боной и Махони ( 1972 ) как усовершенствование уравнения Кортевега-де Фриза (уравнение КдВ) для моделирования длинных поверхностных гравитационных волн небольшой амплитуды, распространяющихся однонаправленно в измерениях 1+1. Они показывают устойчивость и единственность решений уравнения ББМ. Это контрастирует с уравнением КдВ, которое неустойчиво в компонентах с высокими волновыми числами . Кроме того, в то время как уравнение КдВ имеет бесконечное число интегралов движения , уравнение ББМ имеет только три. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Раньше, в 1966 году, это уравнение было введено Перегрином при исследовании ондулярных отверстий . ^{[ 4 ]}

Обобщенная n -мерная версия имеет вид ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

u_{t}-\nabla ^{2}u_{t}+\operatorname {div} \,\varphi (u)=0.\,

где $\varphi$ является достаточно гладкой функцией от $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R} ^{n}$ . Аврин и Гольдштейн (1985) доказали глобальное существование решения во всех измерениях.

Решение для уединенной волны

Уравнение ББМ имеет уединенно-волновые решения вида: ^{[ 3 ]}

u=3{\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {1}{2}}\left(cx-{\frac {ct}{1-c^{2}}}+\delta \right),

где sech — гиперболический секанс , а $\delta$ – фазовый сдвиг (за счет начального горизонтального смещения). Для $|c|<1$ , уединенные волны имеют положительную высоту гребня и распространяются в положительном направлении. $x$ -направление со скоростью $1/(1-c^{2}).$ Эти уединенные волны не являются солитонами , т.е. после взаимодействия с другими уединенными волнами образуется колебательный хвост и уединенные волны изменились. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

гамильтонова структура

Уравнение BBM имеет гамильтонову структуру , так как его можно записать как: ^{[ 7 ]}

u_{t}=-{\mathcal {D}}{\frac {\delta H}{\delta u}},\,

с гамильтонианом

H=\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\tfrac {1}{2}}u^{2}+{\tfrac {1}{6}}u^{3}\right)\,{\text{d}}x\,

и оператор

{\mathcal {D}}=\left(1-\partial _{x}^{2}\right)^{-1}\,\partial _{x}.

Здесь $\delta H/\delta u$ представляет собой вариацию гамильтониана $H(u)$ относительно $u(x),$ и $\partial _{x}$ обозначает оператор частных производных относительно $x.$

Законы сохранения

Уравнение BBM обладает ровно тремя независимыми и нетривиальными законами сохранения . ^{[ 3 ]} Первый $u$ заменяется на $u=-v-1$ в уравнении BBM, что приводит к эквивалентному уравнению:

v_{t}-v_{xxt}=v\,v_{x}.

Тогда три закона сохранения таковы: ^{[ 3 ]}

{\begin{aligned}v_{t}-\left(v_{xt}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}\right)_{x}&=0,\\\left({\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\tfrac {1}{2}}v_{x}^{2}\right)_{t}-\left(v\,v_{xt}+{\tfrac {1}{3}}v^{3}\right)_{x}&=0,\\\left({\tfrac {1}{3}}v^{3}\right)_{t}+\left(v_{t}^{2}-v_{xt}^{2}-v^{2}\,v_{xt}-{\tfrac {1}{4}}v^{4}\right)_{x}&=0.\end{aligned}}

Что можно легко выразить через $u$ используя $v=-u-1.$

Линейная дисперсия

Линеаризованная версия уравнения BBM:

u_{t}+u_{x}-u_{xxt}=0.

Решения периодической прогрессивной волны имеют вид:

u=a\,\mathrm {e} ^{i(kx-\omega t)},

с $k$ волновое число и $\omega$ частота угловая . Дисперсионное соотношение линеаризованного уравнения ББМ имеет вид ^{[ 2 ]}

\omega _{\mathrm {BBM} }={\frac {k}{1+k^{2}}}.

Аналогично для линеаризованного уравнения КдВ $u_{t}+u_{x}+u_{xxx}=0$ дисперсионное соотношение: ^{[ 2 ]}

\omega _{\mathrm {KdV} }=k-k^{3}.

Оно становится неограниченным и отрицательным для $k\to \infty ,$ и то же самое относится и к фазовой скорости $\omega _{\mathrm {KdV} }/k$ и групповая скорость $\mathrm {d} \omega _{\mathrm {KdV} }/\mathrm {d} k.$ Следовательно, уравнение КдВ дает волны, бегущие в отрицательном направлении. $x$ -направление для высоких волновых чисел (короткие волны ). Это противоречит его цели - аппроксимации однонаправленных волн, распространяющихся в положительном направлении. $x$ -направление. ^{[ 2 ]}

Сильный рост частоты $\omega _{\mathrm {KdV} }$ и фазовая скорость с волновым числом $k$ поставили проблемы при численном решении уравнения КдВ, в то время как уравнение ББМ лишено этих недостатков. ^{[ 2 ]}

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Бона, Причард и Скотт (1980)
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бенджамин , Бона и Махони ( 1972 )
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Олвер (1979)
^ Перегрин (1966)
^ Гольдштейн и Вичноски (1980)
^ Аврин и Гольдштейн (1985)
^ Олвер, П.Дж. (1980), «О гамильтоновой структуре эволюционных уравнений», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 88 (1): 71–88, Bibcode : 1980MPCPS..88...71O , doi : 10.1017/S0305004100057364 , S2CID 10607644

Ссылки

Аврин, Дж.; Гольдштейн, Дж. А. (1985), «Глобальное существование уравнения Бенджамина – Боны – Махони в произвольных измерениях», Nonlinear Analysis , 9 (8): 861–865, doi : 10.1016/0362-546X(85)90023-9 , MR 0799889
Бенджамин, ТБ ; Бона, JL ; Махони, Дж. Дж. (1972), «Модельные уравнения для длинных волн в нелинейных дисперсионных системах», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки , 272 (1220): 47–78, Бибкод : 1972RSPTA.272...47B , doi : 10.1098/rsta.1972.0032 , ISSN 0962-8428 , JSTOR 74079 , S2CID 120673596
Бона, JL ; Притчард, В.Г.; Скотт, Л.Р. (1980), «Взаимодействие уединенной волны», Физика жидкостей , 23 (3): 438–441, Бибкод : 1980PhFl...23..438B , doi : 10.1063/1.863011
Гольдштейн, JA ; Вичноски, Б.Дж. (1980), «Об уравнении Бенджамина–Боны–Махони в более высоких измерениях», Nonlinear Analysis , 4 (4): 665–675, doi : 10.1016/0362-546X(80)90067-X
Олвер, П.Дж. (1979), «Операторы Эйлера и законы сохранения уравнения BBM», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 85 (1): 143–160, Bibcode : 1979MPCPS..85..143O , doi : 10.1017/ С0305004100055572 , S2CID 10840014
Перегрин, Д.Х. (1966), «Расчеты развития ондулярного канала», Journal of Fluid Mechanics , 25 (2): 321–330, Бибкод : 1966JFM....25..321P , doi : 10.1017/S0022112066001678 , S2CID 122299686
Цвиллингер, Д. (1998), Справочник дифференциальных уравнений (3-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press, стр. 174 и 176, ISBN. 978-0-12-784396-4 , MR 0977062 (Предупреждение: на стр. 174 Цвиллингер неверно формулирует уравнение Бенджамина – Боны – Махони, путая его с аналогичным уравнением КдВ.)

[Bona_Pritchard_Scott-1] Jump up to: ^а ^б Бона, Причард и Скотт (1980)

[BBM1972-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бенджамин , Бона и Махони ( 1972 )

[Olver-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Олвер (1979)

[4] Перегрин (1966)

[5] Гольдштейн и Вичноски (1980)

[6] Аврин и Гольдштейн (1985)

[7] Олвер, П.Дж. (1980), «О гамильтоновой структуре эволюционных уравнений», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 88 (1): 71–88, Bibcode : 1980MPCPS..88...71O , doi : 10.1017/S0305004100057364 , S2CID 10607644

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]