Метод Пуанкаре – Линдстедта

В теории возмущений метод Пуанкаре -Линдстедта или метод Линдстедта-Пуанкаре представляет собой метод равномерной аппроксимации периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений , когда подходы регулярных возмущений не работают. Этот метод удаляет вековые члены — члены, растущие без границ, — возникающие в результате прямого применения теории возмущений к слабо нелинейным задачам с конечными осциллирующими решениями.

Метод назван в честь Анри Пуанкаре . и Андерс Линдстедт .

Все усилия геометров во второй половине этого столетия имели главной целью устранение светских терминов.

- Анри Пуанкаре , Новые методы небесной механики, предисловие к тому I.

В статье приводится несколько примеров. Теорию можно найти в главе 10 книги Ферхюльста «Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы».

Пример: уравнение Дуффинга

Недемпфированное, невынужденное уравнение Даффинга имеет вид

${\ddot {x}}+x+\varepsilon \,x^{3}=0\,$

при t > 0, при 0 < ε ≪ 1.

Рассмотрим начальные условия

$x(0)=1,\,$   ${\dot {x}}(0)=0.\,$

решение в виде ряда возмущений вида x ( t ) = x ₀ ( t ) + ε   x ₁ ( t Ищем ) + .... Первые два члена ряда

$x(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3t)-\cos(t)\right)-{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)\right]+\cdots .\,$

Это приближение неограниченно растет во времени, что несовместимо с физической системой, которую моделирует уравнение . Термин, ответственный за этот неограниченный рост, называемый вековым термином , равен $t\sin(t)$. Метод Пуанкаре – Линдстедта позволяет создать точное для всех времен приближение следующим образом.

Помимо выражения самого решения в виде асимптотического ряда , сформируйте еще один ряд, с помощью которого можно масштабировать время t :

$\tau =\omega t,\,$   где   $\omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,$

Имеем старший порядок ω ₀ = 1, поскольку при $\epsilon =0$, уравнение имеет решение $x=\cos(t)$. Тогда исходная проблема становится

$\omega ^{2}\,x''(\tau )+x(\tau )+\varepsilon \,x^{3}(\tau )=0\,$

Теперь ищем решение вида x ( τ ) = x ₀ ( τ ) + ε   x ₁ ( τ ) + ... . следующие решения задачи нулевого и первого порядка по ε Получены :

${\begin{aligned}x_{0}&=\cos(\tau )\\{\text{and }}x_{1}&={\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3\tau )-\cos(\tau )\right)+\left(\omega _{1}-{\tfrac {3}{8}}\right)\,\tau \,\sin(\tau ).\end{aligned}}$

Таким образом, светский член можно удалить путем выбора: ω ₁ = ⁠ 3 / 8 ⁠ . Продолжая анализ возмущений по этому пути, можно получить более высокие порядки точности. На данный момент аппроксимация, с точностью до первого порядка по ε , равна

$x(t)\approx \cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)\,t{\Bigr )}+{\tfrac {1}{32}}\,\varepsilon \,\left[\cos {\Bigl (}3\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}-\cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}\right].\,$

Пример: генератор Ван дер Поля.

Мы решаем осциллятор Ван дер Поля только до порядка 2. Этот метод можно продолжать бесконечно таким же образом, где член порядка n $\epsilon ^{n}x_{n}$ состоит из гармонического члена $a_{n}\cos(t)+b_{n}\cos(t)$, плюс некоторые супергармонические члены $a_{n,2}\cos(2t)+b_{n,2}\cos(2t)+\cdots$. Коэффициенты супергармонических членов решаются напрямую, а коэффициенты гармонических членов определяются путем расширения до порядка - (n + 1) и исключения его векового члена.

См. главу 10 для вывода до порядка 3, и для компьютерного вывода до порядка 164.

Рассмотрим генератор Ван дер Поля с уравнением $${\ddot {x}}+\epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0$$где $\epsilon$ небольшое положительное число. Выполним замену во второй порядок:

$\tau =\omega t,\,$   где   $\omega =1+\epsilon \omega _{1}+\epsilon ^{2}\omega _{2}+O(\epsilon ^{3})$

что дает уравнение $$\omega ^{2}{\ddot {x}}+\omega \epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0$$Теперь подключите $x=x_{0}+\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+O(\epsilon ^{3})$, и у нас есть три уравнения для порядков $1,\epsilon ,\epsilon ^{2}$ соответственно: $${\begin{cases}{\ddot {x}}_{0}+x_{0}=0\\{\ddot {x}}_{1}+x_{1}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{0}+(x_{0}^{2}-1){\dot {x}}_{0}=0\\{\ddot {x}}_{2}+x_{2}+(\omega _{1}^{2}+2\omega _{2}){\ddot {x}}_{0}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{1}+2x_{0}x_{1}{\dot {x}}_{0}+\omega _{1}(x_{0}^{2}-1){\dot {x}}_{0}+{\dot {x}}_{1}(x_{0}^{2}-1)=0\end{cases}}$$Первое уравнение имеет общее решение $x_{0}=A\cos(\tau +\phi )$. Выберите начало времени так, чтобы $\phi =0$. Затем подставьте его во второе уравнение, чтобы получить (после некоторых тригонометрических тождеств) $${\ddot {x}}_{1}+x_{1}+(A-A^{3}/4)\sin \tau -2\omega _{1}A\cos \tau -(A^{3}/4)\sin(3\tau )=0$$Чтобы исключить светский термин, мы должны установить оба $\sin \tau ,\cos \tau$ коэффициенты равны нулю, таким образом, мы имеем $${\begin{cases}A=A^{3}/4\\2\omega _{1}A=0\end{cases}}$$уступчивость $A=2,\omega _{1}=0$. В частности, мы обнаружили, что когда $\epsilon$ увеличивается от нуля до небольшой положительной константы, все круговые орбиты в фазовом пространстве разрушаются, кроме орбиты радиуса 2. Теперь решаем ${\ddot {x}}_{1}+x_{1}=2\sin(3\tau )$ урожайность $x_{1}=B\cos(\tau +\phi )-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )$. Мы всегда можем поглотить $\epsilon B\cos(\tau +\phi )$ срок в $x_{0}$, поэтому мы можем WLOG просто $x_{1}=-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )$.

Теперь подставим второе уравнение и получим $${\ddot {x}}_{2}+x_{2}-(4\omega _{2}+1/4)\cos \tau -{\frac {3}{4}}\cos 3\tau -{\frac {5}{4}}\cos 5\tau =0$$Чтобы исключить светский термин, мы установили $\omega _{2}=-{\frac {1}{16}}$.

Таким образом, мы находим, что $\omega =1-{\frac {1}{16}}\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})$.

Пример: уравнение Матье

Это пример параметрического резонанса .

Рассмотрим уравнение Матье ${\ddot {x}}+(1+b\epsilon ^{2}+\epsilon \cos(t))x=0$, где $b$ является константой, и $\epsilon$ мал. Решение уравнения будет иметь две временные шкалы, одна из которых будет быстро меняться порядка $t$, и еще один, медленно меняющийся порядка $T=\epsilon ^{2}t$. Итак, расширьте решение как $$x(t)=x_{0}(t,T)+\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+O(\epsilon ^{3})$$Теперь подставим уравнение Матье и разложим его, чтобы получить $${\begin{cases}\partial _{t}^{2}x_{0}+x_{0}=0\\\partial _{t}^{2}x_{1}+x_{1}=-\cos(t)x_{0}\\\partial _{t}^{2}x_{2}+x_{2}=-bx_{0}-2\partial _{tT}x_{0}-\cos(t)x_{1}\end{cases}}$$Как и раньше, у нас есть решения $${\begin{cases}x_{0}=A\cos(t)+B\sin(t)\\x_{1}=-{\frac {A}{2}}+{\frac {A}{6}}\cos(2t)+{\frac {B}{6}}\sin(2t)\end{cases}}$$Коэффициенты векового члена в третьем уравнении равны $${\begin{cases}{\frac {1}{12}}\left(-12bA+5A-24B'\right)\\{\frac {1}{12}}\left(24A'-12bB-B\right)\end{cases}}$$Приравняв их нулю, находим уравнения движения:

${\frac {d}{dT}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{2}}({\frac {1}{12}}+b)\\{\frac {1}{2}}({\frac {5}{12}}-b)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}$

Его определитель ${\frac {1}{4}}(b-5/12)(b+1/12)$, и поэтому, когда $b\in (-1/12,5/12)$, начало координат является седловой точкой, поэтому амплитуда колебаний ${\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$ растет безгранично.

Другими словами, когда угловая частота (в данном случае $1$) по параметру достаточно близок к угловой частоте (в данном случае ${\sqrt {1+b\epsilon ^{2}}}$) исходного генератора, колебание растет неограниченно, как ребенок, качающийся на качелях, качающихся до Луны.

Расширение Шохата

Для генератора Ван дер Поля имеем $\omega \sim 1/\epsilon$ для больших $\epsilon$, так как $\epsilon$ становится большим, последовательное расширение $\omega$ с точки зрения $\epsilon$ расходится, и нам нужно будет соблюдать все больше и больше его членов, чтобы сохранить $\omega$ ограничено. Это подсказывает нам ограниченную параметризацию: $$r:={\frac {\epsilon }{1+\epsilon }}$$Затем, используя последовательные расширения $\epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots$ и $x=x_{0}+rx_{1}+r^{2}x_{2}+\cdots$и, используя тот же метод исключения светских членов, находим $c_{2}=1,c_{3}={\frac {15}{16}},c_{4}={\frac {13}{16}}$.

Потому что $\lim _{\epsilon \to \infty }r=1$, расширение $\epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots$ позволяет нам взять конечное число членов ряда справа, и он будет сходиться к конечному значению при $\epsilon \to \infty$ предел. Тогда у нас было бы $\omega \sim 1/\epsilon$, что и есть желаемое асимптотическое поведение. В этом и заключается идея расширения Шохата.

Точная асимптотическая константа равна $\epsilon \omega \to {\frac {2\pi }{3-2\ln 2}}=3.8936\cdots$, к которому, как мы видим, приближается $1+c_{2}+c_{3}+c_{4}=3.75$.