Релятивистские волновые уравнения

В физике , особенно в релятивистской квантовой механике (РКМ) и ее приложениях к физике элементарных частиц , релятивистские волновые уравнения предсказывают поведение частиц при высоких энергиях и скоростях , сравнимых со скоростью света . В контексте квантовой теории поля (КТП) уравнения определяют динамику квантовых полей . Решения уравнений, обычно обозначаемые как $ψ$ или $Ψ$ ( греческий psi ), называются « волновыми функциями » в контексте RQM и « полями » в контексте QFT. Сами уравнения называются «волновыми уравнениями» или «уравнениями поля», потому что они имеют математическую форму волнового уравнения или генерируются из лагранжевой плотности и теоретико-полевых уравнений Эйлера – Лагранжа ( см. в классической теории поля предысторию ).

В картине Шредингера волновая функция или поле является решением уравнения Шрёдингера ;

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi

один из постулатов квантовой механики . Все релятивистские волновые уравнения можно построить, задав различные формы гамильтонова оператора Ĥ, описывающего квантовую систему . Альтернативно, использует Фейнмана формулировка интеграла по траекториям лагранжиан, а не гамильтонов оператор.

В более общем плане – современный формализм, лежащий в основе релятивистских волновых уравнений, – это теория групп Лоренца , в которой спин частицы соответствует представлениям группы Лоренца . ^[1]

История [ править ]

: классическая и квантовая механика годов Начало 1920- х

Неудача классической механики применительно к молекулярным , атомным , ядерным системам и более мелким системам вызвала необходимость в новой механике: квантовой механике . Математическая формулировка была разработана Де Бройлем , Бором , Шрёдингером , Паули , Гейзенбергом и другими примерно в середине 1920-х годов и в то время была аналогична формулировке классической механики. Уравнение Шредингера и картина Гейзенберга напоминают классические уравнения движения в пределе больших квантовых чисел , а поскольку приведенная постоянная Планка $ħ$ , квант действия , стремится к нулю. Это принцип соответствия . На тот момент специальная теория относительности не была полностью объединена с квантовой механикой, поэтому формулировки Шредингера и Гейзенберга в том виде, в котором они первоначально предлагались, не могли использоваться в ситуациях, когда частицы движутся со скоростью, близкой к скорости света , или когда число частиц каждого типа изменения (это происходит при реальных взаимодействиях частиц ; многочисленные формы распада частиц , аннигиляции , создания материи , рождения пар , и так далее).

Конец 1920-х годов: релятивистская квантовая механика спина 0 и спина ¹/ ₂ частицы [ править ]

Описание квантово-механических систем, которые могли бы объяснить релятивистские эффекты, искали многие физики-теоретики с конца 1920-х до середины 1940-х годов. ^[2] Первая основа релятивистской квантовой механики , то есть специальной теории относительности, применяемой вместе с квантовой механикой, была найдена всеми теми, кто открыл то, что часто называют уравнением Клейна-Гордона :

-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+(\hbar c)^{2}\nabla ^{2}\psi =(mc^{2})^{2}\psi \,,

( 1 )

вставив оператор энергии и оператор импульса в релятивистское соотношение энергия-импульс :

E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}\,,

( 2 )

Решениями ( 1 ) являются скалярные поля . Уравнение КГ нежелательно из-за того, что оно предсказывает отрицательные энергии и вероятности в результате квадратичного характера ( 2 ) – неизбежного в релятивистской теории. Первоначально это уравнение было предложено Шредингером, и он отказался от него по таким причинам только для того, чтобы через несколько месяцев осознать, что его нерелятивистский предел (то, что сейчас называется уравнением Шредингера ) все еще имеет значение. Тем не менее ( 1 ) применимо к бозонам со спином 0 . ^[3]

Ни нерелятивистские, ни релятивистские уравнения, найденные Шрёдингером, не могли предсказать тонкую структуру спектрального ряда водорода . Загадочным основным свойством было вращение . Первые двумерные спиновые матрицы (более известные как матрицы Паули ) были введены Паули в уравнение Паули ; уравнение Шредингера с нерелятивистским гамильтонианом, включающим дополнительный член для частиц в магнитных полях , но это было феноменологически . Вейль нашел релятивистское уравнение в терминах матриц Паули; уравнение Вейля для безмассового спин- 1/2 фермиона . Проблема была решена Дираком в конце 1920-х годов, когда он добился дальнейшего применения уравнения ( 2 ) к электрону – путем различных манипуляций он факторизовал уравнение к виду:

\left({\frac {E}{c}}-{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\left({\frac {E}{c}}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta mc\right)\psi =0\,,

( 3А )

и одним из этих факторов является уравнение Дирака (см. ниже) после добавления операторов энергии и импульса. Впервые это ввело новые четырехмерные спиновые матрицы $α$ и $β$ в релятивистское волновое уравнение и объяснило тонкую структуру водорода. Решениями ( 3А ) являются многокомпонентные спинорные поля , и каждая компонента удовлетворяет ( 1 ). Замечательным результатом спинорных решений является то, что половина компонентов описывает частицу, а другая половина — античастицу ; в данном случае электрон и позитрон . Теперь известно, что уравнение Дирака применимо ко всем массивным спиновым 1/2 фермиона . В нерелятивистском пределе уравнение Паули восстанавливается, тогда как в безмассовом случае получается уравнение Вейля.

Хотя уравнение Дирака является вехой в квантовой теории, оно справедливо только для спин- 1/2 фермионов, и до сих пор предсказывает решения с отрицательной энергией, что вызвало в то время споры (в частности , не всех физиков устраивало « море Дирака » состояний с отрицательной энергией).

1930–1960-е годы: релятивистская квантовая механика частиц с спином высоким более

Стала ясна естественная задача: обобщить уравнение Дирака на частицы любого спина ; как фермионы, так и бозоны, и в тех же уравнениях их античастицы (возможно, благодаря спинорному формализму, введенному Дираком в его уравнение, а также недавним на тот момент разработкам Ван дер Вардена в спинорном исчислении в 1929 году), и в идеале с решениями с положительной энергией. ^[2]

Эта проблема была введена и решена Майораной в 1932 году путем отклонения от Дирака. Майорана считал один «корень» ( 3А ):

\left({\frac {E}{c}}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\psi =0\,,

( 3Б )

где $ψ$ — теперь спинорное поле с бесконечным числом компонент, несводимое к конечному числу тензоров или спиноров, чтобы устранить неопределенность в знаке. Матрицы преобразованиями $α$ и $β$ являются бесконечномерными матрицами, связанными с бесконечно малыми Лоренца . Он не требовал, чтобы каждый компонент 3B удовлетворял уравнению ( 2 ); вместо этого он восстановил уравнение, используя лоренц-инвариантное действие , принцип наименьшего действия и применение теории групп Лоренца . ^[4]^[5]

Майорана сделал и другие важные работы, которые не были опубликованы, включая волновые уравнения различных размерностей (5, 6 и 16). Позднее они были предвосхищены (более сложным образом) де Бройлем (1934), а Даффином, Кеммером и Петио (около 1938–1939) (см. « Алгебра Даффина – Кеммера – Петио») . Формализм Дирака-Фирца-Паули был более сложным, чем формализм Майораны, поскольку спиноры были новыми математическими инструментами в начале двадцатого века, хотя статью Майораны 1932 года было трудно полностью понять; Паули и Вигнеру потребовалось некоторое время, чтобы понять это, примерно в 1940 году. ^[2]

Дирак в 1936 году, а также Фирц и Паули в 1939 году построили уравнения из неприводимых спиноров $A$ и $B$ , симметричных по всем индексам, для массивной частицы со спином $n + .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 2$ для целого числа $n$ ( обозначениях Ван дер Вардена значение пунктирных индексов см. в ):

p_{\gamma {\dot {\alpha }}}A_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcB_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}

( 4А )

p^{\gamma {\dot {\alpha }}}B_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcA_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}

( 4Б )

где $p$ — импульс как ковариантный спинорный оператор. При $n = 0$ уравнения сводятся к связанным уравнениям Дирака, а $A$ и $B$ вместе преобразуются в исходный спинор Дирака . Исключение $A$ или $B$ показывает, что $A$ и $B$ удовлетворяют ( 1 ). ^[2] Прямой вывод уравнений Дирака-Паули-Фирца с использованием операторов Баргмана-Вигнера приведен в . ^[6]

В 1941 году Рарита и Швингер сосредоточились на спиннинге. 3 ⁄ 2 частиц и вывел уравнение Рариты-Швингера , включая лагранжиан для его генерации, а позже обобщил уравнения, аналогичные спину $n + 1 ⁄ 2$ для целого числа $n$ . статью Майораны 1932 года В 1945 году Паули предложил Бхабхе , который вернулся к общим идеям, введенным Майораной в 1932 году. Бхабха и Любански предложили совершенно общую систему уравнений, заменив массовые члены в ( 3A ) и ( 3B ) произвольной константой. , при соблюдении ряда условий, которым должны подчиняться волновые функции. ^[7]

Наконец, в 1948 году (в том же году, когда была сформулирована формулировка Фейнмана для интеграла по траекториям ) Баргманн и Вигнер сформулировали общее уравнение для массивных частиц, которые могли иметь любой спин, рассмотрев уравнение Дирака с полностью симметричным спинором с конечными компонентами. и используя теорию групп Лоренца (как это сделал Майорана): уравнения Баргмана-Вигнера . ^[2]^[8] была сделана переформулировка уравнений Баргмана-Вигнера В начале 1960-х годов Х. Йосом и Стивеном Вайнбергом — уравнение Йоса-Вайнберга . Различные теоретики в это время проводили дальнейшие исследования релятивистских гамильтонианов для частиц с более высоким спином. ^[1]^[9]^[10]

1960-е – настоящее время [ править ]

Релятивистское описание спиновых частиц было сложной проблемой в квантовой теории. Это все еще остается областью современных исследований, поскольку проблема решена лишь частично; включение взаимодействий в уравнения проблематично, и парадоксальные предсказания (даже из уравнения Дирака) все еще присутствуют. ^[5]

Линейные уравнения [ править ]

Следующие уравнения имеют решения, которые удовлетворяют принципу суперпозиции , то есть волновые функции аддитивны .

Повсюду используются стандартные соглашения о нотации тензорного индекса и косой чертой Фейнмана , включая греческие индексы, которые принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов и 0 для времениподобной компоненты индексированных величин. Волновые функции обозначаются $ψ$ , а $\partial µ$ — компоненты четырехградиентного оператора.

В матричных уравнениях матрицы Паули обозначаются $σ м$ в котором $µ = 0, 1, 2, 3$ , где $σ 0$ — $2 \times 2$ единичная матрица размера :

\sigma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}

а остальные матрицы имеют свои обычные представления. Выражение

\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\equiv \sigma ^{0}\partial _{0}+\sigma ^{1}\partial _{1}+\sigma ^{2}\partial _{2}+\sigma ^{3}\partial _{3}

—

размера 2 \times 2

матричный оператор , действующий на 2-компонентные спинорные поля .

Гамма -матрицы обозначаются $γ м$ , в котором снова $µ = 0, 1, 2, 3$ и есть несколько представлений для выбора. Матрица $γ 0$ является не обязательно $4 \times 4$ единичной матрицей . Выражение

i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc\equiv i\hbar (\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma ^{1}\partial _{1}+\gamma ^{2}\partial _{2}+\gamma ^{3}\partial _{3})+mc{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

—

размера 4 \times 4

матричный оператор , действующий на 4-компонентные спинорные поля .

Обратите внимание, что такие термины, как скаляр « $mc$ » , умножают единичную матрицу соответствующего размера , распространенные размеры — $2 \times 2$ или $4 \times 4$ , и обычно для простоты их не пишут.

частицы Квантовое число спина s	Имя	Уравнение	Типичные частицы, которые описывает уравнение
0	Уравнение Клейна – Гордона	$(\hbar \partial _{\mu }+imc)(\hbar \partial ^{\mu }-imc)\psi =0$	Безмассовая или массивная частица со спином 0 (например, бозон Хиггса ).
1/2	Уравнение Вейля	$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$	Безмассовые частицы со спином 1/2.
	Уравнение Дирака	$\left(i\hbar \partial \!\!\!/-mc\right)\psi =0$	Массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны ).
	Уравнения Дирака двух тел	$[(\gamma _{1})_{\mu }(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tilde {S}}_{1}]\Psi =0,$ $[(\gamma _{2})_{\mu }(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}+{\tilde {S}}_{2}]\Psi =0.$	Массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны ).
	Уравнение Майораны	$i\hbar \partial \!\!\!/\psi -mc\psi _{c}=0$	Массивные майорановские частицы .
	Широкое уравнение	$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{D}(i)+\sum _{i>j}{\frac {1}{r_{ij}}}-\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi$	Две массивные частицы со спином 1/2 (такие как электроны ), взаимодействующие электромагнитно в первом порядке теории возмущений.
1	Уравнения Максвелла (в КЭД с использованием калибровки Лоренца )	$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=e{\overline {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi$	Фотоны , безмассовые частицы со спином 1.
1	Уравнение Прока	$\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0$	Массивная частица со спином 1 (например, W- и Z-бозоны ).
3/2	Уравнение Рариты – Швингера	$\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }\psi _{\sigma }+m\psi ^{\mu }=0$	Массивные частицы со спином 3/2.
с	Уравнения Баргмана – Вигнера.	${\begin{aligned}(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}&=0\\(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}&=0\\&\;\;\vdots \\(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2s}\alpha '_{2s}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2s}}&=0\end{aligned}}$ где $ψ$ ранга 2 — 4-компонентный спинор .	Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы). ^[9]^[11]
с	Уравнение Йооса – Вайнберга	$[(i\hbar )^{2s}\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2s}}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{2s}}+(mc)^{2s}]\psi =0$	Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).

Поля линейных датчиков [ править ]

Уравнение Даффина -Кеммера-Петио представляет собой альтернативное уравнение для частиц со спином 0 и спином 1:

(i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0

Построение RWE [ править ]

энергия- импульс соотношения Использование 4-векторов и

Начните со стандартной специальной теории относительности 4-векторной (СТО).

4-позиционный $X^{\mu }=\mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})$
4-скоростной $U^{\mu }=\mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})$
4-импульс $P^{\mu }=\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)$
4-волновой вектор $K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)$
4-градиент $\partial ^{\mu }=\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)$

Обратите внимание, что каждый 4-вектор связан с другим скаляром Лоренца :

$\mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X}$ , где $\tau$ самое подходящее время
$\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U}$ , где $m_{0}$ это масса покоя
$\mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P}$ , который представляет собой 4-векторную версию соотношения Планка–Эйнштейна и де Бройля. материи волнового соотношения
$\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}$ , который представляет собой 4-градиентную версию комплексных плоских волн

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}$
$\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}$
$\mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}$
$\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}$

Последнее уравнение представляет собой фундаментальное квантовое соотношение.

Применительно к скалярному полю Лоренца $\psi$ , получаем уравнение Клейна-Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений.

$\left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0$ : в 4-векторном формате
$\left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0$ : в тензорном формате
$\left[(\hbar \partial _{\mu }+im_{0}c)(\hbar \partial ^{\mu }-im_{0}c)\right]\psi =0$ : в факторизованном тензорном формате

Уравнение Шрёдингера малых скоростей — это предельный случай ( $v ≪ c$ ) уравнения Клейна–Гордона .

Когда соотношение применяется к четырехвекторному полю $A^{\mu }$ вместо скалярного поля Лоренца $\psi$ , то получаем уравнение Прока (в калибровке Лоренца ):

\left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободное уравнение Максвелла (в калибровке Лоренца )

[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0

Представления группы Лоренца [ править ]

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца $x \to Λ x$ в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния $ψ дж σ$ спина $j$ с z-компонентой спина $σ$ локально преобразуется при некотором представлении $D$ группы Лоренца : ^[12]^[13]

\psi (x)\rightarrow D(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x)

где

D (Λ)

— некоторое конечномерное представление, т. е. матрица. Здесь

ψ

рассматривается как вектор-столбец , содержащий компоненты с разрешенными значениями

σ

. Квантовые числа

j

и

σ

, а также другие метки, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение

σ

может встречаться более одного раза в зависимости от представления. представления с несколькими возможными значениями

j

Ниже рассматриваются .

Неприводимые представления помечены парой полуцелых или целых чисел $(A, B)$ . Из них все остальные представления могут быть построены с использованием различных стандартных методов, таких как взятие тензорных произведений и прямых сумм . В частности, пространство-время само представляет собой 4-векторное представление $(1 / 2, 1/2,) так$ что $Λ \in D (1/2, 1/2)$ . Чтобы поместить это в контекст; Спиноры Дирака преобразуются под действием $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1/2 ) .$ представительство В общем, $(A, B)$ пространство представления имеет подпространства , которые под подгруппой пространственных вращений преобразуются неприводимо , SO(3) как объекты спина j , где каждое допустимое значение:

j=A+B,A+B-1,\dots ,|A-B|,

происходит ровно один раз. ^[14]В общем, тензорные произведения неприводимых представлений приводимы; они разлагаются как прямые суммы неприводимых представлений.

Представления $D (Дж, 0)$ и $Д (0, Дж)$ может каждая по отдельности представлять частицы спина $j$ . Состояние или квантовое поле в таком представлении не будет удовлетворять никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.

Нелинейные уравнения [ править ]

Существуют уравнения, решения которых не удовлетворяют принципу суперпозиции.

Нелинейные измерительные поля [ править ]

Уравнение Янга – Миллса : описывает неабелевое калибровочное поле.
Уравнения Янга – Миллса – Хиггса : описывают неабелевое калибровочное поле, связанное с массивной частицей со спином 0.

Вращение 2 [ править ]

Уравнения поля Эйнштейна : описывают взаимодействие материи с гравитационным полем (безмассовое поле со спином 2): $R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$ Решением является метрическое тензорное поле , а не волновая функция.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Т. Ярошевич; П. С. Курзепа (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Анналы физики . 216 (2): 226–267. Бибкод : 1992AnPhy.216..226J . дои : 10.1016/0003-4916(92)90176-М .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это С. Эспозито (2011). «В поисках уравнения: Дирак, Майорана и другие». Анналы физики . 327 (6): 1617–1644. arXiv : 1110.6878 . Бибкод : 2012AnPhy.327.1617E . дои : 10.1016/j.aop.2012.02.016 . S2CID 119147261 .
^ Б. Р. Мартин, Г. Шоу (2008). Физика частиц . Манчестерская серия по физике (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 3 . ISBN 978-0-470-03294-7 .
^ Р. Казальбуони (2006). «Майорана и волновые уравнения с бесконечными компонентами». Пос Эмс . 2006 : 004. arXiv : hep-th/0610252 . Бибкод : 2006hep.th...10252C .
^ Перейти обратно: ^а ^б Х. Бекарт; г-н Траубенберг; М. Валенсуэла (2009). «Бесконечный супермультиплет массивных полей с более высоким спином». Журнал физики высоких энергий . 2009 (5): 118. arXiv : 0904.2533 . Бибкод : 2009JHEP...05..118B . дои : 10.1088/1126-6708/2009/05/118 . S2CID 16285006 .
^ А.П. Исаев; М.А. Подойницын (2018). «Двухспинорное описание массивных частиц и релятивистские операторы проекции спина» . Ядерная физика Б . 929 : 452–484. arXiv : 1712.00833 . Бибкод : 2018НуФБ.929..452И . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2018.02.013 . S2CID 59582838 .
^ Р.К. Лойде; И. Отс; Р. Саар (1997). «Релятивистские волновые уравнения Бхабхи». Журнал физики A: Математический и общий . 30 (11): 4005–4017. Бибкод : 1997JPhA...30.4005L . дои : 10.1088/0305-4470/30/11/027 .
^ Баргманн, В.; Вигнер, EP (1948). «Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 34 (5): 211–23. Бибкод : 1948PNAS...34..211B . дои : 10.1073/pnas.34.5.211 . ПМК 1079095 . ПМИД 16578292 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Э.А. Джеффри (1978). «Минимизация компонентов волновой функции Баргмана – Вигнера» . Австралийский физический журнал . 31 (2): 137–149. Бибкод : 1978AuJPh..31..137J . дои : 10.1071/ph780137 .
^ РФ Гертен (1974). «Релятивистские гамильтоновы уравнения для любого спина». Анналы физики . 88 (2): 504–553. Бибкод : 1974АнФиз..88..504Г . дои : 10.1016/0003-4916(74)90180-8 .
^ Р. Кларксон, DGC McKeon (2003). «Квантовая теория поля» (PDF) . стр. 61–69. Архивировано из оригинала (PDF) 30 мая 2009 г.
^ Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого вращения» (PDF) . Физ. Преподобный . 133 (5Б): Б1318–Б1332. Бибкод : 1964PhRv..133.1318W . дои : 10.1103/PhysRev.133.B1318 . Архивировано из оригинала (PDF) 25 марта 2022 г. Проверено 29 декабря 2016 г. ; Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого спина. II. Безмассовые частицы» (PDF) . Физ. Преподобный . 134 (4Б): Б882–Б896. Бибкод : 1964PhRv..134..882W . дои : 10.1103/PhysRev.134.B882 . Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2022 г. Проверено 29 декабря 2016 г. ; Вайнберг, С. (1969). «Правила Фейнмана для любого вращения. III» (PDF) . Физ. Преподобный . 181 (5): 1893–1899. Бибкод : 1969PhRv..181.1893W . дои : 10.1103/PhysRev.181.1893 . Архивировано из оригинала (PDF) 25 марта 2022 г. Проверено 29 декабря 2016 г.
^ К. Масакацу (2012). «Проблема сверхизлучения бозонов и фермионов для вращающихся черных дыр в формулировке Баргмана – Вигнера». arXiv : 1208.0644 [ gr-qc ].
^ Вайнберг, С. (2002), «5» , Квантовая теория полей, том I , стр. [1] , ISBN 0-521-55001-7

Дальнейшее чтение [ править ]

Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN 0-89573-752-3 .
CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-051400-3 .
Г. Воан, Издательство Кембриджского университета (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2 .
Д. МакМахон (2006). Демистифицированная теория относительности . МакГроу Хилл (США). ISBN 0-07-145545-0 .
Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0 .
Б. Р. Мартин; Г. Шоу (2008). Физика элементарных частиц (Манчестерская серия) (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-03294-7 .
П. Лабелль, Демистификация (2010). Суперсимметрия . МакГроу-Хилл (США). ISBN 978-0-07-163641-4 .
Б. Х. Брансден; Си Джей Хоахейн (1983). Физика атомов и молекул . Лонгман. ISBN 0-582-44401-2 .
Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-13-146100-0 .
Д. МакМахон (2008). Квантовая теория поля . МакГроу Хилл (США). ISBN 978-0-07-154382-8 .
М. Пиллин (1994). «q-деформированные релятивистские волновые уравнения». Журнал математической физики . 35 (6): 2804–2817. arXiv : hep-th/9310097 . Бибкод : 1994JMP....35.2804P . дои : 10.1063/1.530487 . S2CID 5919588 .

[T_Jaroszewicz,_P.S_Kurzepa-1] Перейти обратно: ^а ^б Т. Ярошевич; П. С. Курзепа (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Анналы физики . 216 (2): 226–267. Бибкод : 1992AnPhy.216..226J . дои : 10.1016/0003-4916(92)90176-М .

[Esposito-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это С. Эспозито (2011). «В поисках уравнения: Дирак, Майорана и другие». Анналы физики . 327 (6): 1617–1644. arXiv : 1110.6878 . Бибкод : 2012AnPhy.327.1617E . дои : 10.1016/j.aop.2012.02.016 . S2CID 119147261 .

[3] Б. Р. Мартин, Г. Шоу (2008). Физика частиц . Манчестерская серия по физике (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 3 . ISBN 978-0-470-03294-7 .

[4] Р. Казальбуони (2006). «Майорана и волновые уравнения с бесконечными компонентами». Пос Эмс . 2006 : 004. arXiv : hep-th/0610252 . Бибкод : 2006hep.th...10252C .

[Bekaert,_Traubenberg,_Valenzuela-5] Перейти обратно: ^а ^б Х. Бекарт; г-н Траубенберг; М. Валенсуэла (2009). «Бесконечный супермультиплет массивных полей с более высоким спином». Журнал физики высоких энергий . 2009 (5): 118. arXiv : 0904.2533 . Бибкод : 2009JHEP...05..118B . дои : 10.1088/1126-6708/2009/05/118 . S2CID 16285006 .

[6] А.П. Исаев; М.А. Подойницын (2018). «Двухспинорное описание массивных частиц и релятивистские операторы проекции спина» . Ядерная физика Б . 929 : 452–484. arXiv : 1712.00833 . Бибкод : 2018НуФБ.929..452И . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2018.02.013 . S2CID 59582838 .

[7] Р.К. Лойде; И. Отс; Р. Саар (1997). «Релятивистские волновые уравнения Бхабхи». Журнал физики A: Математический и общий . 30 (11): 4005–4017. Бибкод : 1997JPhA...30.4005L . дои : 10.1088/0305-4470/30/11/027 .

[8] Баргманн, В.; Вигнер, EP (1948). «Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 34 (5): 211–23. Бибкод : 1948PNAS...34..211B . дои : 10.1073/pnas.34.5.211 . ПМК 1079095 . ПМИД 16578292 .

[E.A._Jeffery_1978-9] Перейти обратно: ^а ^б Э.А. Джеффри (1978). «Минимизация компонентов волновой функции Баргмана – Вигнера» . Австралийский физический журнал . 31 (2): 137–149. Бибкод : 1978AuJPh..31..137J . дои : 10.1071/ph780137 .

[10] РФ Гертен (1974). «Релятивистские гамильтоновы уравнения для любого спина». Анналы физики . 88 (2): 504–553. Бибкод : 1974АнФиз..88..504Г . дои : 10.1016/0003-4916(74)90180-8 .

[11] Р. Кларксон, DGC McKeon (2003). «Квантовая теория поля» (PDF) . стр. 61–69. Архивировано из оригинала (PDF) 30 мая 2009 г.

[Weinberg-12] Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого вращения» (PDF) . Физ. Преподобный . 133 (5Б): Б1318–Б1332. Бибкод : 1964PhRv..133.1318W . дои : 10.1103/PhysRev.133.B1318 . Архивировано из оригинала (PDF) 25 марта 2022 г. Проверено 29 декабря 2016 г. ; Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого спина. II. Безмассовые частицы» (PDF) . Физ. Преподобный . 134 (4Б): Б882–Б896. Бибкод : 1964PhRv..134..882W . дои : 10.1103/PhysRev.134.B882 . Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2022 г. Проверено 29 декабря 2016 г. ; Вайнберг, С. (1969). «Правила Фейнмана для любого вращения. III» (PDF) . Физ. Преподобный . 181 (5): 1893–1899. Бибкод : 1969PhRv..181.1893W . дои : 10.1103/PhysRev.181.1893 . Архивировано из оригинала (PDF) 25 марта 2022 г. Проверено 29 декабря 2016 г.

[Kenmoku-13] К. Масакацу (2012). «Проблема сверхизлучения бозонов и фермионов для вращающихся черных дыр в формулировке Баргмана – Вигнера». arXiv : 1208.0644 [ gr-qc ].

[14] Вайнберг, С. (2002), «5» , Квантовая теория полей, том I , стр. [1] , ISBN 0-521-55001-7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]