Список уравнений квантовой механики

В этой статье обобщены уравнения теории квантовой механики .

Волновые функции

Фундаментальной физической константой , встречающейся в квантовой механике, является постоянная Планка h . Общепринятое сокращение — ħ = h /2 π , также известное как приведенная постоянная Планка или постоянная Дирака .

Количество (общее имя/я)	(Общий) Символ/ы	Определение уравнения	Единицы СИ	Измерение
Волновая функция	пс, пс	Решить уравнение Шрёдингера	зависит от ситуации и количества частиц
волновой функции Плотность вероятности	р	$\rho =\left|\Psi \right|^{2}=\Psi ^{*}\Psi$	м −3	[Л] −3
Волновая функция вероятностного тока	дж	Нерелятивистский, без внешнего поля: ${\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {-i\hbar }{2m}}\left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)\\&={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi \right)=\operatorname {Re} \left(\Psi ^{*}{\frac {\hbar }{im}}\nabla \Psi \right)\end{aligned}}$ звезда * комплексно сопряжена	м −2 с −1	[Т] −1 [Л] −2

Общая форма волновой функции для системы частиц, каждая из которых имеет положение r _i и z-компоненту спина s _{z i} . Суммы рассчитываются по дискретной переменной s _z , интегралы по непрерывным позициям r .

Для наглядности и краткости координаты собраны в кортежи, индексами помечены частицы (что невозможно сделать физически, но математически необходимо). Ниже приведены общие математические результаты, используемые в расчетах.

Свойство или эффект	Номенклатура	Уравнение
Волновая функция для N частиц в 3d	р знак равно ( р 1 , р 2 ... р N ) s z знак равно ( s z 1 , s z 2 , ..., s z N )	В обозначении функции: $\Psi =\Psi \left(\mathbf {r} ,\mathbf {s_{z}} ,t\right)$ в обозначениях бра-кет : $|\Psi \rangle =\sum _{s_{z1}}\sum _{s_{z2}}\cdots \sum _{s_{zN}}\int _{V_{1}}\int _{V_{2}}\cdots \int _{V_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}\Psi |\mathbf {r} ,\mathbf {s_{z}} \rangle$ для невзаимодействующих частиц: $\Psi =\prod _{n=1}^{N}\Psi \left(\mathbf {r} _{n},s_{zn},t\right)$
Преобразование Фурье положения-импульса (1 частица в 3d)	Φ = волновая функция в импульсном пространстве Ψ = волновая функция в позиционном пространстве	${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {p} ,s_{z},t)&={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }e^{-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} /\hbar }\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \\&\upharpoonleft \downharpoonright \\\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)&={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \hbar }}^{3}}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }e^{+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} /\hbar }\Phi (\mathbf {p} ,s_{z},t)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {p} _{n}\\\end{aligned}}$
Общее распределение вероятностей	V j = объем (3d-область), который может занимать частица, P = Вероятность того, что частица 1 занимает позицию r 1 в объеме V 1 со спином s z 1 , а частица 2 занимает позицию r 2 в объеме V 2 со спином s z 2 и т. д.	$P=\sum _{s_{zN}}\cdots \sum _{s_{z2}}\sum _{s_{z1}}\int _{V_{N}}\cdots \int _{V_{2}}\int _{V_{1}}\left|\Psi \right|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{1}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\,\!$
Общее нормализации условие		$P=\sum _{s_{zN}}\cdots \sum _{s_{z2}}\sum _{s_{z1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }\;\int \limits _{\mathrm {all\,space} }\left|\Psi \right|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{1}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}=1\,\!$

Уравнения

Корпускулярно-волновой дуализм и временная эволюция

Свойство или эффект	Номенклатура	Уравнение
Уравнение Планка – Эйнштейна и длин волн де Бройля соотношения	P = ( E/c , p ) — четырехимпульс , K = (ω/ c , k ) — четырехволновой вектор , E = энергия частицы ω = 2π f — угловая частота и частота частицы ħ = h /2π — постоянные Планка с = скорость света	$\mathbf {P} =(E/c,\mathbf {p} )=\hbar (\omega /c,\mathbf {k} )=\hbar \mathbf {K}$
Уравнение Шрёдингера	Ψ = волновая функция системы Ĥ = оператор Гамильтона , E = собственное значение энергии системы я - мнимая единица т = время	Общий случай, зависящий от времени: $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$ Независимый от времени случай: ${\hat {H}}\Psi =E\Psi$
уравнение Гейзенберга	Â = оператор наблюдаемого свойства [ ] — коммутатор $\langle \,\rangle$ обозначает среднее значение	${\frac {d}{dt}}{\hat {A}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}(t)}{\partial t}}$
Эволюция времени в картине Гейзенберга ( теорема Эренфеста )	м = масса , V = потенциальная энергия , р = позиция , р = импульс , частицы.	${\frac {d}{dt}}\langle {\hat {A}}\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [{\hat {A}},{\hat {H}}]\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle$ Для импульса и позиции; $m{\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {p} \rangle$ ${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} \rangle =-\langle \nabla V\rangle$

Нерелятивистское нестационарное уравнение Шрёдингера

Ниже кратко описаны различные формы, которые принимает гамильтониан, с соответствующими уравнениями Шредингера и формами решений волновых функций. Обратите внимание, что в случае одного пространственного измерения для одной частицы частная производная сводится к обычной производной .

	Одна частица	N частиц
Одно измерение	${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)$	${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\end{aligned}}$ где положение частицы n равно x n .
	$E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi +V\Psi$	$E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\Psi +V\Psi \,.$
	$\Psi (x,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }\,.$ Существует еще одно ограничение — решение не должно расти на бесконечности, чтобы оно имело либо конечный L 2 -норма (если это связанное состояние ) или медленно расходящаяся норма (если это часть континуума ) : $\|\psi \|^{2}=\int |\psi (x)|^{2}\,dx.\,$	$\Psi =e^{-iEt/\hbar }\psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N})$ для невзаимодействующих частиц $\Psi =e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (x_{n})\,,\quad V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})=\sum _{n=1}^{N}V(x_{n})\,.$
Три измерения	${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\end{aligned}}$ где положение частицы r = ( x, y, z ).	${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\end{aligned}}$ где положение частицы n равно r n = ( x n , y n , z n ), а лапласиан для частицы n с использованием соответствующих координат положения равен $\nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z_{n}}^{2}}}$
	$E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$	$E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\Psi +V\Psi$
	$\Psi =\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }$	$\Psi =e^{-iEt/\hbar }\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N})$ для невзаимодействующих частиц $\Psi =e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (\mathbf {r} _{n})\,,\quad V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})=\sum _{n=1}^{N}V(\mathbf {r} _{n})$

Нерелятивистское нестационарное уравнение Шрёдингера

Опять же, ниже кратко описаны различные формы, которые принимает гамильтониан, с соответствующими уравнениями Шредингера и формами решений.

	Одна частица	N частиц
Одно измерение	${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)$	${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)\end{aligned}}$ где положение частицы n равно x n .
	$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +V\Psi$	$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\Psi +V\Psi \,.$
	$\Psi =\Psi (x,t)$	$\Psi =\Psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)$
Три измерения	${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}$
	$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$	$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\Psi +V\Psi$ Это последнее уравнение имеет очень высокую размерность, поэтому решения нелегко визуализировать.
	$\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)$	$\Psi =\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)$

Фотоэмиссия

Свойство/Эффект	Номенклатура	Уравнение
Фотоэлектрическое уравнение	K max = Максимальная кинетическая энергия выброшенного электрона (Дж) h = постоянная Планка f = частота падающих фотонов (Гц = с −1 ) φ , Φ = работа выхода материала, на который падают фотоны (J)	$K_{\mathrm {max} }=hf-\Phi \,\!$
Пороговая частота и рабочая функция	φ , Φ = работа выхода материала, на который падают фотоны (J) f 0 , ν 0 = пороговая частота (Гц = с −1 )	Найти можно только экспериментальным путем. Соотношения Де Бройля дают связь между ними: $\phi =hf_{0}\,\!$
фотона Импульс	p = импульс фотона (кг мс −1 ) f = частота фотона (Гц = с −1 ) λ = длина волны фотона (м)	Соотношения Де Бройля дают: $p=hf/c=h/\lambda \,\!$

Квантовая неопределенность

Свойство или эффект	Номенклатура	Уравнение
Принципы неопределенности Гейзенберга	n = количество фотонов φ = фаза волны [, ] = коммутатор	Позиция-импульс $\sigma (x)\sigma (p)\geq {\frac {\hbar }{2}}\,\!$ Энергия-время $\sigma (E)\sigma (t)\geq {\frac {\hbar }{2}}\,\!$ Число-фаза $\sigma (n)\sigma (\phi )\geq {\frac {\hbar }{2}}\,\!$
Дисперсия наблюдаемых	A = наблюдаемые (собственные значения оператора)	${\begin{aligned}\sigma (A)^{2}&=\langle (A-\langle A\rangle )^{2}\rangle \\&=\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}\end{aligned}}$
Общее соотношение неопределенностей	A , B = наблюдаемые (собственные значения оператора)	$\sigma (A)\sigma (B)\geq {\frac {1}{2}}\langle i[{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle$

Распределения вероятностей

Свойство или эффект	Уравнение
Плотность штатов	$N(E)=8{\sqrt {2}}\pi m^{3/2}E^{1/2}/h^{3}\,\!$
Распределение Ферми – Дирака (фермионы)	$P(E_{i})={\frac {g(E_{i})}{e^{(E-\mu )/kT}+1}}$ где P ( E i ) = вероятность энергии E i g ( E i ) = вырождение энергии E i (количество состояний с одинаковой энергией) μ = химический потенциал
Распределение Бозе – Эйнштейна (бозоны)	$P(E_{i})={\frac {g(E_{i})}{e^{(E_{i}-\mu )/kT}-1}}$

Угловой момент

Основные статьи: оператор углового момента и квантовое число

Свойство или эффект	Номенклатура	Уравнение
углового момента Квантовые числа	s = спиновое квантовое число м с = спиновое магнитное квантовое число ℓ = азимутальное квантовое число м ℓ = азимутальное магнитное квантовое число j = квантовое число полного углового момента m j = полный угловой момент магнитного квантового числа	Вращаться: ${\begin{aligned}&\Vert \mathbf {s} \Vert ={\sqrt {s\,(s+1)}}\,\hbar \\&m_{s}\in \{-s,-s+1\cdots s-1,s\}\\\end{aligned}}\,\!$ Орбитальный: ${\begin{aligned}&\ell \in \{0\cdots n-1\}\\&m_{\ell }\in \{-\ell ,-\ell +1\cdots \ell -1,\ell \}\\\end{aligned}}\,\!$ Общий: ${\begin{aligned}&j=\ell +s\\&m_{j}\in \{|\ell -s|,|\ell -s|+1\cdots |\ell +s|-1,|\ell +s|\}\\\end{aligned}}\,\!$
углового момента Величины	угловой момент: S = Спин, L = орбитальный, J = всего	Величина вращения: $|\mathbf {S} |=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}\,\!$ Орбитальная величина: $|\mathbf {L} |=\hbar {\sqrt {\ell (\ell +1)}}\,\!$ Общая величина: $\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} \,\!$ $|\mathbf {J} |=\hbar {\sqrt {j(j+1)}}\,\!$
углового момента Компоненты		Вращаться: $S_{z}=m_{s}\hbar \,\!$ Орбитальный: $L_{z}=m_{\ell }\hbar \,\!$

Магнитные моменты

Далее B представляет собой приложенное внешнее магнитное поле и используются приведенные выше квантовые числа.

Свойство или эффект	Номенклатура	Уравнение
орбитальный магнитный дипольный момент	e = заряд электрона m e = масса покоя электрона L = орбитальный угловой момент электрона g ℓ = орбитальный g-фактор Ланде μ B = магнетон Бора	${\boldsymbol {\mu }}_{\ell }=-e\mathbf {L} /2m_{e}=g_{\ell }{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}\mathbf {L} \,\!$ z-компонент: $\mu _{\ell ,z}=-m_{\ell }\mu _{B}\,\!$
спиновый магнитный дипольный момент	S = угловой момент спина электрона g s = спиновый g-фактор Ланде	${\boldsymbol {\mu }}_{s}=-e\mathbf {S} /m_{e}=g_{s}{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}\mathbf {S} \,\!$ z-компонент: $\mu _{s,z}=-eS_{z}/m_{e}=g_{s}eS_{z}/2m_{e}\,\!$
дипольного момента потенциал	U = потенциальная энергия диполя в поле	$U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\mu _{z}B\,\!$

Атом водорода

Основная статья: Атом водорода

Свойство или эффект	Номенклатура	Уравнение
Уровень энергии	En энергии = собственное значение n = главное квантовое число e = заряд электрона m e = масса покоя электрона ε 0 = диэлектрическая проницаемость свободного пространства h = постоянная Планка	$E_{n}=-me^{4}/8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}n^{2}=-13.61\,\mathrm {eV} /n^{2}$
Спектр	λ = длина волны излучаемого фотона во время электронного перехода от E i к E j	${\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{j}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right),\,n_{j}<n_{i}\,\!$

См. также

• Определяющее уравнение (физическая химия)
• Список уравнений электромагнетизма
• Список уравнений классической механики
• Список уравнений механики жидкости
• Список уравнений гравитации
• Список уравнений ядерной физики и физики элементарных частиц
• Список уравнений волновой теории
• Список уравнений фотоники
• Список релятивистских уравнений

Источники

• премьер-министр Уилан; М. Дж. Ходжсон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN  0-7195-3382-1 .
• Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57507-2 .
• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаума . Мак Грау Хилл. ISBN  978-0-07-025734-4 .
• Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Ганс Варлимонт, Springer. стр. 12–13. ISBN  978-0-07-025734-4 .
• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN  0-07-051400-3 .
• П. А. Типлер; Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). WH Freeman and Co. ISBN  978-1-4292-0265-7 .
• Л.Н. Рука; Джей Ди Финч (2008). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57572-0 .
• ТБ Аркилл; Си Джей Миллар (1974). Механика, вибрации и волны . Джон Мюррей. ISBN  0-7195-2882-8 .
• HJ Пейн (1983). Физика вибраций и волн (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-90182-2 .
• Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. ISBN  978-0-470-01460-8 .
• ГЭГ Беннет (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд (Великобритания). ISBN  0-7131-2459-8 .
• ИС Грант; В. Р. Филлипс; Манчестерская физика (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-92712-9 .
• Диджей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN  978-81-7758-293-2 .

Дальнейшее чтение

• Л. Х. Гринберг (1978). Физика с современными приложениями . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN  0-7216-4247-0 .
• Дж. Б. Мэрион; В. Ф. Хорняк (1984). Принципы физики . Международный колледж Сондерса Холта-Сондерса. ISBN  4-8337-0195-2 .
• А. Бейзер (1987). Концепции современной физики (4-е изд.). МакГроу-Хилл (международный). ISBN  0-07-100144-1 .
• HD Янг; Р. А. Фридман (2008). Университетская физика - с современной физикой (12-е изд.). Аддисон-Уэсли (Pearson International). ISBN  978-0-321-50130-1 .