Список уравнений волновой теории

В этой статье обобщены уравнения теории волн .

Определения

Общие фундаментальные величины

Основные статьи: Поперечная волна и Продольная волна

Волна может быть продольной, когда колебания параллельны (или антипараллельны) направлению распространения, или поперечной , когда колебания перпендикулярны направлению распространения. Эти колебания характеризуются периодически изменяющимся во времени смещением в параллельном или перпендикулярном направлении, поэтому мгновенные скорость и ускорение также являются периодическими и изменяющимися во времени в этих направлениях. (кажущееся движение волны вследствие последовательных колебаний частиц или полей около их положений равновесия) распространяется с фазовой и групповой скоростями, параллельными или антипараллельными направлению распространения, общему для продольных и поперечных волн. Ниже колебательное перемещение, скорость и ускорение относятся к кинематике в направлениях колебаний волны - поперечном или продольном (математическое описание одинаково), групповая и фазовая скорости разделены.

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	единицы СИ	Измерение
Количество волновых циклов	Н	безразмерный	безразмерный
(Колебательное) смещение	Символ любой величины, которая периодически меняется, например , h , x , y (механические волны), x , s , η (продольные волны) , I , V , E , B , H , D (электромагнетизм), u , U (световые волны) . ), ψ , Ψ , Φ (квантовая механика). В большинстве общих целей используются y , ψ , Ψ . Для общности здесь символ A используется , который может быть заменен любым другим символом, поскольку другие символы имеют конкретное, общее использование. $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!$ для продольных волн, $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\,\!$ для поперечных волн.	м	[Л]
(Колебательная) амплитуда смещения	Любой символ количества, обычно имеющий индекс 0, м или максимум, или заглавную букву (если смещение было в нижнем регистре). Здесь для общности A 0 используется , который можно заменить.	м	[Л]
(Колебательная) амплитуда скорости	В , v 0 , v м . Здесь v 0 используется .	РС −1	[Л][Т] −1
(Колебательная) амплитуда ускорения	А , а 0 , м ​ . Здесь 0 . используется	РС −2	[Л][Т] −2
Пространственное положение Положение точки в пространстве, не обязательно точки на профиле волны или любой линии распространения.	д , р	м	[Л]
Смещение волнового профиля В направлении распространения расстояние, пройденное (длина пути) одной волной от точки источника r 0 до любой точки пространства d (для продольных или поперечных волн).	Л , д , р $\mathbf {r} \equiv r\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\equiv \mathbf {d} -\mathbf {r} _{0}\,\!$	м	[Л]
Фазовый угол	д, д, е	рад	безразмерный

Общие производные величины

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	Определение уравнения	единицы СИ	Измерение
Длина волны	л	Общее определение (с учетом FM ): $\lambda =\mathrm {d} r/\mathrm {d} N\,\!$ Для не-FM волн это сводится к: $\lambda =\Delta r/\Delta N\,\!$	м	[Л]
Волновое число, k -вектор, Волновой вектор	к , п	Используются два определения: $\mathbf {k} =\left(2\pi /\lambda \right)\mathbf {\hat {e}} _{\angle }\,\!$ $\mathbf {k} =\left(1/\lambda \right)\mathbf {\hat {e}} _{\angle }\,\!$	м −1	[Л] −1
Частота	ж, н	Общее определение (с учетом FM ): $f=\mathrm {d} N/\mathrm {d} t\,\!$ Для не-FM волн это сводится к: $f=\Delta N/\Delta t\,\!$ На практике N устанавливается равным 1 циклу, а t = T = период времени для 1 цикла, чтобы получить более полезное соотношение: $f=1/T\,\!$	Гц = с −1	[Т] −1
Угловая частота /пульсация	ой	$\omega =2\pi f=2\pi /T\,\!$	Гц = с −1	[Т] −1
Колебательная скорость	v , v t , v	Продольные волны: $\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\partial A/\partial t\right)\,\!$ Поперечные волны: $\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\left(\partial A/\partial t\right)\,\!$	РС −1	[Л][Т] −1
Колебательное ускорение	а , а т	Продольные волны: $\mathbf {a} =\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\partial ^{2}A/\partial t^{2}\right)\,\!$ Поперечные волны: $\mathbf {a} =\mathbf {\hat {e}} _{\bot }\left(\partial ^{2}A/\partial t^{2}\right)\,\!$	РС −2	[Л][Т] −2
Разница в длине пути между двумя волнами	L , Δ L , Δ x , Δ р	$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\,\!$	м	[Л]
Фазовая скорость	в п	Общее определение: $\mathbf {v} _{\mathrm {p} }=\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\Delta r/\Delta t\right)\,\!$ На практике сводится к полезной форме: $\mathbf {v} _{\mathrm {p} }=\lambda f\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }=\left(\omega /k\right)\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!$	РС −1	[Л][Т] −1
(Продольная) групповая скорость	в г	$\mathbf {v} _{\mathrm {g} }=\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\left(\partial \omega /\partial k\right)\,\!$	РС −1	[Л][Т] −1
Временная задержка, временной лаг/опережение	Δ т	$\Delta t=t_{2}-t_{1}\,\!$	с	[Т]
Разность фаз	d , D e , D φ	$\Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}\,\!$	рад	безразмерный
Фаза	Нет стандартного символа	$\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \mp \omega t+\phi =2\pi N\,\!$ Физически; + r верхний знак: распространение волны в направлении нижний знак: распространение волны в − r направлении Фазовый угол может отставать, если: φ > 0 или лидировать, если: φ < 0.	рад	безразмерный

Связь между пространственными, временными и угловыми аналогами, используемыми для описания фазы:

${\frac {\Delta r}{\lambda }}={\frac {\Delta t}{T}}={\frac {\phi }{2\pi }}\,\!$

Индексы модуляции

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	Определение уравнения	единицы СИ	Измерение
Индекс AM :	, утра ч ч	$h_{AM}=A/A_{m}\,\!$ A = амплитуда несущей A m = пиковая амплитуда компонента модулирующего сигнала.	безразмерный	безразмерный
ФМ-индекс :	ч FM	$h_{FM}=\Delta f/f_{m}\,\!$ Δ f = макс. отклонение мгновенной частоты от несущей частоты f m = пиковая частота компонента модулирующего сигнала	безразмерный	безразмерный
Индекс ПМ :	час вечера	$h_{PM}=\Delta \phi \,\!$ Δ φ = пиковое отклонение фазы	безразмерный	безразмерный

Акустика

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	Определение уравнения	единицы СИ	Измерение
Акустический импеданс	С	$Z=\rho v\,\!$ v = скорость звука, ρ = объемная плотность среды	кг м −2 с −1	[М] [Л] −2 [Т] −1
Удельное акустическое сопротивление	С	$z=ZS\,\!$ S = площадь поверхности	кг с −1	[М] [Т] −1
Уровень звука	б	$\beta =\left(\mathrm {dB} \right)10\log \left|{\frac {I}{I_{0}}}\right|\,\!$	безразмерный	безразмерный

Уравнения

Далее n, m — любые целые числа ( Z = множество целых чисел ); $n,m\in \mathbf {Z} \,\!$.

Стоячие волны

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Гармонические частоты	f n = n-я форма вибрации, n-я гармоника, (n-1)-й обертон	$f_{n}={\frac {v}{\lambda _{n}}}={\frac {nv}{2L}}=nf_{1}\,\!$

Распространяющиеся волны

Звуковые волны

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Средняя мощность волны	P 0 = Звуковая мощность источника	$\langle P\rangle =\mu v\omega ^{2}x_{m}^{2}/2\,\!$
Интенсивность звука	Ом = телесный угол	$I=P_{0}/(\Omega r^{2})\,\!$ $I=P/A=\rho v\omega ^{2}s_{m}^{2}/2\,\!$
Частота акустических ударов	f 1 , f 2 = частоты двух волн (почти равные амплитуды)	$f_{\mathrm {beat} }=\left|f_{2}-f_{1}\right|\,\!$
Эффект Доплера для механических волн	V = скорость звуковой волны в среде f 0 = частота источника f r = частота приемника v 0 = Скорость источника v r = скорость приемника	$f_{r}=f_{0}{\frac {V\pm v_{r}}{V\mp v_{0}}}\,\!$ верхние знаки указывают на относительное приближение, нижние знаки указывают на относительную рецессию.
Угол конуса Маха (сверхзвуковая ударная волна, звуковой удар)	v = скорость тела v s = местная скорость звука θ = угол между направлением движения и конической огибающей наложенных волновых фронтов	$\sin \theta ={\frac {v}{v_{s}}}\,\!$
Акустическое давление и амплитуды смещения	p 0 = амплитуда давления s 0 = амплитуда смещения v = скорость звука ρ = локальная плотность среды	$p_{0}=\left(v\rho \omega \right)s_{0}\,\!$
Волновые функции звука		Акустические ритмы $s=\left[2s_{0}\cos \left(\omega 't\right)\right]\cos \left(\omega t\right)\,\!$ Функция смещения звука $s=s_{0}\cos(kr-\omega t)\,\!$ Изменение звукового давления $p=p_{0}\sin(kr-\omega t)\,\!$

Гравитационные волны

Основная статья: Гравитационная волна § Источники гравитационных волн

Гравитационное излучение двух вращающихся тел в пределе малых скоростей.

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Излучаемая мощность	P = мощность излучения системы, т = время, r = расстояние между центрами масс m 1 , m 2 = массы вращающихся тел	$P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {32}{5}}\,{\frac {G^{4}}{c^{5}}}\,{\frac {(m_{1}m_{2})^{2}(m_{1}+m_{2})}{r^{5}}}$
Распад радиуса орбиты		${\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {64}{5}}{\frac {G^{3}}{c^{5}}}{\frac {(m_{1}m_{2})(m_{1}+m_{2})}{r^{3}}}\$
Орбитальное время жизни	r 0 = начальное расстояние между вращающимися телами	$t={\frac {5}{256}}{\frac {c^{5}}{G^{3}}}{\frac {r_{0}^{4}}{(m_{1}m_{2})(m_{1}+m_{2})}}\$

Суперпозиция, интерференция и дифракция

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Принцип суперпозиции	N = количество волн	$y_{\mathrm {net} }=\sum _{i=1}^{N}y_{i}\,\!$
Резонанс	ω d = движущая угловая частота (внешний агент) ω nat = собственная угловая частота (генератор)	$\omega _{d}=\omega _{\mathrm {nat} }\,\!$
Фаза и интерференция	Δ r = разница в длине пути φ = разность фаз между любыми двумя последовательными волновыми циклами	${\frac {\Delta r}{\lambda }}={\frac {\Delta t}{T}}={\frac {\phi }{2\pi }}\,\!$ Конструктивное вмешательство $n={\frac {\lambda }{\Delta x}}\,\!$ Деструктивное вмешательство $n+{\frac {1}{2}}={\frac {\lambda }{\Delta x}}\,\!$

Распространение волн

Распространенное заблуждение возникает между фазовой скоростью и групповой скоростью (аналогично центрам масс и гравитации). В недисперсионных средах они оказываются равными. В средах с дисперсией фазовая скорость не обязательно совпадает с групповой скоростью. Фазовая скорость меняется в зависимости от частоты.

Фазовая скорость — это скорость , с которой фазовая волна распространяется в пространстве.

Групповая скорость — это скорость , с которой распространяется огибающая волны, то есть изменения амплитуды. Огибающая волны представляет собой профиль амплитуд волн; все поперечные перемещения связаны профилем огибающей.

Интуитивно огибающая волны — это «глобальный профиль» волны, который «содержит» изменяющиеся «локальные профили внутри глобального профиля». Каждый из них распространяется с разной скоростью, определяемой важной функцией, называемой соотношением дисперсии . Использование явной формы ω ( k ) является стандартным, поскольку фазовая скорость ω / k и групповая скорость dω / dk обычно имеют удобные представления этой функцией.

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Идеализированные недисперсионные среды	p = (любой тип) стресса или давления, ρ = объемная массовая плотность, F = сила натяжения, μ = линейная массовая плотность среды	$v={\sqrt {\frac {p}{\rho }}}={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}\,\!$
Дисперсионное соотношение		Неявная форма $D\left(\omega ,k\right)=0$ Явная форма $\omega =\omega \left(k\right)$
Амплитудная модуляция , АМ		$A=A\left(t\right)$
Частотная модуляция , FM		$f=f\left(t\right)$

Общие волновые функции

Волновые уравнения

Физическая ситуация	Номенклатура	Волновое уравнение	Общее решение/я
Недисперсионное волновое уравнение в 3d	A = амплитуда как функция положения и времени	$\nabla ^{2}A={\frac {1}{v_{\parallel }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}\,\!$	$A\left(\mathbf {r} ,t\right)=A\left(x-v_{\parallel }t\right)\,\!$
Экспоненциально затухающая форма волны	A 0 = Начальная амплитуда в момент времени t = 0 b = параметр демпфирования		$A=A_{0}e^{-bt}\sin \left(kx-\omega t+\phi \right)\,\!$
Уравнение Кортевега – де Фриза	α = константа	${\frac {\partial y}{\partial t}}+\alpha y{\frac {\partial y}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}y}{\partial x^{3}}}=0\,\!$	$A(x,t)={\frac {3v_{\parallel }}{\alpha }}\mathrm {sech} ^{2}\left[{\frac {\sqrt {v_{\parallel }}}{2}}\left(x-v_{\parallel }t\right)\right]\,\!$

Синусоидальные решения трехмерного волнового уравнения

N различных синусоидальных волн

Комплексная амплитуда волны n
$A_{n}=\left|A_{n}\right|e^{i\left(\mathbf {k} _{\mathrm {n} }\cdot \mathbf {r} -\omega _{n}t+\phi _{n}\right)}\,\!$

Результирующая комплексная амплитуда всех N зубцов
$A=\sum _{n=1}^{N}A_{n}\,\!$

Модуль амплитуды
$A={\sqrt {AA^{*}}}={\sqrt {\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}\left|A_{n}\right|\left|A_{m}\right|\cos \left[\left(\mathbf {k} _{n}-\mathbf {k} _{m}\right)\cdot \mathbf {r} +\left(\omega _{n}-\omega _{m}\right)t+\left(\phi _{n}-\phi _{m}\right)\right]}}\,\!$

Поперечные смещения — это просто действительные части комплексных амплитуд.

Одномерные следствия для двух синусоидальных волн

Следующее можно вывести, применив принцип суперпозиции к двум синусоидальным волнам, используя тригонометрические тождества. и сложения углов тригонометрические формулы суммы к произведению Полезны формулы ; в более продвинутой работе используются комплексные числа, ряды Фурье и преобразования.

Волновая функция	Номенклатура	Суперпозиция	Результирующий
Стоячая волна		${\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=A\sin \left(kx-\omega t\right)\\&+A\sin \left(kx+\omega t\right)\end{aligned}}\,\!$	$y=2A\sin \left(kx\right)\cos \left(\omega t\right)\,\!$
бьется	$\langle \omega \rangle ={\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\,\!$ $\langle k\rangle ={\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}\,\!$ $\Delta \omega =\omega _{1}-\omega _{2}\,\!$ $\Delta k=k_{1}-k_{2}\,\!$	${\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=A\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)\\&+A\sin \left(k_{2}x+\omega _{2}t\right)\end{aligned}}\,\!$	$y=2A\sin \left(\langle k\rangle x-\langle \omega \rangle t\right)\cos \left({\frac {\Delta k}{2}}x-{\frac {\Delta \omega }{2}}t\right)\,\!$
Когерентная интерференция		${\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=2A\sin \left(kx-\omega t\right)\\&+A\sin \left(kx+\omega t+\phi \right)\end{aligned}}\,\!$	$y=2A\cos \left({\frac {\phi }{2}}\right)\sin \left(kx-\omega t+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!$

См. также

• Определяющее уравнение (физическая химия)
• Список уравнений классической механики
• Список уравнений механики жидкости
• Список уравнений гравитации
• Список уравнений ядерной физики и физики элементарных частиц
• Список уравнений квантовой механики
• Список уравнений фотоники
• Список релятивистских уравнений
• Единицы электромагнетизма СИ
• Волновое уравнение
• Одностороннее волновое уравнение

Источники

• премьер-министр Уилан; М. Дж. Ходжсон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN  0-7195-3382-1 .
• Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57507-2 .
• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаума . Мак Грау Хилл. ISBN  978-0-07-025734-4 .
• Р.Г. Лернер; Г.Л. Тригг (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Ганс Варлимонт, Springer. стр. 12–13. ISBN  978-0-07-025734-4 .
• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN  0-07-051400-3 .
• П. А. Типлер; Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). WH Freeman and Co. ISBN  978-1-4292-0265-7 .
• Л.Н. Рука; Джей Ди Финч (2008). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57572-0 .
• ТБ Аркилл; Си Джей Миллар (1974). Механика, вибрации и волны . Джон Мюррей. ISBN  0-7195-2882-8 .
• HJ Пейн (1983). Физика вибраций и волн (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-90182-2 .
• Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. ISBN  978-0-470-01460-8 .
• ГЭГ Беннет (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд (Великобритания). ISBN  0-7131-2459-8 .
• ИС Грант; В. Р. Филлипс; Манчестерская физика (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-92712-9 .
• Диджей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN  978-81-7758-293-2 .

Дальнейшее чтение

• Л. Х. Гринберг (1978). Физика с современными приложениями . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN  0-7216-4247-0 .
• Дж. Б. Мэрион; В. Ф. Хорняк (1984). Принципы физики . Международный колледж Сондерса Холта-Сондерса. ISBN  4-8337-0195-2 .
• А. Бейзер (1987). Концепции современной физики (4-е изд.). МакГроу-Хилл (международный). ISBN  0-07-100144-1 .
• HD Янг; Р. А. Фридман (2008). Университетская физика - с современной физикой (12-е изд.). Аддисон-Уэсли (Pearson International). ISBN  978-0-321-50130-1 .