Список уравнений гравитации

В этой статье обобщены уравнения теории гравитации .

Определения

Гравитационная масса и инерция

Распространенное заблуждение возникает между центром массы и центром тяжести . Они определяются аналогичным образом, но представляют собой не совсем одно и то же количество. Центр масс — это математическое описание размещения всей массы в рассматриваемой области в одном положении, центр тяжести — это реальная физическая величина, точка тела, в которой действует гравитационная сила. Они равны тогда и только тогда, когда внешнее гравитационное поле однородно.

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	Определение уравнения	единицы СИ	Измерение
Центр тяжести	r шестеренка (обозначения различаются)	я й момент массы $\mathbf {m} _{i}=\mathbf {r} _{i}m_{i}\,\!$ Центр тяжести набора дискретных масс: ${\begin{aligned}\mathbf {r} _{\mathrm {cog} }&={\frac {1}{M\left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} _{i}\right)\right|}}\sum _{i}\mathbf {m} _{i}\left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} _{i}\right)\right|\\&={\frac {1}{M\left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} _{\mathrm {cog} }\right)\right|}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}\left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} _{i}\right)\right|\end{aligned}}\,\!$ Центр тяжести континуума масс: ${\begin{aligned}\mathbf {r} _{\mathrm {cog} }&={\frac {1}{M\left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} _{\mathrm {cog} }\right)\right|}}\int \left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right)\right|\mathrm {d} \mathbf {m} \\&={\frac {1}{M\left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} _{\mathrm {cog} }\right)\right|}}\int \mathbf {r} \left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right)\right|\mathrm {d} ^{n}m\\&={\frac {1}{M\left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} _{\mathrm {cog} }\right)\right|}}\int \mathbf {r} \rho _{n}\left|\mathbf {g} \left(\mathbf {r} \right)\right|\mathrm {d} ^{n}x\end{aligned}}\,\!$	м	[Л]
Стандартный гравитационный параметр массы	м	$\mu =Gm\,\!$	Н·м 2 кг −1	[Л] 3 [Т] −2

Ньютоновская гравитация

Основная статья: Ньютоновская гравитация

В классической гравитации масса является источником притягивающего гравитационного поля g .

Гравитомагнитное поле H, (полным) угловым моментом J. обусловленное

Интерпретации гравитационного поля.

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	Определение уравнения	единицы СИ	Измерение
Гравитационное поле , напряженность поля, градиент потенциала, ускорение	г	$\mathbf {g} =\mathbf {F} /m\,\!$	Н кг −1 = мс −2	[Л][Т] −2
Гравитационный поток	Φ Г	$\Phi _{G}=\int _{S}\mathbf {g} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,\!$	м 3 с −2	[Л] 3 [Т] −2
Абсолютный гравитационный потенциал	Ф , Ф , У , В	$U=-{\frac {W_{\infty r}}{m}}=-{\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{r}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-\int _{\infty }^{r}\mathbf {g} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,\!$	Дж кг −1	[Л] 2 [Т] −2
Разность гравитационных потенциалов	Δ Φ , Δ φ , Δ U , Δ V	$\Delta U=-{\frac {W}{m}}=-{\frac {1}{m}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =-\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathbf {g} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \,\!$	Дж кг −1	[Л] 2 [Т] −2
Гравитационная потенциальная энергия	Э п	$E_{p}=-W_{\infty r}\,\!$	Дж	[М][Л] 2 [Т] −2
Гравитационное торсионное поле	Ой	${\boldsymbol {\Omega }}=2{\boldsymbol {\xi }}\,\!$	Гц = с −1	[Т] −1

Гравитоэлектромагнетизм

В пределе слабого поля и медленного движения общей теории относительности возникает явление гравитоэлектромагнетизма (сокращенно «ГЭМ»), создавая параллель между гравитацией и электромагнетизмом . Гравитационное поле является аналогом электрического поля , а гравитомагнитное поле , возникающее в результате циркуляции масс вследствие их углового момента , является аналогом магнитного поля.

Количество (общее название/я)	(Общий) символ/ы	Определение уравнения	единицы СИ	Измерение
Гравитационный поток кручения	Ф О	$\Phi _{\Omega }=\int _{S}{\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,\!$	Н мс кг −1 = м 2 с −1	[М] 2 [Т] −1
Гравитомагнитное поле	ЧАС , Б г , В , ​​ξ	$\mathbf {F} =m\left(\mathbf {v} \times 2{\boldsymbol {\xi }}\right)\,\!$	Гц = с −1	[Т] −1
Гравитомагнитный поток	Ф х	$\Phi _{\xi }=\int _{S}{\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \,\!$	Н мс кг −1 = м 2 с −1	[М] 2 [Т] −1
Гравитомагнитный векторный потенциал	час	$\mathbf {\xi } =\nabla \times \mathbf {h} \,\!$	РС −1	[М] [Т] −1

Уравнения

Ньютоновские гравитационные поля

См. Также: Сферические полярные координаты.

Можно показать, что однородное сферически-симметричное распределение массы создает гравитационное поле, эквивалентное точечной массе, поэтому все формулы для точечных масс применимы к телам, которые можно смоделировать таким образом.

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Градиент и поле гравитационного потенциала	U = гравитационный потенциал C = изогнутый путь, пройденный массой в поле	$\mathbf {g} =-\nabla U$ $\Delta U=-\int _{C}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {r} \,\!$
Точечная масса		$\mathbf {g} ={\frac {Gm}{\left|\mathbf {r} \right|^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \,\!$
В точке локального массива точечных масс		$\mathbf {g} =\sum _{i}\mathbf {g} _{i}=G\sum _{i}{\frac {m_{i}}{\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right|^{2}}}\mathbf {\hat {r}} _{i}\,\!$
Гравитационный момент и потенциальная энергия из-за неоднородных полей и массовых моментов	V = объем пространства, занимаемый распределением массы m = m r — момент массы массивной частицы	${\boldsymbol {\tau }}=\int _{V_{n}}\mathrm {d} \mathbf {m} \times \mathbf {g} \,\!$ $U=\int _{V_{n}}\mathrm {d} \mathbf {m} \cdot \mathbf {g} \,\!$
Гравитационное поле вращающегося тела	$\phi$ = зенитный угол относительно оси вращения $\mathbf {\hat {a}} \,\!$ = единичный вектор, перпендикулярный оси вращения (зенита), радиальный от нее	$\mathbf {g} =-{\frac {GM}{\left|\mathbf {r} \right|^{2}}}\mathbf {\hat {r}} -(\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|^{2}\left|\mathbf {r} \right|\sin \phi )\mathbf {\hat {a}} \,\!$

Гравитационные потенциалы

Общие классические уравнения.

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Потенциальная энергия гравитации, интеграл закона Ньютона.		$U=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|\mathbf {r} \right|}}\approx m\left|\mathbf {g} \right|y\,\!$
Скорость побега	M = Масса тела (например, планеты), от которого нужно уйти. r = радиус тела	$v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\,\!$
Орбитальная энергия	m = масса вращающегося тела (например, планеты) M = масса центрального тела (например, звезды) ω = угловая скорость вращающейся массы r = расстояние между центрами масс Т = кинетическая энергия U = гравитационная потенциальная энергия (в данном случае иногда называемая «энергией гравитационной связи»)	${\begin{aligned}E&=T+U\\&=-{\frac {GmM}{\left|\mathbf {r} \right|}}+{\frac {1}{2}}m\left|\mathbf {v} \right|^{2}\\&=m\left(-{\frac {GM}{\left|\mathbf {r} \right|}}+{\frac {\left|{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right|^{2}}{2}}\right)\\&=-{\frac {GmM}{2\left|\mathbf {r} \right|}}\end{aligned}}\,\!$

Релятивистские уравнения слабого поля

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Гравитомагнитное поле вращающегося тела	ξ = гравитомагнитное поле	${\boldsymbol {\xi }}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} 3(\mathbf {L} \cdot \mathbf {\hat {r}} )\mathbf {\hat {r}} }{\left|\mathbf {r} \right|^{3}}}$

См. также

• Определяющее уравнение (физическая химия)
• Список уравнений электромагнетизма
• Список уравнений классической механики
• Список уравнений ядерной физики и физики элементарных частиц
• Список уравнений квантовой механики
• Список уравнений волновой теории
• Список уравнений фотоники
• Список релятивистских уравнений
• Таблица термодинамических уравнений

Источники

• П.М. Уилан, М.Дж. Ходжесон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN  0-7195-3382-1 .
• Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-57507-2 .
• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаума . Мак Грау Хилл. ISBN  978-0-07-025734-4 .
• Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Ганс Варлимонт, Springer. стр. 12–13. ISBN  978-0-07-025734-4 .
• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN  0-07-051400-3 .
• П. А. Типлер, Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). WH Freeman and Co. ISBN  978-1-4292-0265-7 .
• Л. Н. Хэнд, Дж. Д. Финч (2008). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57572-0 .
• ТБ Аркилл, Си Джей Миллар (1974). Механика, вибрации и волны . Джон Мюррей. ISBN  0-7195-2882-8 .
• Дж. Р. Форшоу, А. Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. ISBN  978-0-470-01460-8 .

Дальнейшее чтение

• Л. Х. Гринберг (1978). Физика с современными приложениями . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN  0-7216-4247-0 .
• Дж. Б. Мэрион, В. Ф. Хорняк (1984). Принципы физики . Международный колледж Сондерса Холта-Сондерса. ISBN  4-8337-0195-2 .
• А. Бейзер (1987). Концепции современной физики (4-е изд.). МакГроу-Хилл (международный). ISBN  0-07-100144-1 .
• HD Янг, Р.А. Фридман (2008). Университетская физика - с современной физикой (12-е изд.). Аддисон-Уэсли (Pearson International). ISBN  978-0-321-50130-1 .