Одностороннее волновое уравнение

Одностороннее волновое уравнение первого порядка, — это уравнение в частных производных описывающее одну волну, движущуюся в направлении, определяемом векторной скоростью волны. второго порядка, Оно контрастирует с уравнением двусторонней волны описывающим поле стоячей волны , возникающее в результате суперпозиции двух волн в противоположных направлениях (с использованием квадрата скорости скалярной волны). В одномерном случае оно также известно как уравнение переноса , и это позволяет рассчитывать распространение волн без математических сложностей, связанных с решением дифференциального уравнения 2-го порядка. В связи с тем, что в последние десятилетия не удалось найти общего решения трехмерного уравнения односторонней волны, для трехмерных сейсмических и других геофизических расчетов используются многочисленные аппроксимационные методы, основанные на одномерном уравнении односторонней волны, см. также раздел § Трехмерный случай .

Одномерный случай

Скалярное волновое уравнение второго порядка (двустороннее), описывающее поле стоячей волны, можно записать как: $${\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0,$$где $x$ это координата, $t$ это время, $s=s(x,t)$ - смещение, а $c$ — скорость волны.

Из-за неоднозначности направления скорости волны $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$, уравнение не содержит информации о направлении волны и поэтому имеет решения, распространяющиеся как в прямом ( $+x$) и назад ( $-x$) направления. Общее решение уравнения представляет собой суммирование решений в этих двух направлениях: $$s(x,t)=s_{+}(t-x/c)+s_{-}(t+x/c)$$

где $s_{+}$ и $s_{-}$ – амплитуды смещения волн, бегущих в $+c$ и $-c$ направление.

Когда формулируется задача об односторонней волне, направление распространения волны необходимо выбрать (вручную), сохраняя один из двух членов в общем решении.

Факторизация оператора в левой части уравнения дает пару односторонних волновых уравнений, одно с решениями, которые распространяются вперед, а другое с решениями, которые распространяются назад.

$$\left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right)s=\left({\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}\right)\left({\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}\right)s=0,$$

Описаны обратные и прямые волны соответственно (для $c>0$), $${\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}$$

Уравнения односторонних волн также могут быть физически выведены непосредственно из удельного акустического импеданса.

В продольной плоской волне удельное сопротивление определяет локальную пропорциональность давления $p=p(x,t)$ и скорость частицы $v=v(x,t)$:

$${\frac {p}{v}}=\rho c,$$с $\rho$ = плотность.

Преобразование уравнения импеданса приводит к:

$$v-{\frac {1}{\rho c}}p=0$$ ( ⁎ )

Продольная плоская волна угловой частоты $\omega$ имеет смещение $s=s(x,t)$.

Давление $p$ и скорость частицы $v$ можно выразить через перемещение $s$ ( $E$: Модуль упругости ) :

$$p:=E{\partial s \over \partial x}$$ для 1D случая это полная аналогия со стрессом $\sigma$ по механике : $\sigma =E\varepsilon$, при этом деформация определяется как $\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}$ $$v={\partial s \over \partial t}$$

Эти соотношения, вставленные в приведенное выше уравнение ( ⁎ ), дают:

$${\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0$$

С определением локальной скорости волны ( скорости звука ):

$$c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}$$

непосредственно (!) следует уравнению в частных производных 1-го порядка одностороннего волнового уравнения:

$${{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}$$

Скорость волны $c$ можно задать в этом волновом уравнении как $+c$ или $-c$ по направлению распространения волны.

При распространении волны в направлении $+c$ уникальное решение

$$s(x,t)=s_{+}(t-x/c)$$

и для распространения волн в $-c$ направлении соответствующее решение $$s(x,t)=s_{-}(t+x/c)$$

Существует также сферическое одностороннее волновое уравнение, описывающее распространение волны монопольного источника звука в сферических координатах, т. е. в радиальном направлении. Путем модификации радиального оператора набла устраняется несоответствие между сферической дивергенцией и операторами Лапласа, и полученное решение не показывает функции Бесселя (в отличие от известного решения обычного двустороннего подхода).

Трехмерный корпус

Одностороннее уравнение и решение в трехмерном случае предполагались аналогичными, как и для одномерного случая, путем математического разложения (факторизации) дифференциального уравнения 2-го порядка. Фактически, трехмерное уравнение односторонней волны можно вывести из первых принципов: а) вывод из теоремы об импедансе б) вывод из равновесия тензорного импульсного потока в точке поля. Также возможно получить векторный двусторонний волновой оператор путем синтеза двух односторонних волновых операторов (с использованием объединенной полевой переменной). Этот подход показывает, что двустороннее волновое уравнение или двусторонний волновой оператор можно использовать для конкретного условия ∇ c = 0 , т.е. для однородной и анизотропной среды, тогда как однонаправленное волновое уравнение соотв. односторонний волновой оператор справедлив и в неоднородных средах.

Неоднородные среды

Для неоднородных сред с модулем упругости, зависящим от местоположения $E(x)$, плотность $\rho (x)$ и скорость волны $c(x)$ аналитическое решение одностороннего волнового уравнения можно получить путем введения новой полевой переменной.

Дальнейшие механические и электромагнитные волны

Метод факторизации УЧП также можно перенести на другие волновые уравнения 2-го или 4-го порядка, например, уравнения поперечных и струнных уравнений, уравнения Моенса/Кортевега, изгиба, а также уравнения электромагнитных волн и электромагнитных волн.

См. также

• Волновое уравнение - дифференциальное уравнение, важное в физике.
• Стоячая волна - волна, которая остается в постоянном положении.
• Уравнение непрерывности - уравнение, описывающее перенос некоторого количества.