Оператор композиции
В математике композиции оператор с символом — линейный оператор , определяемый правилом
Изучение операторов композиции входит в категорию 47B33 AMS .
По физике [ править ]
В физике , и особенно в области динамических систем , оператор композиции обычно называют оператором Купмана. [1] [2] (и его дикий всплеск популярности [3] иногда в шутку называют «Купманией». [4] ), названный в честь Бернарда Купмана . Это левый сопряженный трансфер- оператор Фробениуса–Перрона.
В функциональном исчислении Бореля [ править ]
Используя язык теории категорий , оператор композиции представляет собой возврат к пространству измеримых функций ; он сопряжен с оператором переноса точно так же, как возврат назад сопряжен с выталкиванием вперед ; оператор композиции — это функтор обратного образа .
Поскольку здесь рассматривается область борелевских функций , вышеизложенное описывает оператор Купмана в том виде, в котором он появляется в борелевском функциональном исчислении .
В голоморфном функциональном исчислении [ править ]
Область определения оператора композиции можно понимать более узко, как некоторое банахово пространство , часто состоящее из голоморфных функций : например, некоторое пространство Харди или пространство Бергмана . В этом случае оператор композиции лежит в области некоторого функционального исчисления , такого как голоморфное функциональное исчисление .
Интересные вопросы, возникающие при изучении операторов композиции, часто связаны с тем, как спектральные свойства оператора зависят от функционального пространства . Другие вопросы включают в себя: является компактным или трассировочным ; ответы обычно зависят от того, как функция ведет себя на границе некоторой области.
Когда оператор переноса является оператором сдвига влево , оператор Купмана, как его сопряженный оператор, может считаться оператором сдвига вправо. Подходящий базис, явно проявляющий сдвиг, часто можно найти в ортогональных полиномах . Когда они ортогональны на прямой с действительными числами, сдвиг задается оператором Якоби . [5] Когда многочлены ортогональны в некоторой области комплексной плоскости (а именно, в пространстве Бергмана ), оператор Якоби заменяется оператором Хессенберга . [6]
Приложения [ править ]
В математике операторы композиции обычно встречаются при изучении операторов сдвига , например, в теореме Берлинга-Лакса и разложении Уолда . Операторы сдвига можно изучать как одномерные спиновые решетки . Операторы композиции появляются в теории мер Александрова–Кларка .
Уравнение собственных значений оператора композиции представляет собой уравнение Шредера , а главная собственная функция часто называют функцией Шредера или функцией Кенигса .
Оператор композиции использовался в управляемых данными методах для динамических систем в контексте алгоритмов динамической декомпозиции мод , которые аппроксимируют режимы и собственные значения оператора композиции.
См. также [ править ]
- Матрица Карлемана
- Линеаризация Карлемана
- Композиционное кольцо
- Оператор умножения
- Транспонирование линейной карты - индуцированное отображение между двойственными пространствами двух векторных пространств.
- Динамическое модовое разложение
Ссылки [ править ]
- ^ Купман, Б.О. (1931). «Гамильтоновы системы и преобразования в гильбертовом пространстве» . Труды Национальной академии наук . 17 (5): 315–318. Бибкод : 1931ПНАС...17..315К . дои : 10.1073/pnas.17.5.315 . ПМК 1076052 . ПМИД 16577368 .
- ^ Гаспар, Пьер (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511628856 . ISBN 978-0-511-62885-6 .
- ^ Будишич, Марко, Райан Мор и Игорь Мезич. «Прикладной купманизм». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки 22, вып. 4 (2012): 047510. https://doi.org/10.1063/1.4772195 .
- ^ Шервин Предраг Цвитанович, Роберто Артузо, Ронни Майниери, Грегор Таннер, Габор Ваттай, Найл Уилан и Андреас Вирзба, Хаос: классическое и квантовое приложение H, версия 15.9, (2017), http://chaosbook.org/version15/chapters/appendMeasure .pdf
- ^ Джеральд Тешл, «Операторы Якоби и полностью интегрируемые нелинейные решетки» (2000) Американское математическое общество. https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/jacop.pdf ISBN 978-0-8218-1940-1
- ^ Томео, В.; Торрано, Э. (2011). «Два применения субнормальности матрицы Хессенберга, связанные с общими ортогональными полиномами» . Линейная алгебра и ее приложения . 435 (9): 2314–2320. дои : 10.1016/j.laa.2011.04.027 .
- С. К. Коуэн и Б. Д. МакКлюер , Операторы композиции в пространствах аналитических функций . Исследования по высшей математике. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида, 1995. xii+388 стр. ISBN 0-8493-8492-3 .
- Дж. Х. Шапиро , Операторы композиции и классическая теория функций. Университетский текст: Трактаты по математике. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1993. xvi+223 стр. ISBN 0-387-94067-7 .
