Функция Кенигса

В математике функция Кенигса — функция, возникающая в комплексном анализе и динамических системах . Введенный в 1884 году французским математиком Габриэлем Кенигсом , он дает каноническое представление как расширение однолистного голоморфного отображения или полугруппы отображений единичного круга комплексных чисел в себя.

Существование и единственность функции Кенигса.

Пусть D — единичный круг комплексных чисел. Пусть f — голоморфная функция, отображающая D в себя, фиксирующая точку 0, причем f не тождественно 0 и f не является автоморфизмом D , т.е. преобразованием Мёбиуса , определяемым матрицей из SU(1,1).

По Данжуа-Вольфа теореме f оставляет инвариантным каждый диск | г | < r и итерации f сходятся равномерно на компактах к 0: фактически для 0 < r < 1

$|f(z)|\leq M(r)|z|$

для | г | ≤ r с M ( r ) < 1. Более того, f '(0) = λ с 0 < | λ | < 1.

Кенигс (1884) доказал, что существует единственная голоморфная функция h, определенная на D , называемая функцией Кенигса , такой, что h (0) = 0, h '(0) = 1 и уравнение Шредера выполняется ,

$h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z)~.$

Функция h является равномерным пределом на компактах нормированных итераций , $g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{n}(z)$.

Более того, если f однолистно, то и h однолистно .

Как следствие, когда f (и, следовательно, h ) однолистны, D можно отождествить с открытой областью U = h ( D ) . При этой конформной идентификации отображение f становится умножением на λ расширением на U. ,

Доказательство

• Уникальность . Если k — другое решение, то в силу аналитичности достаточно показать, что k = h вблизи 0. Пусть

$H=k\circ h^{-1}(z)$

вблизи 0. Таким образом, H (0) =0, H' (0)=1 и при | г | маленький,

$\lambda H(z)=\lambda h(k^{-1}(z))=h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\lambda z)=H(\lambda z)~.$

в ряд Подставив H степенной , получим, что H ( z ) = z вблизи 0. Следовательно, h = k вблизи 0.

• Существование . Если $F(z)=f(z)/\lambda z,$ тогда по лемме Шварца

$|F(z)-1|\leq (1+|\lambda |^{-1})|z|~.$

С другой стороны,

$g_{n}(z)=z\prod _{j=0}^{n-1}F(f^{j}(z))~.$

Следовательно, g _n сходится равномерно при | г | ≤ r по М-критерию Вейерштрасса , поскольку

$\sum \sup _{|z|\leq r}|1-F\circ f^{j}(z)|\leq (1+|\lambda |^{-1})\sum M(r)^{j}<\infty .$

• Однозначность . По теореме Гурвица , поскольку каждое g ^н однолистна и нормализована, т.е. фиксирует 0 и имеет там производную 1, их предел h также однолистен.

Функция Кенигса полугруппы

Пусть f _t ( z ) — полугруппа голоморфных однолистных отображений D в себя, фиксирующая 0, определенный для t ∈ [0, ∞) такого, что

• $f_{s}$ не является автоморфизмом при s > 0
• $f_{s}(f_{t}(z))=f_{t+s}(z)$
• $f_{0}(z)=z$
• $f_{t}(z)$ совместно непрерывен по t и z

Каждая f _s с s > 0 имеет одну и ту же функцию Кенигса, ср. итерированная функция . Действительно, если h — функция Кенигса f = f ₁ , то h ( f _s ( z )) удовлетворяет уравнению Шредера и, следовательно, пропорционально h .

Взятие деривативов дает

$h(f_{s}(z))=f_{s}^{\prime }(0)h(z).$

Следовательно, h — функция Кенигса от f _s .

Строение однолистных полугрупп

В области U = h ( D ) отображения fs _{становятся} умножением на $\lambda (s)=f_{s}^{\prime }(0)$, непрерывная полугруппа.Так $\lambda (s)=e^{\mu s}$ где µ — однозначно определенное решение задачи e ^м = λ , Re µ < 0. Отсюда следует, что полугруппа дифференцируема в точке 0. Пусть

$v(z)=\partial _{t}f_{t}(z)|_{t=0},$

голоморфная функция на D с v (0) = 0 и v' (0) = µ .

Затем

$\partial _{t}(f_{t}(z))h^{\prime }(f_{t}(z))=\mu e^{\mu t}h(z)=\mu h(f_{t}(z)),$

так что

$v=v^{\prime }(0){h \over h^{\prime }}$

и

$\partial _{t}f_{t}(z)=v(f_{t}(z)),\,\,\,f_{t}(z)=0~,$

уравнение потока для векторного поля.

Ограничиваясь случаем 0 < λ < 1, h ( D ) должен быть звездообразным , чтобы

$\Re {zh^{\prime }(z) \over h(z)}\geq 0~.$

Поскольку тот же результат справедлив и для обратного значения,

$\Re {v(z) \over z}\leq 0~,$

так что v ( z ) удовлетворяет условиям Берксона и Порта (1978)

$v(z)=zp(z),\,\,\,\Re p(z)\leq 0,\,\,\,p^{\prime }(0)<0.$

И наоборот, обращая вышеуказанные шаги, любое голоморфное векторное поле v ( z ), удовлетворяющее этим условиям, ассоциируется с полугруппой f _t , причем

$h(z)=z\exp \int _{0}^{z}{v^{\prime }(0) \over v(w)}-{1 \over w}\,dw.$

Ссылки

• Берксон, Э.; Порта, Х. (1978), «Полугруппы аналитических функций и операторов композиции», Michigan Math. Дж. , 25 : 101–115, doi : 10.1307/mmj/1029002009
• Карлесон, Л.; Гамелен, TDW (1993), Комплексная динамика , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97942-5
• Элин, М.; Шойхет, Д. (2010), Модели линеаризации сложных динамических систем: темы однолистных функций, функциональных уравнений и теории полугрупп , Теория операторов: достижения и приложения, том. 208, Спрингер, ISBN  978-3034605083
• Кенигс, GPX (1884), «Исследование интегралов некоторых функциональных уравнений», Ann. наук. Норм школа. Как дела. , 1 :2–41
• Кучма, Марек (1968). Функциональные уравнения с одной переменной . Математические монографии. Варшава: PWN – Польское научное издательство. ASIN: B0006BTAC2
• Шапиро, Дж. Х. (1993), Операторы композиции и классическая теория функций , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  0-387-94067-7
• Шойхет, Д. (2001), Полугруппы в геометрической теории функций , Kluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-7111-9