Теорема Данжуа – Вольфа

В математике теорема Данжуа-Вольфа — это теорема комплексного анализа и динамических систем, касающаяся неподвижных точек и итераций голоморфных отображений единичного круга комплексных чисел в себя. Результат был независимо доказан в 1926 году французским математиком Арно Данжуа и голландским математиком Юлиусом Вольфом .

Заявление

Теорема. Пусть D — открытый единичный круг в C , и пусть f — голоморфная функция, отображающая D в D , которая не является автоморфизмом D (т. е. преобразованием Мёбиуса ). Тогда существует единственная точка z в замыкании D такая, что итерации f стремятся к z равномерно на компактных подмножествах D . Если z лежит в D , это единственная неподвижная точка f . Отображение f оставляет инвариантные гиперболические диски с центром в z , если z лежит в D касающиеся единичной окружности в точке z , если z лежит на границе D. , и диски ,

Когда фиксированная точка находится в точке z = 0, гиперболические диски с центром в точке z представляют собой просто евклидовы диски с центром 0. В противном случае f можно сопряжить с помощью преобразования Мёбиуса так, чтобы неподвижная точка была равна нулю. Ниже приведено элементарное доказательство теоремы, взятое из Шапиро (1993). и Буркель (1981). Два других коротких доказательства можно найти у Карлесона и Гамелена (1993).

Доказательство теоремы

Фиксированная точка на диске

Если f имеет неподвижную точку z в D , то после сопряжения преобразованием Мёбиуса можно считать, что z = 0. Пусть M ( r ) — максимальный модуль f на |z| = r < 1. По лемме Шварца

$|f(z)|\leq \delta (r)|z|,$

для | г | ≤ r , где

$\delta (r)={M(r) \over r}<1.$

Путем итерации следует, что

$|f^{n}(z)|\leq \delta (r)^{n}$

для | г | ≤ р . Эти два неравенства подразумевают результат в данном случае.

Нет фиксированных точек

Когда f действует в D без неподвижных точек, Вольф показал, что на границе есть точка z, такая, что итерации f оставляют инвариантным каждый диск, касающийся границы в этой точке.

Возьмите последовательность $r_{k}$ увеличиваем до 1 и устанавливаем

$f_{k}(z)=r_{k}f(z).$

Применяя теорему Руше к $f_{k}(z)-z$ и $g(z)=z$, $f_{k}$ имеет ровно один ноль $z_{k}$ в Д. ​ Переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что $z_{k}\rightarrow z.$ Точка z не может лежать в D , потому что при переходе к пределу z должна была бы быть фиксированной точкой. Результат для случая неподвижных точек означает, что отображения $f_{k}$ оставить неизменными все евклидовы диски, гиперболический центр которых расположен в точке $z_{k}$. Явные вычисления показывают, что с увеличением k можно выбирать такие диски так, чтобы они стремились к любому заданному диску, касающемуся границы в точке z . По непрерывности f оставляет каждый такой круг ∆ инвариантным.

Чтобы увидеть это $f^{n}$ сходится равномерно на компактах к константе z , достаточно показать, что то же самое верно для любой подпоследовательности $f^{n_{k}}$, сходящийся в том же смысле к g , скажем, . Такие пределы существуют по теореме Монтеля , и если g непостоянна, можно также предположить, что $f^{n_{k+1}-n_{k}}$ имеет предел, скажем . Но тогда

$h(g(w))=g(w),$

для w в D. ​

Поскольку h голоморфен и g ( D ) открыт,

$h(w)=w$

для всех ш .

Параметр $m_{k}=n_{k+1}-n_{k}$, можно также предположить, что $f^{m_{k}-1}$ сходится к F, скажем.

Но тогда f ( F ( w )) = w = f ( F ( w )), что противоречит тому, что f не является автоморфизмом.

стремится к некоторой константе Следовательно, каждая подпоследовательность равномерно на компактах в D .

Инвариантность Δ подразумевает, что каждая такая константа находится в замыкании каждого круга Δ и, следовательно, в их пересечении, в единственной точке z . По теореме Монтеля отсюда следует, что $f^{n}$ сходится равномерно на компактах к постоянной z .

Ссылки

• Бердон, А. Ф. (1990), «Итерация сокращений и аналитических карт», J. London Math. Соц. , 41 : 141–150
• Буркель, Р.Б. (1981), «Итерация аналитических собственных карт дисков», Amer. Математика. Ежемесячно , 88 : 396–407, doi : 10.2307/2321822
• Карлесон, Л.; Гамелен, TDW (1993), Комплексная динамика , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97942-5
• Данжуа, А. (1926), “Об итерации аналитических функций”, CR Acad. наук. , 182 : 255–257
• Шапиро, Джоэл Х. (1993), Операторы композиции и классическая теория функций , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  0-387-94067-7
• Шойхет, Д. (2001), Полугруппы в геометрической теории функций , Kluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-7111-9
• Стейнмец, Норберт (1993), Рациональная итерация. Сложные аналитические динамические системы , Исследования де Грюйтера по математике, том. 16, Уолтер де Грюйтер и компания, ISBN  3-11-013765-8
• Вольф Дж. (1926), «Об итерации голоморфных функций в области и значениях которых принадлежат этой области», CR Acad. наук. , 182 : 42–43
• Вольф Дж. (1926), “Об итерации ограниченных функций”, CR Acad. наук. , 182 : 200–201
• Вольф, Дж. (1926), «Об одном обобщении теоремы Шварца», CR Acad. наук. , 182 : 918–920