Линеаризация Карлемана

В математике линеаризация Карлемана (или вложение Карлемана ) — это метод преобразования конечномерной нелинейной динамической системы в бесконечномерную линейную систему. Его ввел шведский математик Торстен Карлеман в 1932 году. ^[1] Линеаризация Карлемана связана с оператором композиции и широко используется при изучении динамических систем. Он также использовался во многих прикладных областях, например, в теории управления. ^[2]^[3] и в квантовых вычислениях . ^[4]^[5]

Процедура

Рассмотрим следующую автономную нелинейную систему:

{\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)d_{j}(t)

где $x\in R^{n}$ обозначает вектор состояния системы. Также, $f$ и $g_{i}$ - известные аналитические векторные функции, а $d_{j}$ это $j^{th}$ элемент неизвестного возмущения системы.

В желаемой номинальной точке нелинейные функции в приведенной выше системе можно аппроксимировать разложением Тейлора.

f(x)\simeq f(x_{0})+\sum _{k=1}^{\eta }{\frac {1}{k!}}\partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}(x-x_{0})^{[k]}

где $\partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}$ это $k^{th}$ частная производная от $f(x)$ относительно $x$ в $x=x_{0}$ и $x^{[k]}$ обозначает $k^{th}$ Кронекеровское произведение.

Не ограничивая общности, будем считать, что $x_{0}$ находится в начале.

Применяя к системе приближение Тейлора, получаем

{\dot {x}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta }A_{k}x^{[k]}+\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{\eta }B_{jk}x^{[k]}d_{j}

где $A_{k}={\frac {1}{k!}}\partial f_{[k]}\mid _{x=0}$ и $B_{jk}={\frac {1}{k!}}\partial g_{j[k]}\mid _{x=0}$ .

В результате получается следующая линейная система для высших порядков исходных состояний:

{\frac {d(x^{[i]})}{dt}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta -i+1}A_{i,k}x^{[k+i-1]}+\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{\eta -i+1}B_{j,i,k}x^{[k+i-1]}d_{j}

где $A_{i,k}=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes A_{k}\otimes I_{n}^{[i-1-l]}$ и аналогично $B_{j,i,\kappa }=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes B_{j,\kappa }\otimes I_{n}^{[i-1-l]}$ .

Используя оператор произведения Кронекера, аппроксимированная система представляется в следующем виде:

{\dot {x}}_{\otimes }\simeq Ax_{\otimes }+\sum _{j=1}^{m}[B_{j}x_{\otimes }d_{j}+B_{j0}d_{j}]+A_{r}

где $x_{\otimes }={\begin{bmatrix}x^{T}&x^{{[2]}^{T}}&...&x^{{[\eta ]}^{T}}\end{bmatrix}}^{T}$ , и $A,B_{j},A_{r}$ и $B_{j,0}$ матрицы определены в (Hashemian and Armaou 2015). ^[6]

См. также

Ссылки

^ Карлеман, Торстен (1932). «Применение теории линейных интегральных уравнений к системам нелинейных дифференциальных уравнений» . Акта Математика . 59 : 63–87. дои : 10.1007/BF02546499 . ISSN 0001-5962 . S2CID 120263424 .
^ Саласар-Касерес, Фабиан; Теллез-Кастро, Дуван; Мохика-Нава, Эдуардо (2017). «Консенсус для многоагентных нелинейных систем: аппроксимационный подход Карлемана» . 2017 Третья Колумбийская конференция IEEE по автоматическому управлению (CCAC) . Картахена: IEEE. стр. 1–5. дои : 10.1109/CCAC.2017.8276388 . ISBN 978-1-5386-0398-7 . S2CID 44019245 .
^ Амини, Араш; Сунь, Цию; Моти, Надер (2020). «Приближенное оптимальное управление для класса нелинейных систем путем поднятия уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана» . Американская конференция по контролю (ACC) 2020 года . Денвер, Колорадо, США: IEEE. стр. 2717–2722. дои : 10.23919/ACC45564.2020.9147576 . ISBN 978-1-5386-8266-1 . S2CID 220889153 .
^ Лю, Цзинь-Пэн; Кольден, Герман Ойе; Крови, Хари К.; Лоурейро, Нуну Ф.; Тривиса, Константина; Чайлдс, Эндрю М. (31 августа 2021 г.). «Эффективный квантовый алгоритм для решения диссипативных нелинейных дифференциальных уравнений» . Труды Национальной академии наук . 118 (35): e2026805118. arXiv : 2011.03185 . Бибкод : 2021PNAS..11826805L . дои : 10.1073/pnas.2026805118 . ISSN 0027-8424 . ПМЦ 8536387 . ПМИД 34446548 .
^ Леви, Макс Г. (5 января 2021 г.). «Новые квантовые алгоритмы наконец решают нелинейные уравнения» . Журнал Кванта . Проверено 31 декабря 2022 г.
^ Хашимян, Н.; Армау, А. (2015). «Оценка нелинейных процессов с помощью быстро движущегося горизонта с помощью линеаризации Карлемана». Американская конференция по контролю (ACC), 2015 г. стр. 3379–3385. дои : 10.1109/ACC.2015.7171854 . ISBN 978-1-4799-8684-2 . S2CID 13251259 .

Внешние ссылки

Лекция о линеаризации Карлемана Игоря Мезича

[1] Карлеман, Торстен (1932). «Применение теории линейных интегральных уравнений к системам нелинейных дифференциальных уравнений» . Акта Математика . 59 : 63–87. дои : 10.1007/BF02546499 . ISSN 0001-5962 . S2CID 120263424 .

[2] Саласар-Касерес, Фабиан; Теллез-Кастро, Дуван; Мохика-Нава, Эдуардо (2017). «Консенсус для многоагентных нелинейных систем: аппроксимационный подход Карлемана» . 2017 Третья Колумбийская конференция IEEE по автоматическому управлению (CCAC) . Картахена: IEEE. стр. 1–5. дои : 10.1109/CCAC.2017.8276388 . ISBN 978-1-5386-0398-7 . S2CID 44019245 .

[3] Амини, Араш; Сунь, Цию; Моти, Надер (2020). «Приближенное оптимальное управление для класса нелинейных систем путем поднятия уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана» . Американская конференция по контролю (ACC) 2020 года . Денвер, Колорадо, США: IEEE. стр. 2717–2722. дои : 10.23919/ACC45564.2020.9147576 . ISBN 978-1-5386-8266-1 . S2CID 220889153 .

[4] Лю, Цзинь-Пэн; Кольден, Герман Ойе; Крови, Хари К.; Лоурейро, Нуну Ф.; Тривиса, Константина; Чайлдс, Эндрю М. (31 августа 2021 г.). «Эффективный квантовый алгоритм для решения диссипативных нелинейных дифференциальных уравнений» . Труды Национальной академии наук . 118 (35): e2026805118. arXiv : 2011.03185 . Бибкод : 2021PNAS..11826805L . дои : 10.1073/pnas.2026805118 . ISSN 0027-8424 . ПМЦ 8536387 . ПМИД 34446548 .

[5] Леви, Макс Г. (5 января 2021 г.). «Новые квантовые алгоритмы наконец решают нелинейные уравнения» . Журнал Кванта . Проверено 31 декабря 2022 г.

[6] Хашимян, Н.; Армау, А. (2015). «Оценка нелинейных процессов с помощью быстро движущегося горизонта с помощью линеаризации Карлемана». Американская конференция по контролю (ACC), 2015 г. стр. 3379–3385. дои : 10.1109/ACC.2015.7171854 . ISBN 978-1-4799-8684-2 . S2CID 13251259 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]