Развитый

Эволюта кривой (синяя парабола . ) — это место расположения всех ее центров кривизны (красный)

Эволюта кривой (в данном случае эллипса) — это огибающая ее нормалей.

В кривых эволюта это кривой — место дифференциальной геометрии всех ее центров кривизны . То есть, когда рисуется центр кривизны каждой точки кривой, результирующая форма будет эволюцией этой кривой. Таким образом, эволюта круга представляет собой одну точку в его центре. Эквивалентно, эволюта — это огибающая нормалей . к кривой

Эволюция кривой, поверхности или, в более общем смысле, подмногообразия , является каустикой карты нормалей. Пусть M — гладкое регулярное подмногообразие в R ^н . Каждой точке p в M и каждому вектору v , основанному на p и нормали к M , мы связываем точку p + v . Это определяет лагранжеву карту , называемую нормальной картой. Каустика карты нормалей — это M. эволюта

Эволюты тесно связаны с эвольвентами : кривая — это эволюта любой из своих эвольвент.

История

Аполлоний ( ок. 200 г. до н.э.) обсуждал эволюты в пятой книге своих Коник . Однако Гюйгенсу иногда приписывают первое их изучение (1673 г.). Гюйгенс сформулировал свою теорию эволюты где-то около 1659 года, чтобы помочь решить проблему нахождения кривой таутохроны , которая, в свою очередь, помогла ему построить изохронный маятник. Это произошло потому, что кривая таутохроны является циклоидой , а циклоида обладает уникальным свойством: ее эволюта также является циклоидой. Фактически теория эволют позволила Гюйгенсу достичь многих результатов, которые позже были получены с помощью математических вычислений.

Эволюция параметрической кривой

Если ${\vec {x}}={\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ является параметрическим представлением регулярной кривой на плоскости, кривизна которой нигде не равна 0 и $\rho (t)$ радиус его кривизны и ${\vec {n}}(t)$ единичная нормаль, указывающая на центр кривизны, тогда $${\vec {E}}(t)={\vec {c}}(t)+\rho (t){\vec {n}}(t)$$описывает эволюцию данной кривой.

Для ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}$ и ${\vec {E}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}$ каждый получает $$X(t)=x(t)-{\frac {y'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}$$ и $$Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t){\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.$$

Свойства эволюты

Нормаль в точке P — это касательная к центру кривизны C.

Для вывода свойств регулярной кривой целесообразно использовать длину дуги $s$ данной кривой в качестве ее параметра, поскольку ${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$ и ${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$ (см. формулы Френе–Серре ). Следовательно, касательный вектор эволюты ${\textstyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}}$ является: $${\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .$$Из этого уравнения получаются следующие свойства эволюты:

• В точках с $\rho '=0$ эволюция не является регулярной . Это означает: в точках с максимальной или минимальной кривизной ( вершинах данной кривой) эволюта имеет точки возврата . (См. схемы эволют параболы, эллипса, циклоиды и нефроида.)
• Для любой дуги эволюты, не содержащей точки возврата, длина дуги равна разнице радиусов кривизны в ее конечных точках. Этот факт приводит к простому доказательству теоремы Тейта – Кнезера о вложении соприкасающихся окружностей .
• Нормали данной кривой в точках ненулевой кривизны являются касательными к эволюте, а нормали кривой в точках нулевой кривизны являются асимптотами к эволюте. Следовательно: эволюта – это огибающая нормалей данной кривой.
• На участках кривой с $\rho '>0$ или $\rho '<0$ кривая является разверткой своей эволюты. (На диаграмме: синяя парабола представляет собой развертку красной полукубической параболы, которая на самом деле является разверткой синей параболы.)

Доказательство последнего свойства:
Пусть будет $\rho '>0$ на разделе рассмотрения. Эвольвенту эволюты можно описать следующим образом: $${\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{\left|{\vec {E}}'\right|}}\left(\int _{0}^{s}\left|{\vec {E}}'(w)\right|\mathrm {d} w+l_{0}\right),$$где $l_{0}$ — фиксированное расширение строки (см. Эвольвента параметризованной кривой ).
С ${\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}$ и $\rho '>0$ каждый получает $${\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\left(\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}\right)={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\,.$$Это означает: для расширения строки $l_{0}=\rho (0)$ данная кривая воспроизводится.

• Параллельные кривые имеют одинаковую эволюту.

Доказательство: параллельная кривая с расстоянием. $d$ вне данной кривой имеет параметрическое представление ${\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}$ и радиус кривизны $\rho _{d}=\rho -d$ (см. параллельную кривую ). Следовательно, эволюта параллельной кривой равна $${\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.$$

Примеры

Развитие притчи

Для параболы с параметрическим представлением $(t,t^{2})$ из формул над уравнениями получаем: $$X=\cdots =-4t^{3}$$$$Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\,,$$описывающая полукубическую параболу

Эволюция (красный) эллипса

Эволюция эллипса

Для эллипса с параметрическим представлением $(a\cos t,b\sin t)$ человек получает: $$X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t$$$$Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\;.$$Это уравнения несимметричной астроиды . Исключающий параметр $t$ приводит к неявному представлению $$(aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .$$

Циклоида (синий), ее соприкасающийся круг (красный) и эволюция (зеленый).

Эволюция циклоиды

Для циклоиды с параметрическим представлением $(r(t-\sin t),r(1-\cos t))$ эволюция будет: $$X=\cdots =r(t+\sin t)$$$$Y=\cdots =r(\cos t-1)$$который описывает транспонированную копию самого себя.

Эволюция большого нефроида (синий) представляет собой малый нефроид (красный).

Эволюция лог-эстетических кривых

Эволюция логарифмической эстетической кривой — это еще одна логарифмическая кривая. Одним из примеров этого соотношения является то, что эволюта спирали Эйлера представляет собой спираль с уравнением Чезаро. $\kappa (s)=-s^{-3}$.

Эволюции некоторых кривых

Развитые

• параболы , — полукубическая парабола (см. выше)
• эллипса , является несимметричной астроидой (см. выше)
• линия точкой является идеальной ,
• нефроида , – нефроид (вполовину меньше, см. схему)
• астроида – это астроид (вдвое больше),
• кардиоиды , является кардиоидой (втрое меньше)
• круга является его центром,
• мышцы дельтовидной является дельтовидная мышца (в три раза больше),
• циклоида , является конгруэнтной циклоидой
• логарифмической спирали — это та же самая логарифмическая спираль,
• Трактриса представляет собой цепную линию.

Радиальная кривая

Кривая с аналогичным определением является радиальной данной кривой. Для каждой точки кривой возьмите вектор от точки к центру кривизны и переведите его так, чтобы он начинался в начале координат. Тогда геометрическое место точек на концах таких векторов называется радиалом кривой. Уравнение радиала получается удалением членов x и y из уравнения эволюты. Это производит $$(X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).$$

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Эволюта» . Математический мир .
• Соколов, Д.Д. (2001) [1994], «Эволюта» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Йейтс, Р.С.: Справочник по кривым и их свойствам , Дж. Эдвардс (1952), «Эволюты». стр. 86 и далее
• Эволюция на 2d кривых.