Уравнение Чезаро

В геометрии уравнение Чезаро плоской кривой — это уравнение, связывающее кривизну ( κ ) в точке кривой с длиной дуги ( s ) от начала кривой до заданной точки. Его также можно представить в виде уравнения, связывающего радиус кривизны ( R ) с длиной дуги . (Они эквивалентны, поскольку R = ⁠ 1 / κ ⁠ .) Две конгруэнтные кривые будут иметь одно и то же уравнение Чезаро. Уравнения Чезаро названы в честь Эрнесто Чезаро .

Лог-эстетические кривые

Семейство логарифмических кривых определяется в общем ( $\alpha \neq 0$) случай по следующему внутреннему уравнению:

$R(s)^{\alpha }=c_{0}s+c_{1}$

Это эквивалентно следующей явной формуле кривизны:

$\kappa (s)=(c_{0}s+c_{1})^{-1/\alpha }$

Кроме того, $c_{1}$ приведенная выше константа представляет собой простую повторную параметризацию параметра длины дуги, а $c_{0}$ эквивалентно равномерному масштабированию, поэтому логарифмические кривые полностью характеризуются $\alpha$ параметр.

В частном случае $\alpha =0$логарифмическая кривая становится спиралью Нильсена со следующим уравнением Чезаро (где $a$ является параметром равномерного масштабирования):

$\kappa (s)={\frac {e^{\frac {s}{a}}}{a}}$

Ряд хорошо известных кривых являются экземплярами семейства логарифмических кривых. К ним относятся круг ( $\alpha =\infty$), спираль Эйлера ( $\alpha =-1$), Логарифмическая спираль ( $\alpha =1$), и Круговая эвольвента ( $\alpha =2$).

Примеры

Некоторые кривые особенно просто представляются уравнением Чезаро. Некоторые примеры:

• Линия : $\kappa =0$.
• Круг : $\kappa ={\frac {1}{\alpha }}$, где α — радиус.
• Логарифмическая спираль : $\kappa ={\frac {C}{s}}$, где C — константа.
• Круговая эвольвента : $\kappa ={\frac {C}{\sqrt {s}}}$, где C — константа.
• Спираль Эйлера : $\kappa =Cs$, где C — константа.
• Цепная линия : $\kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$.

Связанные параметризации

Уравнение кривой Чезаро связано с уравнением Уэвелла следующим образом: если уравнение Уэвелла равно φ = f ( s ), то уравнение Чезаро равно κ = f ′( s ) .

Ссылки

• Учитель математики . Национальный совет учителей математики. 1908. С. 402 .
• Эдвард Каснер (1904). Современные проблемы геометрии . Конгресс искусств и науки: Универсальная выставка, Сент-Луис. п. 574.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 1–5 . ISBN  0-486-60288-5 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Чезаро» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Естественное уравнение» . Математический мир .
• Кривые кривизны на 2dcurves.com.