Уравнение Уэвелла

Уравнение Уэвелла плоской кривой — это уравнение , которое связывает касательный угол ( $φ$ ) с длиной дуги ( $s$ ), где касательный угол — это угол между касательной к кривой в некоторой точке и $осью x$ , а дугой длина — это расстояние вдоль кривой от фиксированной точки. Эти величины не зависят от используемой системы координат, за исключением выбора направления $оси x$ , так что это внутреннее уравнение кривой или, точнее, внутреннее уравнение. Если одна кривая получается из другой кривой путем перевода , то их уравнения Уэвелла будут одинаковыми.

Когда отношение является функцией, то есть тангенциальный угол задается как функция длины дуги, некоторыми свойствами становится легко манипулировать. В частности, производная касательного угла по длине дуги равна кривизне . Таким образом, если взять производную уравнения Уэвелла, получится уравнение Чезаро для той же кривой.

Концепция названа в честь Уильяма Уэвелла , который представил ее в 1849 году в статье в Cambridge Philosophical Transactions . В его концепции используемый угол представляет собой отклонение от направления кривой в некоторой фиксированной начальной точке, и это соглашение иногда используется и другими авторами. Это эквивалентно определению, данному здесь, путем добавления константы к углу или вращения кривой.

Характеристики

Если точка ${\vec {r}}=(x,y)$ на кривой задается параметрически через длину дуги, $s\mapsto {\vec {r}},$ тогда тангенциальный угол $φ$ определяется выражением

${\frac {d{\vec {r}}}{ds}}={\begin{pmatrix}{\frac {dx}{ds}}\\{\frac {dy}{ds}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \end{pmatrix}}\quad {\text{since}}\quad \left|{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right|=1,$

что подразумевает ${\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi .$

Параметрические уравнения кривой можно получить путем интегрирования: ${\begin{aligned}x&=\int \cos \varphi \,ds,\\y&=\int \sin \varphi \,ds.\end{aligned}}$

Поскольку кривизна определяется выражением $\kappa ={\frac {d\varphi }{ds}},$

уравнение Чезаро легко получить путем дифференцирования уравнения Уэвелла.

Примеры

Изгиб	Уравнение
Линия	$\varphi =c$
Круг	$s=a\varphi$
Логарифмическая спираль	$s={\frac {ae^{\varphi \tan \alpha }}{\sin \alpha }}$
Цепная линия	$s=a\tan \varphi$
Таутохрон	$s=a\sin \varphi$

Ссылки

Уэвелл, В. О внутреннем уравнении кривой и его применении. Кембриджские философские труды, Том. VIII, стр. 659–671, 1849. Google Книги .
Тодхантер, Исаак. Уильям Уэвелл, доктор медицинских наук, отчет о его произведениях с отрывками из его литературной и научной переписки. Том. И. Макмиллан и компания, 1876 г., Лондон. Раздел 56: с. 317.
Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 1–5 . ISBN 0-486-60288-5 .
Йейтс, Р.К.: Справочник по кривым и их свойствам , Дж. Эдвардс (1952), «Внутренние уравнения», стр. 124-5.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Уэвелла» . Математический мир .