Внутреннее уравнение

В геометрии внутреннее уравнение кривой соотношение — это уравнение , которое определяет кривую, используя между внутренними свойствами кривой, то есть свойствами, которые не зависят от местоположения и, возможно, ориентации кривой. Следовательно, внутреннее уравнение определяет форму кривой без указания ее положения относительно произвольно определенной системы координат .

Чаще всего используются внутренние величины: длина дуги. $s$, тангенциальный угол $\theta$, кривизна $\kappa$ или радиус кривизны , а для трехмерных кривых - кручение $\tau$. Конкретно:

• Естественное уравнение — это кривая, определяемая ее кривизной и кручением.
• Уравнение Уэвелла получается как соотношение между длиной дуги и тангенциальным углом.
• Уравнение Чезаро получается как связь между длиной дуги и кривизной.

Например, уравнение окружности (включая линию) задается уравнением $\kappa (s)={\tfrac {1}{r}}$ где $s$ длина дуги, $\kappa$ кривизна и $r$ радиус круга.

Эти координаты значительно упрощают некоторые физические задачи. Например, для упругих стержней потенциальная энергия определяется выражением

$E=\int _{0}^{L}B\kappa ^{2}(s)ds$

где $B$ модуль изгиба $EI$. Более того, как $\kappa (s)=d\theta /ds$, упругости стержней можно придать простую вариационную форму.

Ссылки

• Р. К. Йейтс (1952). Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. В. Эдвардс. стр. 123–126.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 1–5 . ISBN  0-486-60288-5 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Внутреннее уравнение» . Математический мир .