Тангенциальный угол

Касательный угол φ для произвольной кривой A в P .

В геометрии касательный угол кривой осью в декартовой плоскости в определенной точке — это угол между касательной линией к кривой в данной точке и x . (Некоторые авторы определяют угол как отклонение от направления кривой в некоторой фиксированной начальной точке. Это эквивалентно определению, данному здесь, путем добавления константы к углу или поворота кривой. )

Уравнения

Если кривая задана ( параметрически x ( t ) , y ( t )) , то касательный угол φ в точке t определяется (до кратного 2π ) выражением

${\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).$

Здесь штрих обозначает производную по t . Таким образом, тангенциальный угол задает направление вектора ( скорости x ( t ) , y ( t )) , а скорость задает его величину. Вектор

${\frac {{\big (}x'(t),\ y'(t){\big )}}{{\big |}x'(t),\ y'(t){\big |}}}$

называется единичным касательным вектором , поэтому эквивалентное определение состоит в том, что касательный угол в точке t — это угол φ такой, что (cos φ , sin φ ) — единичный касательный вектор в точке t .

Если кривая параметризована длиной дуги s , то | Икс ′( s ), y ′( s ) | = 1 , то определение упрощается до

${\big (}x'(s),\ y'(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).$

В этом случае кривизна κ определяется как φ ′( s ) , где κ считается положительным, если кривая изгибается влево, и отрицательным, если кривая изгибается вправо. И наоборот, касательный угол в данной точке равен определенному интегралу кривизны до этой точки:

$\varphi (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)ds+\varphi _{0}$

$\varphi (t)=\int _{0}^{t}\kappa (t)s'(t)dt+\varphi _{0}$

Если кривая представлена ​​графиком функции y = f ( x ) , то мы можем взять ( x , f ( x )) в качестве параметризации и можем предположить, что φ находится между — ⁠ π / 2 ⁠ и ⁠ π / 2 ⁠ . Это дает явное выражение

$\varphi =\arctan f'(x).$

Полярный тангенциальный угол

В полярных координатах полярный тангенциальный угол определяется как угол между касательной к кривой в данной точке и лучом от начала координат до точки. Если ψ обозначает полярный тангенциальный угол, то ψ = φ − θ , где φ такой же, как указано выше, а θ — это, как обычно, полярный угол.

Если кривая определяется в полярных координатах как r = f ( θ ) , то полярный касательный угол ψ в точке θ определяется (до кратного 2π ) выражением

${\frac {{\big (}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f'(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )$.

Если кривая параметризована длиной дуги s как r = r ( s ) , θ = θ ( s ) , поэтому | ( р ′( s ), rθ ′ ( s )) | = 1 , то определение становится

${\big (}r'(s),\ r\theta '(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )$.

Логарифмическую спираль можно определить как кривую, полярный касательный угол которой постоянен.

См. также

• Дифференциальная геометрия кривых
• Уравнение Уэвелла
• Подкасательная

Ссылки

Дальнейшее чтение

• «Рейтинги» . Энциклопедия замечательных математических форм (на французском языке).
• Йейтс, RC (1952). Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. В. Эдвардс. стр. 123–126.