Эпициклоида

Красная кривая представляет собой эпициклоиду, очерченную, когда маленький круг (радиус $r = 1)$ вращается вокруг внешней части большого круга (радиус $R = 3)$ .

В геометрии — эпициклоида (также называемая гиперциклоидой ). ^[1] — это плоская кривая, полученная путем отслеживания пути выбранной точки на окружности круга , называемого эпициклом , который катится, не скользя по фиксированному кругу. Это особый вид рулетки .

Эпициклоида с малым радиусом (R2), равным 0, представляет собой круг. Это вырожденная форма.

Уравнения

Если меньший круг имеет радиус $r$ , а больший круг имеет радиус $R=kr$ , то параметрические уравнения кривой могут быть заданы следующим образом:

{\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}

или:

{\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\end{aligned}}

Это можно записать в более краткой форме, используя комплексные числа: ^[2]

z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)

где

угол $\theta \in [0,2\pi ],$
меньший круг имеет радиус $r$ , и
больший круг имеет радиус $kr$ .

Площадь и длина дуги

(Предполагая, что начальная точка лежит на большем круге.) Когда $k$ целое положительное число, площадь $A$ и длина дуги $s$ этой эпициклоиды

A=(k+1)(k+2)\pi r^{2},

s=8(k+1)r.

Это означает, что эпициклоида ${\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}$ больше по площади, чем исходный неподвижный круг.

Если $k$ является целым положительным числом, то кривая замкнута и имеет $k$ точек возврата (т. е. острых углов).

Если $k$ это рациональное число , скажем $k=p/q$ выражается в виде неприводимой дроби , то кривая имеет вид $p$ выступы.

Чтобы замкнуть кривую и
выполнить 1-й повторяющийся узор:
$θ = от 0$ до $q$ оборотов
$α = от 0$ до $p$ вращений
общее количество оборотов внешнего катящегося круга = $p + q$ оборотов

Подсчитайте обороты анимации, чтобы увидеть $p$ и $q.$

Если $k$ является иррациональным числом , то кривая никогда не замыкается и образует плотное подмножество пространства между большим кругом и кругом радиуса $R+2r$ .

Расстояние ${\overline {OP}}$ от начала до точки $p$ на маленьком круге меняется вверх и вниз, как

R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r

где

$R$ = радиус большого круга и
$2r$ = диаметр малого круга.

Примеры эпициклоиды
$к = 1$ ; кардиоида
$к = 2$ ; нефроид
$к = 3$ ; трилистник
$к = 4$ ; четырехлистник
$к = 2,1 = 21/10$
$к = 3,8 = 19/5$
$к = 5,5 = 11/2$
$к = 7,2 = 36/5$

Эпициклоида — особый вид эпитрохоиды .

Эпицикл с одной створок — кардиоидный , с двумя створок — нефроид .

Эпициклоида и эволюта подобны ее . ^[3]

Доказательство

Мы предполагаем, что позиция $p$ это то, что мы хотим решить, $\alpha$ это угол между касательной точкой и движущейся точкой $p$ , и $\theta$ - это угол от начальной точки до точки касания.