Искусство проектирования

Обложка Ars Conjectandi

Ars Conjectandi ( лат. «Искусство строить предположения») — книга по комбинаторике и математической вероятности, написанная Якобом Бернулли и опубликованная в 1713 году, через восемь лет после его смерти, его племянником Никлаусом Бернулли . Эта основополагающая работа, помимо многих комбинаторных тем, объединила многие центральные идеи теории вероятностей , такие как самая первая версия закона больших чисел : действительно, она широко считается основополагающей работой по этому предмету. В нем также рассматривались проблемы, которые сегодня классифицируются двенадцатью категориями и добавляются к темам; следовательно, множество историков математики назвали ее важной исторической вехой не только в теории вероятности, но и во всей комбинаторике. Важность этой ранней работы оказала большое влияние как на современных, так и на более поздних математиков; например, Авраам де Муавр .

Бернулли написал текст между 1684 и 1689 годами, включая работы таких математиков, как Христиан Гюйгенс , Джероламо Кардано , Пьер де Ферма и Блез Паскаль . Он включил фундаментальные комбинаторные темы, такие как его теория перестановок и комбинаций вывод и свойства одноименных чисел Бернулли (вышеупомянутые проблемы двенадцатикратного пути), а также те, которые более отдаленно связаны с развивающейся темой: например, . Основные темы, связанные с вероятностью, такие как ожидаемое значение , также составляли значительную часть этой важной работы.

Предыстория

Христиан Гюйгенс опубликовал первый трактат о вероятности.

В Европе тема вероятности была впервые формально разработана в 16 веке в работах Джероламо Кардано , чей интерес к области математики во многом был обусловлен его привычкой к азартным играм. Он формализовал то, что сейчас называется классическим определением вероятности: если событие имеет возможные исходы и мы выбираем любое b из них такое, что b ≤ a , вероятность любого из b равна наступления ${\begin{smallmatrix}{\frac {b}{a}}\end{smallmatrix}}$. Однако его фактическое влияние на математическую сферу было невелико; в 1525 году он написал только один легкий том на эту тему под названием Liber de ludo aleae («Книга об азартных играх»), который был опубликован посмертно в 1663 году.

Датой, которую историки называют началом развития современной теории вероятностей, является 1654 год, когда два самых известных математика того времени, Блез Паскаль и Пьер де Ферма, начали переписку, обсуждая эту тему. Эти двое инициировали общение, потому что ранее в том же году игрок из Парижа по имени Антуан Гомбо отправил Паскалю и другим математикам несколько вопросов о практическом применении некоторых из этих теорий; в частности, он поставил проблему очков , касающуюся теоретической игры для двух игроков, в которой приз должен быть разделен между игроками из-за внешних обстоятельств, останавливающих игру. Плоды переписки Паскаля и Ферма заинтересовали других математиков, в том числе Христиана Гюйгенса , чья книга «Deatiociniis in aleae ludo» («Расчеты в азартных играх») появилась в 1657 году как последняя глава «Matematicae Exercitationes» Ван Скутена . В 1665 году Паскаль посмертно опубликовал свои результаты по одноименному треугольнику Паскаля — важной комбинаторной концепции. он назвал треугольник «арифметическим треугольником». В своей работе «Трактат арифметического треугольника» («Черты арифметического треугольника»)

книга «Логика или искусство мысли» . В 1662 году в Париже анонимно была опубликована Авторами предположительно были Антуан Арно и Пьер Николь , два ведущих янсениста , работавшие вместе с Блезом Паскалем. Латинское название этой книги — Ars cogitandi , которая была успешной книгой по логике того времени. Ars cogitandi состоит из четырех книг, четвертая из которых посвящена принятию решений в условиях неопределенности, рассматривая аналогию с азартными играми и явно вводя концепцию количественной вероятности.

В области статистики и прикладной вероятности Джон Граун опубликовал «Естественные и политические наблюдения, сделанные в отношении счетов смертности» также в 1662 году, положив начало дисциплине демографии . В этой работе, среди прочего, была дана статистическая оценка населения Лондона, составлена ​​первая таблица смертности, даны вероятности выживания различных возрастных групп, изучены различные причины смерти, отмечено, что годовой уровень самоубийств и несчастных случаев постоянен. и прокомментировал уровень и стабильность соотношения полов. Полезность и интерпретация таблиц Граунта обсуждались в серии переписок братьев Людвига и Христиана Гюйгенс в 1667 году, где они осознали разницу между средними и медианными оценками, а Кристиан даже интерполировал таблицу дожития Граунта с помощью плавной кривой, создав первую непрерывную вероятность. распределение; но их переписка не была опубликована. Позже Йохан де Витт , тогдашний премьер-министр Голландской Республики, опубликовал аналогичный материал в своей работе 1671 года «Waerdye van Lyf-Renten» («Трактат о пожизненных рентах»), в которой использовались статистические концепции для определения продолжительности жизни в практических политических целях; демонстрация того факта, что эта молодая отрасль математики имела важные прагматические приложения. Работа Де Витта не получила широкого распространения за пределами Голландской Республики, возможно, из-за его падения от власти и казни толпой в 1672 году. Помимо практического вклада этих двух работ, они также раскрыли фундаментальную идею о том, что вероятность можно приписать событиям, которые не обладают внутренней физической симметрией, такой как шансы умереть в определенном возрасте, в отличие, скажем, от броска игральной кости или подбрасывания монеты, просто подсчитывая частоту возникновения. Таким образом, вероятность может быть чем-то большим, чем просто комбинаторика.

Развитие Ars Conjectandi

Портрет Якоба Бернулли 1687 года.

Следуя за всеми этими пионерами, Бернулли получил многие результаты, содержащиеся в Ars Conjectandi между 1684 и 1689 годами, которые он записал в своем дневнике Meditationes . Когда Бернулли приступил к этой работе в 1684 году в возрасте 30 лет, хотя он был заинтригован комбинаторными и вероятностными проблемами, он еще не читал ни работы Паскаля об «арифметическом треугольнике», ни работы де Витта о приложениях теории вероятностей: ранее он просил копию последнего от своего знакомого Готфрида Лейбница , но Лейбниц не смог ее предоставить. Последнему, однако, удалось предоставить работы Паскаля и Гюйгенса, и, таким образом, именно на этом фундаменте Ars Conjectandi . построено Помимо этих работ, Бернулли наверняка владел или, по крайней мере, знал содержание вторичных источников « Логики или искусства мысли», а также «Записей о смертности» Граунта , поскольку он явно ссылается на эти две работы.

Прогресс Бернулли с течением времени можно проследить с помощью Meditationes . По целям и времени можно выделить три периода работы в отношении его «открытия». Первый период, продолжающийся с 1684 по 1685 год, посвящен изучению проблем азартных игр, поставленных Христианом Гюйгенсом; во второй период (1685–1686 гг.) исследования расширяются и охватывают процессы, вероятности которых априорно не известны, но должны быть определены апостериорно. Наконец, в последний период (1687-1689 гг.) решается проблема измерения вероятностей.

До публикации своего «Ars Conjectandi » Бернулли написал ряд трактатов, посвященных вероятности:

• Параллелизм логических и алгебраических рассуждений , Базель, 1685.
• В Journal des Sçavans 1685 (26.VIII), стр. 314 возникают две проблемы, касающиеся вероятности того, что каждый из двух игроков выиграет в игре в кости. Решения были опубликованы в Acta Eruditorum 1690 (май), стр. 219–223, в статье Quaestiones Nonnullae de Usuris, cum Solutione Issueatis de Sorte Alearum . Кроме того, сам Лейбниц опубликовал решение в том же журнале на страницах 387-390.
• «Тезисы логики конверсии и оппозиции обнародования» — публичная лекция, прочитанная в Базеле 12 февраля 1686 года. Тезисы с XXXI по XL связаны с теорией вероятностей.
• Инаугурационная речь De Arte Combinatoria , 1692 год.
• Письмо à un amy sur les party du jeu de paume , то есть письмо другу на съемках игры в теннис, опубликованное в Ars Conjectandi в 1713 году.

Между 1703 и 1705 годами Лейбниц переписывался с Якобом, узнав о его открытиях в теории вероятностей от своего брата Иоганна . Лейбницу удалось дать вдумчивую критику закона больших чисел Бернулли, но он не смог предоставить Бернулли работы де Витта по аннуитетам, которых он так желал. С самого начала Бернулли хотел, чтобы его работа продемонстрировала, что комбинаторика и теория вероятностей будут иметь многочисленные практические приложения во всех аспектах жизни общества (в духе работ Граунта и де Витта) и будут служить строгим методом логических рассуждений при недостаточные доказательства, используемые в залах суда и при вынесении моральных суждений. Была также надежда, что теория вероятностей сможет предоставить всеобъемлющий и последовательный метод рассуждения, в котором обычные рассуждения могут быть подавлены сложностью ситуации. Таким образом, было выбрано название Ars Conjectandi : ссылка на концепцию ars inveniendi из схоластики , которая обеспечила символическую связь с желаемым им прагматизмом, а также как расширение предшествующего Ars Cogitandi .

По словам самого Бернулли, «искусство догадок» определяется в главе II части IV его « Ars Conjectandi» как:

Искусство как можно точнее измерять вероятности вещей с целью, чтобы мы всегда могли выбирать или следовать в наших суждениях и действиях тому курсу, который будет определен как лучший, более удовлетворительный, более безопасный или более выгодно.

Развитие книги было прекращено смертью Бернулли в 1705 году; таким образом, книга по существу неполна по сравнению с первоначальным видением Бернулли. Ссора с его младшим братом Иоганном, который был самым компетентным человеком, который мог осуществить замысел Якоба, помешала Иоганну завладеть рукописью. Дети Джейкоба не были математиками и не могли редактировать и публиковать рукопись. Наконец, племянник Якоба Никлаус, спустя 7 лет после смерти Якоба в 1705 году, сумел опубликовать рукопись в 1713 году.

Содержание

Вырез страницы из Ars Conjectandi, показывающий формулу Бернулли для суммы целых степеней. В последней строке приведены его одноименные номера.

Работа Бернулли, первоначально опубликованная на латыни. разделен на четыре части. В первую очередь он охватывает его теорию перестановок и комбинаций; стандартные основы современной комбинаторики и подмножества фундаментальных проблем, известных сегодня как « двенадцатикратный путь» . В нем также обсуждаются мотивация и применение последовательности чисел, более тесно связанной с теорией чисел, чем с вероятностью; эти числа Бернулли сегодня носят его имя и являются одним из его наиболее заметных достижений.

Первая часть представляет собой углубленное объяснение работы Гюйгенса « Deatiociniis in aleae ludo» . В этом разделе Бернулли предлагает решения пяти проблем, которые Гюйгенс поставил в конце своей работы. Он особенно развивает концепцию ожидаемой ценности Гюйгенса — средневзвешенного значения всех возможных результатов события. Гюйгенс вывел следующую формулу:

$E={\frac {p_{0}a_{0}+p_{1}a_{1}+p_{2}a_{2}+\cdots +p_{n}a_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}.$

В этой формуле E — ожидаемое значение, p _i — вероятности достижения каждого значения, а a _i — достижимые значения. Бернулли нормализует ожидаемое значение, предполагая, что p _i — это вероятности всех непересекающихся результатов значения, отсюда подразумевая, что p ₀ + p ₁ + ... + p _n = 1. Другая ключевая теория, развитая в этой части, — это теория вероятности достижения хотя бы определенного количества успехов в ряде бинарных событий, сегодня называемых испытаниями Бернулли , при условии, что вероятность успеха в каждом событии была одинаковой. Бернулли показывает с помощью математической индукции , что при условии a количества благоприятных исходов в каждом событии, b количества общих исходов в каждом событии, d желаемого числа успешных исходов и e количества событий, вероятность как минимум d успехов равна

$P=\sum _{i=0}^{e-d}{\binom {e}{d+i}}\left({\frac {a}{b}}\right)^{d+i}\left({\frac {b-a}{b}}\right)^{e-d-i}.$

Первая часть завершается тем, что сейчас известно как распределение Бернулли .

Вторая часть посвящена перечислительной комбинаторике или систематической нумерации объектов. Именно в этой части были конкретизированы два наиболее важных из двенадцати способов — перестановки и комбинации, которые легли в основу предмета, хотя они были введены ранее для целей теории вероятностей. Он дает первое неиндуктивное доказательство биномиального разложения целого показателя с использованием комбинаторных аргументов. Что касается заметки, более отдаленной от комбинаторики, во втором разделе также обсуждается общая формула суммы целых степеней; поэтому свободные коэффициенты этой формулы называются числами Бернулли , которые позже повлияли на работу Абрахама де Муавра, и которые, как оказалось, имеют многочисленные приложения в теории чисел.

В третьей части Бернулли применяет вероятностные методы из первого раздела к обычным азартным играм, в которые играют с игральными картами или игральными костями. Он не чувствует необходимости описывать правила и цели анализируемых им карточных игр. Он представляет вероятностные проблемы, связанные с этими играми, и, как только метод был разработан, сформулировал обобщения. Например, задача, связанная с ожидаемым количеством «придворных карт» — валета, дамы и короля, — которые можно было бы выбрать в пятикарточной руке из стандартной колоды из 52 карт, содержащей 12 придворных карт, можно обобщить до колоды с карты, содержащие b придворных карт и руку c -карты.

Четвертый раздел продолжает тенденцию практического применения, обсуждая приложения вероятности к цивилибусу , моралибусу и oэкономике , а также к личным, судебным и финансовым решениям. В этом разделе Бернулли отличается от школы мысли, известной как частотность , которая определяла вероятность в эмпирическом смысле. В качестве противодействия он дает результат, напоминающий закон больших чисел , который он описывает как предсказание того, что результаты наблюдения будут приближаться к теоретической вероятности по мере проведения большего количества испытаний - напротив, Частос определял вероятность в терминах первого. Бернулли очень гордился этим результатом, называя его своей «золотой теоремой». и заметил, что это «проблема, которой я занимаюсь уже двадцать лет». Эта ранняя версия закона сегодня известна как теорема Бернулли или слабый закон больших чисел, поскольку она менее строгая и общая, чем современная версия.

После этих четырех основных пояснительных разделов, почти как запоздалая мысль, Бернулли добавил к Ars Conjectandi трактат по исчислению , который касался бесконечных рядов . Это было переиздание пяти диссертаций, которые он опубликовал между 1686 и 1704 годами.

Наследие

Работа Авраама де Муавра была частично построена на работах Бернулли.

Ars Conjectandi считается знаковой работой в комбинаторике и основополагающей работой по математической вероятности. Среди прочего, антология великих математических сочинений, опубликованная Elsevier и отредактированная историком Айвором Граттан-Гиннессом, описывает исследования, изложенные в работе, «[занимающие] математиков на протяжении 18 и 19 веков» - влияние, продолжающееся три столетия. Статистик Энтони Эдвардс похвалил не только новаторское содержание книги, написав, что она демонстрирует «глубокое знание Бернулли многих аспектов [комбинаторики]», но и ее форму: «[Ars Conjectandi] - очень хорошо написанная книга, превосходно построенная». Возможно, совсем недавно известный популярный историк математики и тополог Уильям Данэм назвал эту статью «следующей вехой теории вероятностей [после работы Кардано]», а также «шедевром Якоба Бернулли». Это во многом способствовало тому, что Данэм называет «давно сложившейся репутацией Бернулли».

Работы Бернулли оказали влияние на многих современных и последующих математиков. Даже трактат по математическому анализу, напоминающий запоздалую мысль, цитировался часто; в первую очередь шотландским математиком Колином Маклореном . Программа Якоба по применению своего искусства догадок в вопросах практической жизни, которая была прервана его смертью в 1705 году, была продолжена его племянником Николаем Бернулли , после того как он дословно взял части из Ars Conjectandi , для его собственной диссертации, озаглавленной De Usu Artis. Conjectandi in Jure , опубликованная уже в 1709 году. Наконец Николас отредактировал и помог опубликовать Ars conjectandi в 1713 году. Позже Николаус также отредактировал полное собрание сочинений Якоба Бернулли и дополнил его результатами, взятыми из дневника Якоба.

Пьер Ремон де Монмор в сотрудничестве с Николаусом Бернулли написал книгу о вероятности « Эссе d'analyse sur les jeux de Risk» , вышедшую в 1708 году, которую можно рассматривать как расширение части III «Ars Conjectandi» , в которой комбинаторика и вероятность применяются к проанализировать азартные игры, в которые часто играли в то время. Авраам де Муавр также много писал на эту тему в книге «De mensura sortis: Seu de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus» 1711 года и ее расширении «Доктрина шансов, или метод расчета вероятности событий в игре» 1718 года. Самым заметным достижением Де Муавра в области теории вероятности было открытие первого экземпляра центральной предельной теоремы , с помощью которой он смог аппроксимировать биномиальное распределение нормальным распределением . Для достижения этой цели Де Муавр разработал асимптотическую последовательность для факториала , которую мы теперь называем аппроксимацией Стирлинга , и формулу Бернулли для суммы степеней чисел. И Монмор, и де Муавр заимствовали у Якоба Бернулли термин «вероятность» , который не использовался во всех предыдущих публикациях по азартным играм, и обе их работы пользовались огромной популярностью.

Уточнение золотой теоремы Бернулли, касающееся сближения теоретической вероятности и эмпирической вероятности, было поддержано многими известными математиками современности, такими как Де Муавр, Лаплас, Пуассон, Чебышев, Марков, Борель, Кантелли, Колмогоров и Хинчин. Полное доказательство закона больших чисел для произвольных случайных величин было наконец получено в первой половине 20 века.

Значительное косвенное влияние оказал Томас Симпсон , добившийся результата, очень напоминавшего результат Муавра. Согласно предисловию к работе Симпсона, его собственная работа во многом зависела от работы Муавра; последний фактически описал работу Симпсона как сокращенную версию своей собственной. Наконец, Томас Байес написал эссе, в котором обсуждает богословские последствия результатов де Муавра: его решение проблемы, а именно определение вероятности события по его относительной частоте, было воспринято как доказательство существования Бога . Байесом Наконец, в 1812 году Пьер-Симон Лаплас опубликовал свою «Аналитическую теорию вероятностей» , в которой он объединил и изложил многие фундаментальные результаты в области вероятности и статистики, такие как производящая функция момента, метод наименьших квадратов, индуктивная вероятность и проверка гипотез, завершив таким образом заключительный этап в развитии классической вероятности. Действительно, в свете всего этого есть веская причина, по которой работу Бернулли называют столь плодотворным событием; Его различные влияния, прямые и косвенные, не только привели в движение математическое изучение комбинаторики, но и оказали влияние даже на теологию.

См. также

• Полиномиальное распределение
• Суд над Бернулли
• Закон больших чисел
• Числа Бернулли
• Биномиальное распределение

Ссылки

• Бернулли, Якоб (1713), Искусство проектирования, посмертное произведение. Кроме того, трактат о бесконечных сериях и письмо, написанное на французском языке об игре в нетбол , Базель: Thurneysen Brothers, OCLC   7073795.
• Бернулли, Якоб (2005) [1713], Искусство догадок вместе с письмом другу о сетах в теннисе на корте (английский перевод) , перевод Эдит Силла, Балтимор: Johns Hopkins Univ Press, ISBN  978-0-8018-8235-7
• Бернулли, Якоб (2005) [1713], О законе больших чисел, часть четвертая из Ars Conjectandi (английский перевод) (PDF) , перевод Оскара Шейнина, Берлин: NG Verlag, ISBN  978-3-938417-14-0
• Бернулли, Якоб (2002) [1713], Исчисление вероятностей (Ars conjectandi) (немецкий перевод) , перевод Хаусснера, Роберта, Франкфурт-на-Майне: Verlag Harri Deutsch , ISBN  978-3-8171-3107-5
• Бракел, Дж. ван (июнь 1976 г.), «Некоторые замечания о предыстории концепции статистической вероятности», Архив истории точных наук , 16 (2): 119, doi : 10.1007/BF00349634 , S2CID   119997834
• Коллани, Эларт фон (2006), «Расшифровка Джейкоба Бернулли» , Информационный бюллетень Общества Бернулли по математической статистике и теории вероятностей , 13 (2) , получено 3 июля 2008 г.
• Данэм, Уильям (1990), Путешествие через гения (1-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-50030-8
• Данэм, Уильям (1994), Математическая Вселенная (1-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-53656-7
• Эдвардс, Энтони В.Ф. (1987), Арифметический треугольник Паскаля: история математической идеи , издательство Университета Джонса Хопкинса, ISBN  978-0-8018-6946-4
• Elsevier (2005), Граттан-Гиннесс, Айвор (редактор), Знаковые произведения в западной математике, 1640–1940 , Elsevier
• Хальд, Андерс (2005), История вероятности и статистики и их применения до 1750 года , Wiley, ISBN  978-0-471-47129-5
• Хакинг, Ян (1971), «Искусство строить предположения Жака Бернулли», Британский журнал философии науки , 22 (3): 209–229, doi : 10.1093/bjps/22.3.209
• Хальд, Андерс (2003). История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-72517-6 .
• Майстров, Леонид (1974), Теория вероятностей: исторический очерк , Academic Press
• Масерес, Фрэнсис; Бернулли, Якоб; Уоллис, Джон (1798), Доктрина перестановок и комбинаций , британский критик
• де Муавр, Авраам (2000) [1716], Доктрина шансов (3-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishers, ISBN  978-0-8218-2103-9
• Шнайдер, Иво (июнь 2006 г.), «Прямое и косвенное влияние Ars Conjectandi Якоба Бернулли в Великобритании XVIII века» (PDF) , Электронный журнал истории вероятностей и статистики , том. 2, нет. 1
• Шнайдер, Иво (1984), «Роль Лейбница и Якоба Бернулли в развитии теории вероятностей», LLULL , vol. 7, стр. 69–89.
• Сенета, Юджин (2013), «Трехсотлетняя история закона больших чисел», Бернулли , 19 (4): 1088–1121, arXiv : 1309.6488 , doi : 10.3150/12-BEJSP12 , S2CID   88520834
• Шафер, Гленн (1996), «Значение Ars Conjectandi Джейкоба Бернулли для современной философии вероятностей» (PDF) , Journal of Econometrics , vol. 75, нет. 1, стр. 15–32, CiteSeerX   10.1.1.407.1066 , номер документа : 10.1016/0304-4076(95)01766-6.
• Шейнин О.Б. (ноябрь 1968 г.), «Исследования по истории вероятности и статистики. XXI.: К ранней истории закона больших чисел», Биометрика , 55 (3): 459–467, doi : 10.2307/2334251 , JSTOR   2334251
• Силла, Эдит Д. (1998), «Появление математической вероятности с точки зрения соответствия Лейбница-Якоба Бернулли» , Perspectives on Science , 6 (1&2): 41–76
• Тодхантер, Исаак (1865), История математической теории вероятностей со времен Паскаля до Лапласа , Макмиллана и компании.

Внешние ссылки

• Цитаты Якоба Бернулли
• Источники по истории вероятности и статистики. Архивировано 13 мая 2013 г. в Wayback Machine.
• Биография Якоба Бернулли.