Синусоидальная спираль

Синусоидальные спирали ( r ^н = –1 ^н cos( nθ ), θ = π /2 ) в полярных координатах и ​​их эквиваленты в прямоугольных координатах :

  n = −2 : равносторонняя гипербола

  n = −1 : линия

  n = −1/2 : Парабола

  n = 1/2 : Кардиоида

  n = 1 : Круг

  n = 2 : лемниската Бернулли.

В алгебраической геометрии синусоидальные спирали представляют собой семейство кривых, определяемых уравнением в полярных координатах.

$r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$

где a — ненулевая константа, а n — рациональное число, отличное от 0. С вращением вокруг начала координат это также можно записать

$r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).\,$

Термин «спираль» является неправильным, поскольку на самом деле они не являются спиралями и часто имеют форму цветка. Многие хорошо известные кривые представляют собой синусоидальные спирали, в том числе:

• Прямоугольная гипербола ( n = −2 )
• Линия ( n = −1 )
• Парабола ( n = −1/2 )
• Кубика Чирнхаузена ( n = −1/3 )
• Секстет Кэли ( n = 1/3 )
• Кардиоида ( n = 1/2 )
• Круг ( n = 1 )
• Лемниската Бернулли ( n = 2 )

Кривые были впервые изучены Колином Маклореном .

Уравнения

Дифференциация

$r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )\,$

и исключение a дает дифференциальное уравнение для r и θ:

${\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0.$

Затем

$\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)$

откуда следует, что полярный тангенциальный угол равен

$\psi =n\theta \pm \pi /2$

и поэтому касательный угол равен

$\varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2.$

(Знак здесь положительный, если r и cos n θ имеют одинаковый знак, и отрицательный в противном случае.)

Единичный касательный вектор,

$\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right),$

имеет длину единицу, поэтому сравнение величин векторов на каждой стороне приведенного выше уравнения дает

${\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta .$

В частности, длина одиночного цикла, когда $n>0$ является:

$a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta$

Кривизна выражением определяется

${\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta .$

Характеристики

Инверсией которой является синусоидальной спирали по отношению к кругу с центром в начале координат является еще одна синусоидальная спираль, значение n исходной кривой отрицательным по отношению к значению n . Например, обратной лемнискатой Бернулли является прямоугольная гипербола.

Изоптическая . , педальная и отрицательная педаль синусоидальной спирали — это разные синусоидальные спирали

Один путь частицы, движущейся под действием центральной силы, пропорциональной степени r, представляет собой синусоидальную спираль.

Когда n — целое число и n точек расположены регулярно на окружности радиуса a , то набор точек так, что среднее геометрическое расстояний от точки до n точек представляет собой синусоидальную спираль. В этом случае синусоидальная спираль представляет собой полиномиальную лемнискату .

Ссылки

• Йейтс, Р.К.: Справочник по кривым и их свойствам , Дж. Эдвардс (1952), «Спираль», с. 213–214
• «Синусоидальная спираль» на сайте www.2dcurves.com.
• «Синусоидальные спирали» в The MacTutor History of Mathematics
• Вайсштейн, Эрик В. «Синусоидальная спираль» . Математический мир .