Двухцентровые биполярные координаты

Двухцентровые биполярные координаты.

В математике двухцентровые биполярные координаты — это система координат, основанная на двух координатах, которые определяют расстояния от двух фиксированных центров. $c_{1}$ и $c_{2}$. Эта система очень полезна в некоторых научных приложениях (например, при расчете электрического поля диполя на плоскости).

Преобразование в декартовы координаты

Когда центры находятся $(+a,0)$ и $(-a,0)$, преобразование к декартовым координатам $(x,y)$ из двухцентровых биполярных координат $(r_{1},r_{2})$ является

$x={\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{4a}}$

$y=\pm {\frac {1}{4a}}{\sqrt {16a^{2}r_{2}^{2}-(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}+4a^{2})^{2}}}$

Преобразование в полярные координаты

Когда x > 0, преобразование в полярные координаты из двухцентровых биполярных координат равно

$r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2a^{2}}{2}}}$

$\theta =\arctan \left({\frac {\sqrt {r_{1}^{4}-8a^{2}r_{1}^{2}-2r_{1}^{2}r_{2}^{2}-(4a^{2}-r_{2}^{2})^{2}}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}}\right)$

где $2a$ — расстояние между полюсами (центрами системы координат).

Приложения

Полярные плоттеры используют двухцентровые биполярные координаты для описания путей рисования, необходимых для рисования целевого изображения.

См. также

• Биполярные координаты
• Двуугольные координаты
• Лемниската Бернулли
• Овал Кассини
• Декартовский овал
• Эллипс