Эллипсоидальные координаты

Эллипсоидальные координаты — это трёхмерная ортогональная система координат. $(\lambda ,\mu ,\nu )$ что обобщает двумерную эллиптическую систему координат . В отличие от большинства трехмерных ортогональных систем координат , которые имеют квадратичные координатные поверхности , эллипсоидальная система координат основана на софокусных квадриках .

Основные формулы

Декартовы координаты $(x,y,z)$ можно получить из эллипсоидных координат $(\lambda ,\mu ,\nu )$ по уравнениям

x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}

y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}

z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}

где к координатам применяются следующие ограничения

-\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.

Следовательно, поверхности постоянной $\lambda$ эллипсоиды

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,

тогда как поверхности постоянной $\mu$ являются гиперболоидами одного листа

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,

потому что последний член в левой части отрицательный, а поверхности постоянных $\nu$ являются гиперболоидами двух листов

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1

потому что последние два члена слева отрицательны.

Ортогональная система квадрик, используемая для эллипсоидальных координат, представляет собой софокусные квадрики .

Масштабные коэффициенты и дифференциальные операторы

Для краткости в приведенных ниже уравнениях введем функцию

S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)

где $\sigma$ может представлять любую из трех переменных $(\lambda ,\mu ,\nu )$ . Используя эту функцию, масштабные коэффициенты можно записать

h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}

Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu

а лапласиан определяется формулой

{\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \cdot \mathbf {F}$ и $\nabla \times \mathbf {F}$ можно выразить в координатах $(\lambda ,\mu ,\nu )$ путем подстановки масштабных коэффициентов в общие формулы, найденные в ортогональных координатах .

Угловая параметризация

Существует альтернативная параметризация, которая точно соответствует угловой параметризации сферических координат : ^[1]

x=as\sin \theta \cos \phi ,

y=bs\sin \theta \sin \phi ,

z=cs\cos \theta .

Здесь, $s>0$ параметризует концентрические эллипсоиды вокруг начала координат и $\theta \in [0,\pi ]$ и $\phi \in [0,2\pi ]$ – обычные полярный и азимутальный углы сферических координат соответственно. Соответствующий элемент объема

dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .

См. также

Эллипсоидальная широта
Фокалоид (оболочка, заданная двумя координатными поверхностями)
Картографическая проекция трехосного эллипсоида

Ссылки

^ «Эллипсоидный квадрупольный момент» .

Библиография

Морс ПМ, Фешбах Х (1953). Методы теоретической физики . Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 663.
Цвиллингер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ИСБН 0-86720-293-9 .
Зауэр Р., Сабо I (1967). Математический инструментарий инженера . Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 101–102. LCCN67025285 .
Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 176 . LCCN 59014456 .
Маргенау Х., Мерфи GM (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 178–180 . LCCN 55010911 .
Мун П.Х., Спенсер Д.Э. (1988). «Эллипсоидальные координаты (η, θ, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е, 3-е печатные изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 40–44 (табл. 1.10). ISBN 0-387-02732-7 .

Необычная конвенция

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. (1984). Электродинамика сплошных сред (Том 8 курса теоретической физики ) (2-е изд.). Нью-Йорк: Пергамон Пресс. стр. 19–29. ISBN 978-0-7506-2634-7 . Использует координаты (ξ, η, ζ), в которых единицы расстояния приведены в квадрате.

Внешние ссылки

Описание MathWorld конфокальных эллипсоидных координат

[1] «Эллипсоидный квадрупольный момент» .

[1]