График Маккея

Аффинные (расширенные) диаграммы Дынкина

В математике граф Маккея конечномерного представления $V$ конечной группы $G$ взвешенный колчан, структуру теории представлений G. $кодирующий$ представляет собой представляет неприводимое представление $G.$ Каждый узел Если $χ i, χ j$ — неприводимые представления группы $G$ , то существует стрелка от $χ i$ к $χ j$ тогда и только тогда, когда $χ j$ является составной частью тензорного произведения $V\otimes \chi _{i}.$ Тогда вес $n ij — это количество раз, которое эта составляющая появляется в$ стрелки $V\otimes \chi _{i}.$ Для конечных подгрупп $H$ группы ⁠ ${\text{GL}}(2,\mathbb {C} ),$ ⁠ граф Маккея $H$ — это граф Маккея определяющего двумерного представления $H$ .

Если $G$ имеет $n$ неприводимых характеров, то матрица Картана $c V$ представления $V$ размерности $d$ определяется формулой $c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},$ где $δ$ — дельта Кронекера . Результат Роберта Стейнберга гласит, что если $является$ представителем класса сопряженности G $g$ , то векторы $((\chi _{i}(g))_{i}$ являются собственными векторами $c V$ собственных значений $d-\chi _{V}(g),$ где $χ V$ — характер представления $V$ . ^[1]

Соответствие Маккея, названное в честь Джона Маккея , утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между графами Маккея конечных подгрупп ⁠ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ⁠ и расширенные диаграммы Дынкина , которые появляются в классификации ADE простых алгебр Ли . ^[2]

Определение

Пусть $G$ — конечная группа, $V$ — представление G $.$ и $х$ — ее характер Позволять $\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{d}\}$ — неприводимые представления $G$ . Если

V\otimes \chi _{i}=\sum _{j}n_{ij}\chi _{j},

затем определите граф Маккея $Γ G$ группы $G$ относительно $V$ следующим образом:

Каждое неприводимое представление $G$ соответствует узлу в $Γ G$ .
Если $n ij > 0$ , существует стрелка от $χ i$ к $χ j$ веса $n ij$ , записанная как $\chi _{i}\xrightarrow {n_{ij}} \chi _{j},$ или иногда в виде $немаркированных стрелок n ij$ .
Если $n_{ij}=n_{ji},$ мы обозначаем две противоположные стрелки между $χ i, χ j$ как ненаправленное ребро веса $n ij$ . Более того, если $n_{ij}=1,$ мы опускаем метку веса.

Мы можем вычислить значение $n ij,$ используя внутренний продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ по персонажам :

n_{ij}=\langle V\otimes \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}V(g)\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}.

Граф Маккея конечной подгруппы ⁠ ${\text{GL}}(2,\mathbb {C} )$ ⁠ определяется как граф Маккея его канонического представления.

Для конечных подгрупп ⁠ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),$ ⁠ каноническое представление на ⁠ $\mathbb {C} ^{2}$ ⁠ самодвойственен, поэтому $n_{ij}=n_{ji}$ для всех $i, j$ . Таким образом, граф Маккея конечных подгрупп группы ⁠ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ⁠ является ненаправленным.

Фактически, согласно соответствию Маккея, существует взаимно однозначное соответствие между конечными подгруппами ⁠ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ⁠ и расширенные диаграммы Кокстера-Динкина типа ADE.

Определим матрицу Картана $c V$ группы $V$ следующим образом:

c_{V}=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},

где $δij Кронекера$ — дельта .

Некоторые результаты

Если представление $V$ точное, то каждое неприводимое представление содержится в некоторой тензорной степени $V^{\otimes k},$ и граф Маккея $V$ связен.
Граф Маккея конечной подгруппы ⁠ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ⁠ не имеет петель, то есть $n_{ii}=0$ для всех $я$ .
Стрелки графа Маккея конечной подгруппы ⁠ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ⁠ все имеют вес один.

Примеры

Предположим, что $G = A \times B$ и существуют канонические неприводимые представления $c A, c B$ групп $A, B$ соответственно. Если $χ i, i = 1, \dots, k$ , являются неприводимыми представлениями $A$ и $ψ j, j = 1, \dots, ℓ$ , являются неприводимыми представлениями $B$ , то

\chi _{i}\times \psi _{j}\quad 1\leq i\leq k,\,\,1\leq j\leq \ell

— неприводимые представления

A \times B

, где

\chi _{i}\times \psi _{j}(a,b)=\chi _{i}(a)\psi _{j}(b),(a,b)\in A\times B.

В этом случае мы имеем

\langle (c_{A}\times c_{B})\otimes (\chi _{i}\times \psi _{\ell }),\chi _{n}\times \psi _{p}\rangle =\langle c_{A}\otimes \chi _{k},\chi _{n}\rangle \cdot \langle c_{B}\otimes \psi _{\ell },\psi _{p}\rangle .

Следовательно, на графике Маккея группы

G

между

\chi _{i}\times \psi _{j}

и

\chi _{k}\times \psi _{\ell }

есть стрелка

тогда и только тогда, когда в графе Маккея A

между

χ i, χ k

есть стрелка

, а в графе Маккея B

между

ψ j, ψ ℓ

. В этом случае вес стрелки в графе Маккея графа

G

является произведением весов двух соответствующих стрелок в графах Маккея

A

и

B

.

Феликс Кляйн доказал, что конечные подгруппы ⁠ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ⁠ — бинарные группы многогранников; все сопряжены подгруппам ⁠ ${\text{SU}}(2,\mathbb {C} ).$ ⁠ Соответствие Маккея утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между графами Маккея этих бинарных многогранных групп и расширенными диаграммами Дынкина. Например, бинарная тетраэдрическая группа ${\overline {T}}$ генерируется ⁠ ${\text{SU}}(2,\mathbb {C} )$ ⁠ матрицы:

S=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ \ V=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ \ U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &\varepsilon ^{3}\\\varepsilon &\varepsilon ^{7}\end{array}}\right),

где

ε

— примитивный корень восьмой степени из единицы. На самом деле, у нас есть

{\overline {T}}=\{U^{k},SU^{k},VU^{k},SVU^{k}\mid k=0,\ldots ,5\}.

Классы сопряжения

{\overline {T}}

являются:

C_{1}=\{U^{0}=I\},

C_{2}=\{U^{3}=-I\},

C_{3}=\{\pm S,\pm V,\pm SV\},

C_{4}=\{U^{2},SU^{2},VU^{2},SVU^{2}\},

C_{5}=\{-U,SU,VU,SVU\},

C_{6}=\{-U^{2},-SU^{2},-VU^{2},-SVU^{2}\},

C_{7}=\{U,-SU,-VU,-SVU\}.

Таблица символов

{\overline {T}}

является

Классы сопряженности	$C_{1}$	$C_{2}$	$C_{3}$	$C_{4}$	$C_{5}$	$C_{6}$	$C_{7}$
$\chi _{1}$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi _{2}$	$1$	$1$	$1$	$\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega$	$\omega ^{2}$
$\chi _{3}$	$1$	$1$	$1$	$\omega ^{2}$	$\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega$
$\chi _{4}$	$3$	$3$	$-1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$c$	$2$	$-2$	$0$	$-1$	$-1$	$1$	$1$
$\chi _{5}$	$2$	$-2$	$0$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$\omega$	$\omega ^{2}$
$\chi _{6}$	$2$	$-2$	$0$	$-\omega ^{2}$	$-\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega$

Здесь

\omega =e^{2\pi i/3}.

Каноническое представление

V

здесь обозначается через

c

. Используя внутренний продукт, мы находим, что график Маккея

{\overline {T}}

представляет собой расширенную диаграмму Кокстера–Динкина типа

{\tilde {E}}_{6}.

См. также

Ссылки

^ Стейнберг, Роберт (1985), "Подгруппы $SU_{2}$ , Диаграммы Дынкина и аффинные элементы Кокстера», Pacific Journal of Mathematics , 18 : 587–598, doi : 10.2140/pjm.1985.118.587
^ Маккей, Джон (1982), «Представления и графы Кокстера», «Геометрическая жилка», Coxeter Festschrift , Берлин: Springer-Verlag

Дальнейшее чтение

Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7
Джеймс, Гордон; Либек, Мартин (2001), Представления и характеры групп (2-е изд.) , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00392-Х
Кляйн, Феликс (1884), «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени», Тойбнер , Лейбниц
Маккей, Джон (1980), «Графы, особенности и конечные группы», Proc. Симп. Чистая математика. , Труды симпозиумов по чистой математике, 37 , амер. Математика. Соц.: 183–186, номер документа : 10.1090/pspum/037/604577 , ISBN. 9780821814406
Рименшнейдер, Освальд (2005), Соответствие Маккея для фактор-особенностей поверхности , Особенности в геометрии и топологии, Труды летней школы и семинара по сингулярностям в Триесте, стр. 483–519

[1] Стейнберг, Роберт (1985), "Подгруппы $SU_{2}$ , Диаграммы Дынкина и аффинные элементы Кокстера», Pacific Journal of Mathematics , 18 : 587–598, doi : 10.2140/pjm.1985.118.587

[2] Маккей, Джон (1982), «Представления и графы Кокстера», «Геометрическая жилка», Coxeter Festschrift , Берлин: Springer-Verlag

[1]

[2]