Амеба (математика)

Амеба из $P(z,w)=3z^{2}+5zw+w^{3}+1.$ Обратите внимание на « вакуоль » в середине амебы.

Амеба из $P(z,w)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{2}w^{3}+10zw+12z^{2}w+10z^{2}w^{2}.$

{\displaystyle P(z,w)=50z^{3}+83z^{2}w+24zw^{2}+w^{3}+392z^{2}+414zw+50w^{2}-28z +59w-100.} — Амеба из $P(z,w)=50z^{3}+83z^{2}w+24zw^{2}+w^{3}+392z^{2}+414zw+50w^{2}-28z+59w-100.$

В комплексном анализе , разделе математики , амеба представляет собой набор , связанный с полиномом от одной или нескольких комплексных переменных . Амебы имеют приложения в алгебраической геометрии , особенно в тропической геометрии .

Определение

Рассмотрим функцию

\operatorname {Log} :{\big (}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}{\big )}^{n}\to \mathbb {R} ^{n}

определенный на множестве всех n - кортежей $z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})$ ненулевых комплексных чисел со значениями в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n},$ заданной формулой

\operatorname {Log} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\big (}\log |z_{1}|,\log |z_{2}|,\dots ,\log |z_{n}|{\big )}.

Здесь log обозначает натуральный логарифм . Если p ( z ) является полиномом от $n$ комплексные переменные, это амеба ${\mathcal {A}}_{p}$ определяется как образ множества нулей p под журналом, поэтому

{\mathcal {A}}_{p}=\left\{\operatorname {Log} (z):z\in {\big (}\mathbb {C} \setminus \{0\}{\big )}^{n},p(z)=0\right\}.

Амебы были представлены в 1994 году в книге Гельфанда , Капранова и Зелевинского . ^[1]

Характеристики

Позволять $V\subset (\mathbb {C} ^{*})^{n}$ быть нулевым локусом многочлена

f(z)=\sum _{j\in A}a_{j}z^{j}

где $A\subset \mathbb {Z} ^{n}$ конечно, $a_{j}\in \mathbb {C}$ и $z^{j}=z_{1}^{j_{1}}\cdots z_{n}^{j_{n}}$ если $z=(z_{1},\dots ,z_{n})$ и $j=(j_{1},\dots ,j_{n})$ . Позволять $\Delta _{f}$ быть Ньютона многогранником $f$ , то есть,

\Delta _{f}={\text{Convex Hull}}\{j\in A\mid a_{j}\neq 0\}.

Затем

Любая амеба представляет собой замкнутое множество .
Любой связный дополнения компонент $\mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}$ является выпуклым . ^[2]
Площадь амебы нетождественно нулевого многочлена от двух комплексных переменных конечна.
Двумерная амеба имеет ряд «щупалец», бесконечно длинных и экспоненциально суженных к бесконечности.
Количество связных компонентов дополнения $\mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}$ не больше, чем $\#(\Delta _{f}\cap \mathbb {Z} ^{n})$ и не менее числа вершин $\Delta _{f}$ . ^[2]
Происходит инъекция из множества связных компонентов комплемента. $\mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}$ к $\Delta _{f}\cap \mathbb {Z} ^{n}$ . Вершины $\Delta _{f}$ находятся на изображении под этой инъекцией. Связный компонент дополнения $\mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}$ ограничен тогда и только тогда, когда его образ находится внутри $\Delta _{f}$ . ^[2]
Если $V\subset (\mathbb {C} ^{*})^{2}$ , то площадь ${\mathcal {A}}_{p}(V)$ не больше, чем $\pi ^{2}{\text{Area}}(\Delta _{f})$ . ^[2]

Функция Ронкина

Полезным инструментом при изучении амеб является функция Ронкина . Для p ( z ), полинома от n комплексных переменных, определяется функция Ронкина

N_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}

по формуле

N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\operatorname {Log} ^{-1}(x)}\log |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac {dz_{2}}{z_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},

где $x$ обозначает $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$ Эквивалентно, $N_{p}$ определяется интегралом

N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},

где

z=\left(e^{x_{1}+i\theta _{1}},e^{x_{2}+i\theta _{2}},\dots ,e^{x_{n}+i\theta _{n}}\right).

Функция Ронкина выпукла и аффинна на каждой компоненте связности дополнения амебы $p(z)$ . ^[3]

Например, функция Ронкина монома

p(z)=az_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\dots z_{n}^{k_{n}}

с $a\neq 0$ является

N_{p}(x)=\log |a|+k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}.

Ссылки

^ Гельфанд, ИМ ; Капранов М.М.; Зелевинский, А.В. (1994). Дискриминанты, результанты и многомерные определители . Математика: теория и приложения. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. ISBN 0-8176-3660-9 . Збл 0827.14036 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Итенберг и др. (2007), с. 3.
^ Гросс, Марк (2004). «Амебы сложных кривых и тропических кривых». В Госте, Мартин (ред.). Зимняя школа Великобритании и Японии 2004 г. — Геометрия и анализ на пути к квантовой теории. Конспекты лекций школы Даремского университета, Дарем, Великобритания, 6–9 января 2004 г. Семинар по математическим наукам. Том. 30. Иокогама: Университет Кейо, математический факультет. стр. 24–36. Збл 1083.14061 .

Итенберг, Илья; Михалкин, Григорий; Шустин, Евгений (2007). Тропическая алгебраическая геометрия . Семинары в Обервольфахе. Том. 35. Базель: Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-8309-1 . Артикул 1162.14300 .
Виро, Олег (2002), «Что такое... амеба?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 49 (8): 916–917 .

Дальнейшее чтение

Теобальд, Торстен (2002). «Вычислительные амебы» . Эксп. Математика . 11 (4): 513–526. дои : 10.1080/10586458.2002.10504703 . Збл 1100.14048 .

Внешние ссылки

Амебы алгебраических многообразий

[1] Гельфанд, ИМ ; Капранов М.М.; Зелевинский, А.В. (1994). Дискриминанты, результанты и многомерные определители . Математика: теория и приложения. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. ISBN 0-8176-3660-9 . Збл 0827.14036 .

[IMS3-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Итенберг и др. (2007), с. 3.

[3] Гросс, Марк (2004). «Амебы сложных кривых и тропических кривых». В Госте, Мартин (ред.). Зимняя школа Великобритании и Японии 2004 г. — Геометрия и анализ на пути к квантовой теории. Конспекты лекций школы Даремского университета, Дарем, Великобритания, 6–9 января 2004 г. Семинар по математическим наукам. Том. 30. Иокогама: Университет Кейо, математический факультет. стр. 24–36. Збл 1083.14061 .

[1]

[2]

[3]