Теория когомологий Вейля

В алгебраической геометрии когомологии Вейля или теория когомологий Вейля — это когомологии, удовлетворяющие определенным аксиомам, касающимся взаимодействия алгебраических циклов и групп когомологий. Название в честь Андре Вейля . Любая теория когомологий Вейля однозначно учитывает категорию мотивов Чоу , но сама категория мотивов Чоу не является теорией когомологий Вейля, поскольку она не является абелевой категорией .

Определение [ править ]

Зафиксируйте базовое поле k произвольной характеристики и «поле коэффициентов» K нулевой характеристики. Теория когомологий Вейля - это контравариантный функтор.

H^{*}:\{{\text{smooth projective varieties over }}k\}\longrightarrow \{{\text{graded }}K{\text{-algebras}}\}

удовлетворяющее приведенным ниже аксиомам. Для каждого гладкого алгебраического многообразия X размерности n над k градуированная K -алгебра проективного

H^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{i}H^{i}(X)

требуется удовлетворить следующее:

$H^{i}(X)$ является конечномерным K - векторным пространством для каждого целого числа i .

$H^{i}(X)=0$ для каждого i < 0 или i > 2 n .

$H^{2n}(X)$ изоморфно K (так называемое отображение ориентации).

Двойственность Пуанкаре : существует идеальное спаривание

H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K.

Существует канонический Кюннета изоморфизм

H^{*}(X)\otimes H^{*}(Y)\to H^{*}(X\times Y).

Для каждого целого числа r существует карта цикла, определенная в группе $Z^{r}(X)$ алгебраических циклов коразмерности r на X ,

\gamma _{X}:Z^{r}(X)\to H^{2r}(X),

удовлетворяющий определенным условиям совместимости относительно функториальности H и изоморфизма Кюннета. Если X точка, отображением цикла должно быть включение Z ⊂ K. —

Слабая аксиома Лефшеца : для любой гладкой гиперплоскости j : W ⊂ X (т. е. W = X ∩ H , H — некоторая гиперплоскость в объемлющем проективном пространстве) отображения

j^{*}:H^{i}(X)\to H^{i}(W)

являются изоморфизмами для

i\leqslant n-2

и инъекции для

i\leqslant n-1.

Жесткая аксиома Лефшеца : пусть W — гиперплоское сечение и $w=\gamma _{X}(W)\in H^{2}(X)$ быть его изображением под картой классов цикла. Оператор Лефшеца определяется как

{\begin{cases}L:H^{i}(X)\to H^{i+2}(X)\\x\mapsto x\cdot w,\end{cases}}

где точка обозначает произведение в алгебре

H^{*}(X).

Затем

L^{i}:H^{n-i}(X)\to H^{n+i}(X)

является изоморфизмом для i = 1, ..., n .

Примеры [ править ]

Существует четыре так называемые классические теории когомологий Вейля:

сингулярные (= Бетти) когомологии , рассматривающие многообразия над C как топологические пространства, используя их аналитическую топологию (см. GAGA ),

когомологии де Рама над базовым полем нулевой характеристики : над C, определяемым дифференциальными формами и вообще с помощью комплекса кэлеровых дифференциалов (см. алгебраические когомологии де Рама ),

$\ell$ -адические когомологии для многообразий над полями характеристики, отличной от $\ell$ ,

кристаллические когомологии .

Доказательства аксиом когомологий Бетти и когомологий де Рама сравнительно просты и классичны. Для $\ell$ Например, в -адических когомологиях большинство из вышеперечисленных свойств являются глубокими теоремами.

Исчезновение групп когомологий Бетти, превышающих размерность в два раза, ясно из того факта, что (комплексное) многообразие комплексной размерности n имеет действительную размерность 2 n , поэтому эти высшие группы когомологий исчезают (например, путем сравнения их с симплициальными (ко)гомологиями ). .

Карта цикла де Рама также имеет простое объяснение: учитывая подмногообразие Y комплексной коразмерности r в полном многообразии X комплексной размерности n , действительная размерность Y равна 2 n −2 r , поэтому можно проинтегрировать любое дифференциальная (2 n −2 r )-форма вдоль Y для получения комплексного числа . Это индуцирует линейный функционал $\textstyle \int _{Y}\colon \;H_{\text{dR}}^{2n-2r}(X)\to \mathbf {C}$ . Согласно двойственности Пуанкаре, дать такой функционал эквивалентно заданию элемента $H_{\text{dR}}^{2r}(X)$ ; этот элемент является изображением Y на карте цикла.

См. также [ править ]

Основы алгебраической геометрии

Ссылки [ править ]

Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: Wiley, doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523 (содержит доказательства всех аксиом когомологий Бетти и де-Рама)
Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7 (то же самое для l -адических когомологий)
Клейман, С.Л. (1968), «Алгебраические циклы и гипотезы Вейля», Десять лекций по когомологиям схем , Амстердам: Северная Голландия, стр. 359–386, МР 0292838