Теория когомологий Вейля
В алгебраической геометрии когомологии Вейля или теория когомологий Вейля — это когомологии, удовлетворяющие определенным аксиомам, касающимся взаимодействия алгебраических циклов и групп когомологий. Название в честь Андре Вейля . Любая теория когомологий Вейля однозначно учитывает категорию мотивов Чоу , но сама категория мотивов Чоу не является теорией когомологий Вейля, поскольку она не является абелевой категорией .
Определение [ править ]
Зафиксируйте базовое поле k произвольной характеристики и «поле коэффициентов» K нулевой характеристики. Теория когомологий Вейля - это контравариантный функтор.
удовлетворяющее приведенным ниже аксиомам. Для каждого гладкого алгебраического многообразия X размерности n над k градуированная K -алгебра проективного
требуется удовлетворить следующее:
- является конечномерным K - векторным пространством для каждого целого числа i .
- для каждого i < 0 или i > 2 n .
- изоморфно K (так называемое отображение ориентации).
- Двойственность Пуанкаре : существует идеальное спаривание
- Существует канонический Кюннета изоморфизм
- Для каждого целого числа r существует карта цикла, определенная в группе алгебраических циклов коразмерности r на X ,
- удовлетворяющий определенным условиям совместимости относительно функториальности H и изоморфизма Кюннета. Если X точка, отображением цикла должно быть включение Z ⊂ K. —
- Слабая аксиома Лефшеца : для любой гладкой гиперплоскости j : W ⊂ X (т. е. W = X ∩ H , H — некоторая гиперплоскость в объемлющем проективном пространстве) отображения
- являются изоморфизмами для и инъекции для
- Жесткая аксиома Лефшеца : пусть W — гиперплоское сечение и быть его изображением под картой классов цикла. Оператор Лефшеца определяется как
- где точка обозначает произведение в алгебре Затем
- является изоморфизмом для i = 1, ..., n .
Примеры [ править ]
Существует четыре так называемые классические теории когомологий Вейля:
- сингулярные (= Бетти) когомологии , рассматривающие многообразия над C как топологические пространства, используя их аналитическую топологию (см. GAGA ),
- когомологии де Рама над базовым полем нулевой характеристики : над C, определяемым дифференциальными формами и вообще с помощью комплекса кэлеровых дифференциалов (см. алгебраические когомологии де Рама ),
- -адические когомологии для многообразий над полями характеристики, отличной от ,
Доказательства аксиом когомологий Бетти и когомологий де Рама сравнительно просты и классичны. Для Например, в -адических когомологиях большинство из вышеперечисленных свойств являются глубокими теоремами.
Исчезновение групп когомологий Бетти, превышающих размерность в два раза, ясно из того факта, что (комплексное) многообразие комплексной размерности n имеет действительную размерность 2 n , поэтому эти высшие группы когомологий исчезают (например, путем сравнения их с симплициальными (ко)гомологиями ). .
Карта цикла де Рама также имеет простое объяснение: учитывая подмногообразие Y комплексной коразмерности r в полном многообразии X комплексной размерности n , действительная размерность Y равна 2 n −2 r , поэтому можно проинтегрировать любое дифференциальная (2 n −2 r )-форма вдоль Y для получения комплексного числа . Это индуцирует линейный функционал . Согласно двойственности Пуанкаре, дать такой функционал эквивалентно заданию элемента ; этот элемент является изображением Y на карте цикла.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: Wiley, doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523 (содержит доказательства всех аксиом когомологий Бетти и де-Рама)
- Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7 (то же самое для l -адических когомологий)
- Клейман, С.Л. (1968), «Алгебраические циклы и гипотезы Вейля», Десять лекций по когомологиям схем , Амстердам: Северная Голландия, стр. 359–386, МР 0292838