Скрещенный модуль

В математике , и особенно в теории гомотопий , скрещенный модуль состоит из групп $G$ и $H$ , где $G$ действует на $H$ автоморфизмами ( которые мы будем писать слева, $(g,h)\mapsto g\cdot h$ и гомоморфизм групп

d\colon H\longrightarrow G,

эквивариантно относительно сопряжения действия $G$ на себе:

d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}

а также удовлетворяет так называемому тождеству Пайффера :

d(h_{1})\cdot h_{2}=h_{1}h_{2}h_{1}^{-1}

Происхождение [ править ]

Первое упоминание о втором тождестве для скрещенного модуля, по-видимому, находится в сноске 25 на стр. 422 статьи Дж. Х. Уайтхеда 1941 года, цитируемой ниже, а термин «скрещенный модуль» введен в его статье 1946 года, цитируемой ниже. Эти идеи были хорошо развиты в его статье 1949 года «Комбинаторная гомотопия II», в которой также была представлена важная идея свободно скрещенного модуля. Идеи Уайтхеда о скрещенных модулях и их приложениях развиты и объяснены в книге Брауна, Хиггинса, Сивера, указанной ниже. Некоторые обобщения идеи скрещенного модуля объяснены в статье Джанелидзе.

Примеры [ править ]

Позволять $N$ быть нормальной подгруппой группы $G$ . Тогда включение

d\colon N\longrightarrow G

представляет собой скрещенный модуль с действием сопряжения $G$ на $N$ .

Для любой группы модулями G над групповым кольцом являются скрещенные G -модули с d = 0.

Для любой группы H гомоморфизм из H в Aut( H ), переводящий любой элемент H в соответствующий внутренний автоморфизм, является скрещенным модулем.

Учитывая любое центральное расширение групп

1\to A\to H\to G\to 1\!

сюръективный гомоморфизм

d\colon H\to G\!

вместе с действием $G$ на $H$ определяет скрещенный модуль. Таким образом, центральные расширения можно рассматривать как особые скрещенные модули. И наоборот, скрещенный модуль с сюръективной границей определяет центральное расширение.

Если ( X , A , x ) — точечная пара топологических пространств (т. е. $A$ является подпространством $X$ , и $x$ это точка в $A$ ), то гомотопическая граница

d\colon \pi _{2}(X,A,x)\rightarrow \pi _{1}(A,x)\!

от второй относительной гомотопической группы к фундаментальной группе может быть задана структура скрещенного модуля. Функтор

\Pi \colon ({\text{pairs of pointed spaces}})\rightarrow ({\text{crossed modules}})

удовлетворяет форме теоремы Ван Кампена в том смысле, что сохраняет определенные копределы.

Результат по скрещенному модулю пары можно также сформулировать так: если

F\rightarrow E\rightarrow B\!

является точечным расслоением пространств, то индуцированное отображение фундаментальных групп

d\colon \pi _{1}(F)\rightarrow \pi _{1}(E)\!

может быть задана структура скрещенного модуля. Этот пример полезен в алгебраической K-теории . Существуют версии этого факта с более высокой размерностью, использующие n -кубов пространств.

Эти примеры позволяют предположить, что скрещенные модули можно рассматривать как «двумерные группы». Фактически, эту идею можно уточнить с помощью теории категорий . Можно показать, что скрещенный модуль по существу то же самое, что категориальная группа или 2-группа : то есть групповой объект в категории категорий или, что то же самое, объект категории в категории групп. Это означает, что понятие скрещенного модуля является одной из версий результата смешения понятий «группа» и «категория». Эта эквивалентность важна для многомерных версий групп.

Классификационное пространство [ править ]

Любой скрещенный модуль

M=(d\colon H\longrightarrow G)\!

имеет классифицирующее пространство BM со свойством, что его гомотопическими группами являются Coker d в размерности 1, Ker d в размерности 2 и 0 в размерностях выше 2. Можно описать гомотопические классы отображений CW -комплекса в BM. . Это позволяет доказать, что (заостренные, слабые) гомотопические 2-типы полностью описываются скрещенными модулями.

Внешние ссылки [ править ]

Баэз, Дж.; Лауда, А. (2003). «Многомерная алгебра V: 2-группы». arXiv : math.QA/0307200 .
Браун, Р. (1999). «Группоиды и скрещенные объекты в алгебраической топологии» (PDF) . Гомология, гомотопия и приложения . 1 (1): 1–78. дои : 10.4310/HHA.1999.v1.n1.a1 .
Браун, Р. (1982). «Теория групп многомерности». Низкомерная топология . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 48. Издательство Кембриджского университета. стр. 215–240. ISBN 978-0-521-28146-1 .
Браун, Р.; Хиггинс, П.Дж.; Сивера, Р. (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды . EMS Трактаты по математике. Том. 15. arXiv : math/0407275 . дои : 10.4171/083 . ISBN 978-3-03719-583-3 .
Форрестер-Баркер, М. (2002). «Групповые объекты и внутренние категории». arXiv : математика/0212065 .
Нухи, Беранг (2007). «Заметки о 2-группоидах, 2-группах и скрещенных модулях». Гомология, гомотопия и приложения . 9 (1): 75–106. arXiv : math.CT/0512106 . дои : 10.4310/HHA.2007.v9.n1.a3 . S2CID 13604037 .
скрещенный модуль в n лаборатории

Ссылки [ править ]

Уайтхед, JHC (1941). «О добавлении отношений к гомотопическим группам». Энн. математики . 42 (2): 409–428. дои : 10.2307/1968907 . JSTOR 1968907 .
Уайтхед, JHC (1946). «Примечание к предыдущей статье, озаглавленной «О добавлении отношений к гомотопическим группам» . Энн. математики . 47 (2): 806–810. дои : 10.2307/1969237 . JSTOR 1969237 .
Уайтхед, JHC (1949). «Комбинаторная гомотопия. II» . Бык. амер. Математика. Соц . 55 (5): 453–496. дои : 10.1090/S0002-9904-1949-09213-3 .
Джанелидзе, Г. (2003). «Внутренние скрещенные модули». Грузинская математика. Дж . 10 (1): 99–114. дои : 10.1515/GMJ.2003.99 . S2CID 125311722 .