Дифференциальная оценочная категория

В математике , особенно в гомологической алгебре , дифференциально-градуированная категория , часто сокращаемая до dg-категории или DG-категории , — это категория , множества морфизмов которой наделены дополнительной структурой дифференциально-градуированной категории. $\mathbb {Z}$-модуль .

В деталях это означает, что $\operatorname {Hom} (A,B)$, морфизмы любого объекта A в другой объект B категории представляют собой прямую сумму

$\bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }\operatorname {Hom} _{n}(A,B)$

существует дифференциал d и на этой градуированной группе , т. е. для каждого n существует линейное отображение

$d\colon \operatorname {Hom} _{n}(A,B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{n+1}(A,B)$,

который должен удовлетворить $d\circ d=0$. Это эквивалентно тому, что $\operatorname {Hom} (A,B)$ представляет собой коцепной комплекс . Более того, композиция морфизмов $\operatorname {Hom} (A,B)\otimes \operatorname {Hom} (B,C)\rightarrow \operatorname {Hom} (A,C)$ требуется карта комплексов, а для всех объектов А категории требуется $d(\operatorname {id} _{A})=0$.

Примеры

• Любую аддитивную категорию можно рассматривать как DG-категорию, если наложить тривиальную градуировку (т.е. все $\mathrm {Hom} _{n}(-,-)$ исчезнуть для $n\neq 0$) и тривиальный дифференциал ( $d=0$).
• Чуть более изощренной является категория комплексов. $C({\mathcal {A}})$ над аддитивной категорией ${\mathcal {A}}$. По определению, $\operatorname {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)$ это группа карт $A\rightarrow B[n]$ которым не обязательно соблюдать дифференциалы комплексов A и B , т. е.

$\mathrm {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)=\prod _{l\in \mathbb {Z} }\mathrm {Hom} (A_{l},B_{l+n})$.

Дифференциал такого морфизма $f=(f_{l}\colon A_{l}\rightarrow B_{l+n})$ степени n определяется как

$f_{l+1}\circ d_{A}+(-1)^{n+1}d_{B}\circ f_{l}$,

где $d_{A},d_{B}$ являются дифференциалами A и B соответственно. Это относится к категории комплексов квазикогерентных пучков на схеме над кольцом .

• DG-категория с одним объектом аналогична DG-кольцу. DG-кольцо над полем называется DG-алгеброй или дифференциально-градуированной алгеброй .

Дальнейшие свойства

Категория малых dg-категорий может быть наделена такой модельной структурой категорий , что слабыми эквивалентностями являются те функторы, которые индуцируют эквивалентность производных категорий .

Для dg-категории C над некоторым кольцом R существует понятие гладкости и правильности C которое сводится к обычным понятиям гладких и собственных морфизмов в случае, когда C — категория квазикогерентных пучков на некоторой схеме X над R. ,

Связь с триангулированными категориями

Категория C DG называется предварительно триангулированной, если она имеет функтор подвески. $\Sigma$ и класс выделенных треугольников, совместимых снадстройка, такая, что ее гомотопическая категория Ho( C ) является триангулированной категорией . триангулированная категория T Говорят, что имеет dg-расширение C, если C — предтриангулированная dg-категория, гомотопическая категория которой эквивалентна T . dg улучшения точного функтора между триангулированными категориями определяются аналогично. В общем, не обязательно должны существовать dg-расширения триангулированных категорий или функторов между ними, например, можно показать, что стабильная гомотопическая категория не возникает из dg-категории таким образом. Однако существуют различные положительные результаты, например, производная категория D ( A ) абелевой категории Гротендика A допускает уникальное расширение dg.

См. также

• Дифференциальная алгебра
• Оценка (математика)
• Оцененная категория
• Дериватор

Ссылки

• Келлер, Бернхард (1994), «Вывод категорий DG», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033/asens.1689 , ISSN   0012-9593 , MR   1258406

Внешние ссылки

• dg-категория в nLab