Категория Гротендика

В математике категория Гротендика — это определенный вид абелевой категории , введенный в статье Александра Гротендика « Тохоку» 1957 года. ^[1] разработки аппарата гомологической алгебры для модулей и пучков с целью унифицированной . Теория этих категорий получила дальнейшее развитие в Пьера Габриэля в 1962 году. основополагающей диссертации ^[2]

Каждому алгебраическому многообразию $V$ можно связать категорию Гротендика $\operatorname {Qcoh} (V)$ , состоящий из квазикогерентных пучков на $V$ . Эта категория кодирует всю соответствующую геометрическую информацию о $V$ , и $V$ можно восстановить из $\operatorname {Qcoh} (V)$ ( теорема восстановления Габриэля-Розенберга ). Этот пример порождает один из подходов к некоммутативной алгебраической геометрии : тогда изучение «некоммутативных многообразий» представляет собой не что иное, как изучение (определенных) категорий Гротендика. ^[3]

Определение

По определению категория Гротендика ${\mathcal {A}}$ это категория AB5 с генератором . Прописано, это означает, что

${\mathcal {A}}$ — абелева категория ;
каждое (возможно, бесконечное) семейство объектов в ${\mathcal {A}}$ имеет копроизведение (также известное как прямая сумма) в ${\mathcal {A}}$ ;
прямые пределы коротких точных последовательностей точны; это означает, что если прямая система коротких точных последовательностей в ${\mathcal {A}}$ задана, то индуцированная последовательность прямых пределов также является короткой точной последовательностью. (Прямые пределы всегда точны справа ; важным моментом здесь является то, что мы требуем, чтобы они были точны и слева .) также
${\mathcal {A}}$ обладает генератором, т.е. существует объект $G$ в ${\mathcal {A}}$ такой, что $\operatorname {Hom} (G,-)$ является точным функтором из ${\mathcal {A}}$ в категорию наборов . (В нашей ситуации это равносильно тому, что каждый объект $X$ из ${\mathcal {A}}$ допускает эпиморфизм $G^{(I)}\rightarrow X$ , где $G^{(I)}$ обозначает прямую сумму копий $G$ , по одному на каждый элемент (возможно, бесконечного) множества $I$ .)

Название «Категория Гротендика» не появлялось в статье Гротендика в Тохоку. ^[1] ни в диссертации Габриэля; ^[2] он стал использоваться во второй половине 1960-х годов в работах нескольких авторов, в том числе Яна-Эрика Рооса, Бо Стенстрема, Ульриха Оберста и Бодо Парейгиса. (Некоторые авторы используют другое определение, поскольку им не требуется наличие генератора.)

Примеры

Прототипическим примером категории Гротендика является категория абелевых групп ; абелева группа $\mathbb {Z}$ целых чисел может служить генератором.
В более общем случае, учитывая любое кольцо $R$ (ассоциативный, с $1$ , но не обязательно коммутативна), категория $\operatorname {Mod} (R)$ всех правых (или альтернативно: левых) модулей над $R$ – категория Гротендика; $R$ сам по себе может служить генератором.
Учитывая топологическое пространство $X$ , категория всех пучков абелевых групп на $X$ является категорией Гротендика. ^[1] (В более общем плане: категория всех пучков правых $R$ -модули включены $X$ является категорией Гротендика для любого кольца $R$ .)
Учитывая окруженное пространство $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ , категория пучков O _X -модулей является категорией Гротендика. ^[1]
Учитывая (аффинное или проективное) алгебраическое многообразие $V$ (или в более общем смысле: любая схема ), категория $\operatorname {Qcoh} (V)$ квазикогерентных пучков на $V$ является категорией Гротендика.
Учитывая небольшой сайт ( C , J ) (т.е. небольшую категорию C вместе с топологией Гротендика J ), категория всех пучков абелевых групп на сайте является категорией Гротендика.

Построение дальнейших категорий Гротендика.

Любая категория, эквивалентная категории Гротендика, сама является категорией Гротендика.
Данные категории Гротендика ${\mathcal {A_{1}}},\ldots ,{\mathcal {A_{n}}}$ , категория продукта ${\mathcal {A_{1}}}\times \ldots \times {\mathcal {A_{n}}}$ является категорией Гротендика.
Учитывая небольшую категорию ${\mathcal {C}}$ и категория Гротендика ${\mathcal {A}}$ , категория функтора $\operatorname {Funct} ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})$ , состоящий из всех ковариантных функторов из ${\mathcal {C}}$ к ${\mathcal {A}}$ , является категорией Гротендика. ^[1]
Учитывая небольшую преаддитивную категорию ${\mathcal {C}}$ и категория Гротендика ${\mathcal {A}}$ , категория функтора $\operatorname {Add} ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})$ всех аддитивных ковариантных функторов из ${\mathcal {C}}$ к ${\mathcal {A}}$ является категорией Гротендика. ^[4]
Если ${\mathcal {A}}$ является категорией Гротендика и ${\mathcal {C}}$ является локализующей подкатегорией ${\mathcal {A}}$ , то оба ${\mathcal {C}}$ и фактор-категория Серра ${\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$ являются категориями Гротендика. ^[2]

Свойства и теоремы

Каждая категория Гротендика содержит инъективный когенератор . Например, инъективным когенератором категории абелевых групп является факторгруппа $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ .

Каждый объект в категории Гротендика ${\mathcal {A}}$ имеет инъективную оболочку ${\mathcal {A}}$ . ^[1]^[2] Это позволяет строить инъективные резольвенты и тем самым использовать инструменты гомологической алгебры в ${\mathcal {A}}$ , чтобы определить производные функторы . (Обратите внимание, что не все категории Гротендика допускают проективное разрешение для всех объектов; примерами являются категории пучков абелевых групп во многих топологических пространствах, например в пространстве действительных чисел.)

В категории Гротендика любое семейство подобъектов $(U_{i})$ данного объекта $X$ имеет верхнюю грань (или «сумму») ${\textstyle \sum _{i}U_{i}}$ а также нижняя грань (или «пересечение») $\cap _{i}U_{i}$ , оба из которых снова являются подобъектами $X$ . Далее, если семья $(U_{i})$ направлен (т. е. для любых двух объектов в семействе существует третий объект в семействе, содержащий эти два объекта), и $V$ это еще один подобъект $X$ , у нас есть ^[5]

\sum _{i}(U_{i}\cap V)=\left(\sum _{i}U_{i}\right)\cap V.

Категории Гротендика являются мощными (иногда их называют локально малыми , хотя этот термин также используется для другого понятия), т.е. совокупность подобъектов любого данного объекта образует набор (а не собственный класс ). ^[4]

Это довольно глубокий результат: каждая категория Гротендика ${\mathcal {A}}$ завершен , ^[6] т.е. что произвольные пределы (и в частности продукты ) существуют в ${\mathcal {A}}$ . Напротив, прямо из определения следует, что ${\mathcal {A}}$ кополна, т. е. в ней существуют произвольные копределы и копроизведения (прямые суммы). ${\mathcal {A}}$ . Копроизведения в категории Гротендика являются точными (т. е. копроизведение семейства коротких точных последовательностей снова является короткой точной последовательностью), но произведения не обязательно должны быть точными.

Функтор $F\colon {\cal {A}}\to {\cal {X}}$ из категории Гротендика ${\mathcal {A}}$ в произвольную категорию ${\mathcal {X}}$ имеет левый сопряженный тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми пределами, и имеет правый сопряженный тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми копределами. Это следует из специальной теоремы Питера Дж. Фрейда о сопряженном функторе и ее двойственной теоремы. ^[7]

Теорема Габриэля-Попеску утверждает, что любая категория Гротендика ${\mathcal {A}}$ эквивалентно полной подкатегории категории $\operatorname {Mod} (R)$ правых модулей над некоторым единичным кольцом $R$ (которое можно считать кольцом эндоморфизмов генератора ${\mathcal {A}}$ ), и ${\mathcal {A}}$ можно получить как Габриэля частное $\operatorname {Mod} (R)$ по некоторой локализующей подкатегории . ^[8]

Как следствие Габриэля-Попеску, можно показать, что каждая категория Гротендика локально представима . ^[9] Более того, с помощью Габриэля-Попеску можно увидеть, что каждая категория Гротендика является полной, являясь отражающей подкатегорией полной категории. $\operatorname {Mod} (R)$ для некоторых $R$ .

Каждая малая абелева категория ${\mathcal {C}}$ может быть включено в категорию Гротендика следующим образом. Категория ${\mathcal {A}}:=\operatorname {Lex} ({\mathcal {C}}^{op},\mathrm {Ab} )$ левых точных аддитивных (ковариантных) функторов ${\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathrm {Ab}$ (где $\mathrm {Ab}$ обозначает категорию абелевых групп ) является категорией Гротендика, а функтор $h\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ , с $C\mapsto h_{C}=\operatorname {Hom} (-,C)$ , является полным, точным и точным. Генератор ${\mathcal {A}}$ определяется копродукцией всех $h_{C}$ , с $C\in {\mathcal {C}}$ . ^[2] Категория ${\mathcal {A}}$ эквивалентно категории ${\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ инд - объектов ${\mathcal {C}}$ и вложение $h$ соответствует естественному вложению ${\mathcal {C}}\to {\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ . Поэтому мы можем рассматривать ${\mathcal {A}}$ как совместное завершение ${\mathcal {C}}$ .

Особые виды объектов и категории Гротендика.

Объект $X$ в категории Гротендика называется конечно порожденным , если $X$ записывается как сумма семейства подобъектов $X$ , то это уже сумма конечного подсемейства. (В случае ${\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)$ Что касается категорий модулей, то это понятие эквивалентно знакомому понятию конечно порожденных модулей .) Эпиморфные образы конечно порожденных объектов снова являются конечно порожденными. Если $U\subseteq X$ и оба $U$ и $X/U$ конечно порождены, то так же $X$ . Объект $X$ конечно порождена тогда и только тогда, когда для любой направленной системы $(A_{i})$ в ${\cal {A}}$ в котором каждый морфизм является мономорфизмом, естественный морфизм $\varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})$ является изоморфизмом. ^[10] Категория Гротендика не обязательно должна содержать ненулевые конечно порожденные объекты.

Категория Гротендика называется локально конечно порожденной , если она имеет набор конечно порожденных образующих (т. е. если существует семейство $(G_{i})_{i\in I}$ конечно порожденных объектов таких, что каждому объекту $X$ существуют $i\in I$ и ненулевой морфизм $G_{i}\rightarrow X$ ; эквивалентно: $X$ является эпиморфным образом прямой суммы копий $G_{i}$ ). В такой категории каждый объект представляет собой сумму своих конечно порожденных подобъектов. ^[4] Каждая категория ${\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)$ является локально конечно порожденным.

Объект $X$ в категории Гротендика называется конечно представимым , если она конечно порождена и если каждый эпиморфизм $W\to X$ с конечно порожденной областью $W$ имеет конечно порожденное ядро. Опять же, это обобщает понятие конечно представленных модулей . Если $U\subseteq X$ и оба $U$ и $X/U$ конечно представлены, то так же $X$ . В локально конечно порожденной категории Гротендика ${\cal {A}}$ , конечно представленные объекты можно охарактеризовать следующим образом: ^[11] $X$ в ${\cal {A}}$ конечно представляется тогда и только тогда, когда для каждой направленной системы $(A_{i})$ в ${\cal {A}}$ , естественный морфизм $\varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})$ является изоморфизмом.

Объект $X$ в категории Гротендика ${\cal {A}}$ называется когерентным, если оно конечно представлено и каждый из его конечно порожденных подобъектов также конечно представлен. ^[12] (Это обобщает понятие когерентных пучков в кольцевом пространстве.) Полная подкатегория всех когерентных объектов в ${\cal {A}}$ является абелевым, а функтор включения точен . ^[12]

Объект $X$ в категории Гротендика называется нетеровой, если множество ее подобъектов удовлетворяет условию возрастающей цепи , т. е. если каждая последовательность $X_{1}\subseteq X_{2}\subseteq \cdots$ подобъектов $X$ со временем становится стационарным. Это так тогда и только тогда, когда каждый подобъект X конечно порожден. (В случае ${\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)$ , это понятие эквивалентно знакомому понятию нетеровых модулей .) Категория Гротендика называется локально нетеровой, если она имеет набор нетеровских образующих; примером может служить категория левых модулей над левонетеровым кольцом .

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Гротендик, Александр (1957), «О некоторых моментах гомологической алгебры» , Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , MR 0102537 . Английский перевод .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Габриэль, Пьер (1962), «Абелевы категории» (PDF) , Bull. Соц. Математика. Пт , 90 : 323–448, doi : 10.24033/bsmf.1583
^ Изуру Мори (2007). «Квантовые управляемые поверхности» (PDF) .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Вера, Карл (1973). Алгебра: кольца, модули и категории I . Спрингер. стр. 486–498. ISBN 9783642806346 .
^ Stenström, Prop. V.1.1
^ Стенстрём, кор. Х.4.4
^ Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика, 2-е издание . Спрингер. п. 130.
^ Попеско, Николае ; Габриэль, Пьер (1964). «Характеризация абелевых категорий с генераторами и точными индуктивными пределами». Известия Академии наук . 258 : 4188–4190.
^ Штовичек, Ян (01 января 2013 г.). «Деконструктивность и лемма Хилла в категориях Гротендика». Форум Математикум . 25 (1). arXiv : 1005.3251 . Бибкод : 2010arXiv1005.3251S . дои : 10.1515/ФОРМ.2011.113 . S2CID 119129714 .
^ Stenström, Prop. V.3.2
^ Stenström, Prop. V.3.4
^ Jump up to: ^а ^б Херцог, И. (1997). «Спектр Циглера локально когерентной категории Гротендика» . Труды Лондонского математического общества . 74 (3): 503–558. дои : 10.1112/S002461159700018X . S2CID 121827768 .

Ссылки

Попеску, Николае (1973). Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям . Академическая пресса.
Стенстрем, Бо Т. (1975). Кольца частных: введение в методы теории колец . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-07117-6 .

Внешние ссылки

Цаленко, М.Ш. (2001) [1994], «Категория Гротендика» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Абелевы категории , заметки Дэниела Мёрфета. Раздел 2.3 посвящен категориям Гротендика.

[tohoku-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Гротендик, Александр (1957), «О некоторых моментах гомологической алгебры» , Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , MR 0102537 . Английский перевод .

[gabriel-these-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Габриэль, Пьер (1962), «Абелевы категории» (PDF) , Bull. Соц. Математика. Пт , 90 : 323–448, doi : 10.24033/bsmf.1583

[3] Изуру Мори (2007). «Квантовые управляемые поверхности» (PDF) .

[:0-4] Jump up to: ^а ^б ^с Вера, Карл (1973). Алгебра: кольца, модули и категории I . Спрингер. стр. 486–498. ISBN 9783642806346 .

[5] Stenström, Prop. V.1.1

[6] Стенстрём, кор. Х.4.4

[7] Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика, 2-е издание . Спрингер. п. 130.

[8] Попеско, Николае ; Габриэль, Пьер (1964). «Характеризация абелевых категорий с генераторами и точными индуктивными пределами». Известия Академии наук . 258 : 4188–4190.

[9] Штовичек, Ян (01 января 2013 г.). «Деконструктивность и лемма Хилла в категориях Гротендика». Форум Математикум . 25 (1). arXiv : 1005.3251 . Бибкод : 2010arXiv1005.3251S . дои : 10.1515/ФОРМ.2011.113 . S2CID 119129714 .

[10] Stenström, Prop. V.3.2

[11] Stenström, Prop. V.3.4

[herzog-12] Jump up to: ^а ^б Херцог, И. (1997). «Спектр Циглера локально когерентной категории Гротендика» . Труды Лондонского математического общества . 74 (3): 503–558. дои : 10.1112/S002461159700018X . S2CID 121827768 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]