Фактор абелевой категории

В математике частное . (также называемое фактором Серра или фактором Габриэля ) абелевой категории ${\mathcal {A}}$ по подкатегории Серра ${\mathcal {B}}$ это абелева категория ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ которое интуитивно получается из ${\mathcal {A}}$ игнорируя (т.е. рассматривая как ноль ) все объекты из ${\mathcal {B}}$. Существует канонический точный функтор $Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ чье ядро ${\mathcal {B}}$, и ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ является в определенном смысле наиболее общей абелевой категорией, обладающей этим свойством.

Формирование факторов Серра абелевых категорий, таким образом, формально сродни формированию факторов групп . Факторы Серра чем-то похожи на фактор-категории , с той разницей, что с факторами Серра все задействованные категории являются абелевыми, а все функторы точны. Частные Серра также часто носят характер локализации категорий является подкатегория Серра , особенно если локализующей .

Определение

Формально, ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ категория , объекты которой являются объектами ${\mathcal {A}}$ и чьи морфизмы из X в Y задаются прямым пределом ( абелевых групп )

$$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}(X,Y):=\varinjlim \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X',Y/Y')$$

где предел берется по подобъектам $X'\subseteq X$ и $Y'\subseteq Y$ такой, что $X/X'\in {\cal {B}}$ и $Y'\in {\cal {B}}$. (Здесь, $X/X'$ и $Y/Y'$ обозначают факторобъекты, вычисленные в ${\mathcal {A}}$.) Эти пары подобъектов упорядочены по $(X',Y')\preccurlyeq (X'',Y'')\Longleftrightarrow X''\subseteq X'{\text{ and }}Y'\subseteq Y''$.

Композиция морфизмов в ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ индуцировано универсальным свойством прямого предела.

Канонический функтор $Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ отправляет объект X самому себе и морфизм $f\colon X\to Y$ соответствующему элементу прямого предела с X′ = X и Y′ = 0.

Альтернативная, эквивалентная конструкция фактор-категории использует так называемое « исчисление дробей » для определения морфизмов ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$. Здесь все начинается с класса $S$ этих морфизмов в ${\mathcal {A}}$ ядро и коядро которого принадлежат ${\mathcal {B}}$. Это мультипликативная система в смысле Габриэля-Зисмана, и можно локализовать категорию ${\mathcal {A}}$ в системе $S$ чтобы получить ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}[S^{-1}]$.

Примеры

Позволять $k$ быть полем и рассмотрим абелеву категорию ${\rm {Mod}}(k)$ всех векторных пространств над $k$. Тогда полная подкатегория ${\rm {mod}}(k)$ конечномерных векторных пространств является серровской подкатегорией ${\rm {Mod}}(k)$. Коэффициент Серра ${\cal {{C}={\rm {Mod}}(k)/{\rm {mod}}(k)}}$ имеет в качестве объектов $k$-векторных пространств и множество морфизмов из $X$ к $Y$ в ${\cal {C}}$ является

$$\{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y\}/\{k{\text{-linear maps from }}X{\text{ to }}Y{\text{ with finite-dimensional image}}\}$$

(который является фактором векторных пространств ). Это приводит к отождествлению всех конечномерных векторных пространств с 0 и идентификации двух линейных карт всякий раз, когда их разность имеет конечномерное изображение . Этот пример показывает, что фактор Серра может вести себя как фактор-категория .

В качестве другого примера возьмем абелеву категорию Ab всех абелевых групп и подкатегорию Серра всех периодических абелевых групп . Фактор Серра здесь эквивалентен категории $\operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})$ всех векторных пространств над рациональными числами с каноническим функтором $\mathbf {Ab} \to \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})$ задано тензорированием с ${\mathbb {Q}}$. Аналогично фактор Серра категории конечно порожденных абелевых групп по подкатегории конечно порожденных периодических групп эквивалентен категории конечномерных векторных пространств над ${\mathbb {Q}}$. Здесь фактор Серра ведет себя как локализация .

Свойства

Коэффициент Серра ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ является абелевой категорией, а канонический функтор $Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ точен и сюръективен на объектах. Ядро $Q$ является ${\mathcal {B}}$, то есть, $Q(X)$ равен нулю в ${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда $X$ принадлежит ${\mathcal {B}}$.

Фактор Серра и канонический функтор характеризуются следующим универсальным свойством : если ${\mathcal {C}}$ — любая абелева категория и $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$ является точным функтором таким, что $F(X)$ является нулем в ${\mathcal {C}}$ для каждого объекта $X\in {\mathcal {B}}$, то существует единственный точный функтор ${\overline {F}}\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ такой, что $F={\overline {F}}\circ Q$.

Учитывая три абелевы категории ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$, ${\mathcal {C}}$, у нас есть

${\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\cong {\mathcal {C}}$

тогда и только тогда, когда

существует точный и существенно сюръективный функтор $F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$ чье ядро ${\mathcal {B}}$ и такой, что для любого морфизма $f:FX\to FY$ в ${\mathcal {C}}$ существуют морфизмы $\phi :W\to X$ и $\psi :W\to Y$ в ${\mathcal {A}}$ так что $F\phi$ является изоморфизмом и $f=(F\psi )\circ (F\phi )^{-1}$.

Теоремы, связанные

Серром когерентных пучков на

Согласно теореме Жана-Пьера Серра , категория $\operatorname {coh} (X)$ когерентных пучков на проективной схеме $X=\operatorname {Proj} (R)$ (где $R$ — коммутативное нетерово градуированное кольцо , градуированное неотрицательными целыми числами и порожденное элементами степени 0 и конечным числом элементов степени 1, и $\operatorname {Proj} (R)$ относится к конструкции Прожа ) можно описать как фактор Серра

$$\operatorname {coh} (X)\cong \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)\ /\ \operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)$$

где $\operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)$ обозначает категорию конечно порожденных градуированных модулей над $R$ и $\operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)$ — это подкатегория Серра, состоящая из всех этих градуированных модулей $M$ которые равны 0 во всех достаточно высоких степенях, т. е. для которых существует $n_{0}\in {\mathbb {N}}$ такой, что $M_{n}=0$ для всех $n\geq n_{0}$.

Аналогичное описание существует для категории квазикогерентных пучков на $X=\operatorname {Proj} (R)$, даже если $R$ не является нетеровским.

-

Теорема Габриэля-Попеску утверждает, что любая категория Гротендика ${\mathcal {A}}$ эквивалентно фактору Серра вида $\operatorname {Mod} (R)/{\cal {B}}$, где $\operatorname {Mod} (R)$ обозначает абелеву категорию правых модулей над некоторым кольцом с единицей $R$, и ${\cal {B}}$ это некоторая локализующая подкатегория $\operatorname {Mod} (R)$.

Квиллена

Дэниела Квиллена присваивает Алгебраическая K-теория каждой точной категории ${\mathcal {C}}$ последовательность абелевых групп $K_{n}({\mathcal {C}}),\ n\geq 0$, и это присваивание является функториальным в ${\mathcal {C}}$. Квиллен доказал, что если ${\mathcal {B}}$ является подкатегорией Серра абелевой категории ${\mathcal {A}}$, существует длинная точная последовательность вида

$$\cdots \to K_{n}({\mathcal {B}})\to K_{n}({\mathcal {A}})\to K_{n}({\mathcal {A/B}})\to K_{n-1}({\mathcal {B}})\to \cdots \to K_{0}({\mathcal {A/B}})\to 0$$