Категория топологических пространств

В математике категория топологических пространств , часто обозначаемая Top , — это категория которой , объектами являются топологические пространства , а морфизмы — непрерывные отображения . Это категория, потому что композиция двух непрерывных отображений снова непрерывна, а тождественная функция непрерывна. Изучение Топа и свойств топологических пространств с использованием методов теории категорий известно как категориальная топология .

NB. Некоторые авторы используют название Top для категорий с топологическими многообразиями , с компактно порожденные пространства как объекты и непрерывные отображения как морфизмы или с категорией компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств .

Как конкретная категория

Как и многие категории, категория Top является конкретной категорией , то есть ее объекты представляют собой множества с дополнительной структурой (т.е. топологии), а ее морфизмы — это функции, сохраняющие эту структуру. Существует естественный функтор забывчивости.

U : Верх → Установить

к категории множеств , которая присваивает каждому топологическому пространству лежащее в основе множество и каждому непрерывному отображению основную функцию .

Забывчивый функтор U имеет оба левых сопряженных

D : Установить → Верх

который наделяет данное множество дискретной топологией и правосопряженным

I : Установить → Верх

который наделяет данное множество недискретной топологией . Оба этих функтора фактически являются обратными справа к U (это означает, что UD и UI равны тождественному функтору в Set ). поскольку любая функция между дискретными или недискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора дают полное вложение Set Более того , в Top .

Top также является послойно полным, означает, что категория всех топологий на данном множестве X (называемая слоем U что выше X ) образует полную решетку при упорядочении по включению . Наибольший элемент в этом слое представляет собой дискретную топологию на X , а наименьший элемент — недискретную топологию.

Топ — это модель того, что называется топологической категорией . Эти категории характеризуются тем, что каждый структурированный источник $(X\to UA_{i})_{I}$ имеет уникальный начальный подъем $(A\to A_{i})_{I}$. В Top начальный подъем достигается путем размещения исходной топологии на источнике. Топологические категории имеют много общих свойств с Top (такие как послойная полнота, дискретные и недискретные функторы, а также уникальное снятие пределов).

Пределы и копределы

Категория Top является одновременно полной и кополной , что означает, что все малые пределы и копределы существуют в Top . Фактически, функтор забывания U : Top → Set уникальным образом снимает как пределы, так и копределы, а также сохраняет их. Следовательно, (ко)пределы в Top задаются путем размещения топологий на соответствующих (ко)пределах в Set .

В частности, если F — диаграмма в Top и ( L , φ : L → F ) — предел UF в Set , соответствующий предел F в Top получается путем размещения начальной топологии на ( L , φ : L → F). ). Двойственным образом, копределы в Top получаются путем размещения окончательной топологии на соответствующих копределах в Set .

В отличие от многих алгебраических категорий, функтор забывчивости U : Top → Set существуют неуниверсальные конусы не создает и не отражает пределы, поскольку обычно в Top , покрывающие универсальные конусы в Set .

Примеры пределов и копределов в Top включают:

• Пустое множество рассматриваемое как топологическое пространство) является исходным объектом Top ( ; любое одноэлементное топологическое пространство является терминальным объектом . нет нулевых объектов Таким образом, в Top .
• Продукт на в Top задается топологией продукта декартовом продукте . Копроизведение топологических задается несвязным объединением пространств.
• Эквалайзер на пары морфизмов задается путем размещения топологии подпространства теоретико-множественном эквалайзере. Двойственно, коэквалайзер задается размещением фактор-топологии на теоретико-множественном коэквалайзере.
• Прямые пределы и обратные пределы представляют собой теоретико-множественные пределы с конечной и начальной топологией соответственно.
• Примыкающие пространства являются примером выталкиваний в Top .

Другая недвижимость

• Мономорфизмы инъективные в Top — это — непрерывные отображения, эпиморфизмы это сюръективные непрерывные отображения, а изоморфизмы — это гомеоморфизмы .
• Экстремальные мономорфизмы являются ( с точностью до изоморфизма) вложениями подпространств . Фактически, в Top все экстремальные мономорфизмы удовлетворяют более сильному свойству регулярности .
• Экстремальные эпиморфизмы (по сути) являются фактор-отображениями . Любой экстремальный эпиморфизм регулярен.
• Расщепляемые мономорфизмы (по сути) представляют собой включения ретрактов в их объемлющее пространство.
• Расщепляемые эпиморфизмы — это (с точностью до изоморфизма) непрерывные сюръективные отображения пространства на один из его ретрактов.
• нет нулевых морфизмов В Top , и, в частности, эта категория не является преаддитивной .
• Вершина не является декартово замкнутой (и, следовательно, не является топосом ), поскольку не имеет экспоненциальных объектов для всех пространств. Когда эта функция желательна, часто ограничиваются полной подкатегорией компактно порожденных хаусдорфовых пространств CGHaus или категорией компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств . Однако Top содержится в экспоненциальной категории псевдотопологий , которая сама является подкатегорией (также экспоненциальной) категории пространств сходимости .

Отношения с другими категориями

• Категория точечных топологических пространств Top _• является кос-категорией над Top .
• Гомотопическая категория hTop имеет топологические пространства для объектов и классы гомотопической эквивалентности непрерывных отображений морфизмов. Это фактор- категория Top . Аналогичным образом можно сформировать заостренную гомотопическую категорию hTop _• .
• Top содержит важную категорию Haus хаусдорфовых пространств как полную подкатегорию . Добавленная структура этой подкатегории допускает больше эпиморфизмов: фактически, эпиморфизмы в этой подкатегории — это именно те морфизмы с плотными образами в своих кодоменах , так что эпиморфизмы не обязательно должны быть сюръективными .
• Top содержит полную подкатегорию CGHaus , компактно сгенерированных хаусдорфовых пространств которая обладает важным свойством быть декартовой замкнутой категорией , но при этом содержит все типичные интересующие пространства. Это делает CGHaus особенно удобной категорией топологических пространств , которую часто используют вместо Top .
• Функтор забывчивости для Set имеет как левый, так и правый сопряженные, как описано выше в разделе конкретных категорий.
• Существует функтор категории локалей Loc, отправляющий топологическое пространство в его локаль открытых множеств. Этот функтор имеет правый сопряженный, который отправляет каждую локаль в ее топологическое пространство точек. Это дополнение ограничивается эквивалентностью между категорией трезвых пространств и пространственными локалями.
• Гомотопическая гипотеза связывает Top с ∞Grpd , категорией ∞-группоидов . Гипотеза утверждает, что ∞-группоиды эквивалентны топологическим пространствам по модулю слабой гомотопической эквивалентности .

См. также

• Категория групп – категория в математике. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Категория метрических пространств - математическая категория с метрическими пространствами в качестве объектов и картами, не увеличивающими расстояние, в качестве морфизмов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Категория множеств - Категория в математике, где объектами являются множества.
• Категория топологических пространств с базовой точкой – Топологическое пространство с выделенной точкой. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Категория топологических векторных пространств – Топологическая категория

Ссылки

• Адамек, Иржи, Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э.; (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF, 4,2 МБ). Первоначально опубл. Джон Уайли и сыновья. ISBN   0-471-60922-6 . (теперь бесплатное онлайн-издание).
• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Долецкий, Шимон (2009). «Посвящение в теорию конвергенции» (PDF) . В Минаре, Фредерик; Перл, Эллиотт (ред.). За пределами топологии . Современная математика. Том. 486. стр. 115–162. дои : 10.1090/conm/486/09509 . ISBN  9780821842799 . Проверено 14 января 2021 г.
• Долецкий, Шимон; Минар, Фредерик (2014). «Единая теория функциональных пространств и гиперпространств: локальные свойства» (PDF) . Хьюстон Дж. Математика . 40 (1): 285–318 . Проверено 14 января 2021 г.
• Херлих, Хорст : Топологические отражения и основные отражения . Конспекты лекций Спрингера по математике 78 (1968).
• Херлих, Хорст: Категориальная топология 1971–1981 . В: Общая топология и ее связь с современным анализом и алгеброй 5, Heldermann Verlag 1983, стр. 279–383.
• Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э.: Категориальная топология – ее истоки, на примере развития теории топологических отражений и кор-отражений до 1971 года . В: Справочник по истории общей топологии (под ред. CEAull и R. Lowen), Kluwer Acad. Опубл. том 1 (1997), стр. 255–341.