Гомотопическая категория

В математике категория гомотопии — это категория, построенная на основе категории топологических пространств , которая в некотором смысле идентифицирует два пространства , имеющих одинаковую форму. На самом деле эта фраза используется для двух разных (но связанных) категорий, как описано ниже.

В более общем смысле, вместо того, чтобы начинать с категории топологических пространств, можно начать с любой модельной категории и определить связанную с ней гомотопическую категорию с помощью конструкции, введенной Квилленом в 1967 году. Таким образом, теория гомотопии может быть применена ко многим другим категориям в геометрия и алгебра .

Категория

Категория топологических пространств Top имеет топологические пространства как объекты и как морфизмы — непрерывные отображения между ними. Старое определение гомотопической категории hTop , называемое наивной гомотопической категорией. для ясности в этой статье, имеет одни и те же объекты, а морфизм — это гомотопический класс непрерывных отображений. То есть два непрерывных отображения f : X → Y считаются одинаковыми в категории наивной гомотопии, если одно можно непрерывно деформировать в другое. Существует функтор из Top в hTop , который переводит пространства в себя, а морфизмы в их гомотопические классы. Отображение f : X → Y называется гомотопической эквивалентностью , если оно становится изоморфизмом в наивной гомотопической категории.

Пример: круг S ¹ , плоскость R ² минус начало координат, и лента Мёбиуса гомотопически эквивалентны, хотя эти топологические пространства не гомеоморфны .

Обозначение [ X , Y ] часто используется для обозначения hom-множества из пространства X в пространство Y в категории наивной гомотопии (но оно также используется для связанных категорий, обсуждаемых ниже).

Категория

Квиллен (1967) выделил еще одну категорию, которая еще больше упрощает категорию топологических пространств. Теоретикам гомотопии время от времени приходится работать с обеими категориями, но все сходятся во мнении, что версия Квиллена более важна, и поэтому ее часто называют просто «гомотопической категорией».

Сначала определяется слабая гомотопическая эквивалентность : непрерывное отображение называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует биекцию на множествах компонентов пути и биекцию на гомотопических группах с произвольными базовыми точками. Тогда (истинная) гомотопическая категория определяется путем локализации категории топологических пространств относительно слабой гомотопической эквивалентности. То есть объекты по-прежнему являются топологическими пространствами, но для каждой слабой гомотопической эквивалентности добавляется обратный морфизм. Это приводит к тому, что непрерывное отображение становится изоморфизмом в гомотопической категории тогда и только тогда, когда оно является слабой гомотопической эквивалентностью. Существуют очевидные функторы из категории топологических пространств в наивную гомотопическую категорию (как определено выше), а оттуда в гомотопическую категорию.

Результаты Дж. Х. Уайтхеда , в частности теорема Уайтхеда и существование CW-аппроксимаций, дать более явное описание гомотопической категории. А именно, гомотопическая категория эквивалентна полной подкатегории наивной гомотопической категории, состоящей из комплексов CW . В этом отношении гомотопическая категория устраняет большую часть сложности категории топологических пространств.

Пример. Пусть X — набор натуральных чисел {0, 1, 2, ...}, а Y — набор {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, оба с топология подпространства от реальной линии . Определите f : X → Y , сопоставив 0 с 0 и n с 1/ n для n положительного. Тогда f непрерывна и фактически является слабой гомотопической эквивалентностью, но не является гомотопической эквивалентностью. Таким образом, наивная гомотопическая категория различает такие пространства, как X и Y , тогда как они становятся изоморфными в гомотопической категории.

Для топологических пространств X и Y обозначение [ X , Y ] может использоваться для набора морфизмов от X до Y либо в наивной гомотопической категории, либо в истинной гомотопической категории, в зависимости от контекста.

Пространства Эйленберга–Маклейна

Одной из причин использования этих категорий является то, что многие инварианты топологических пространств определены в наивной гомотопической категории или даже в истинной гомотопической категории. Например, для слабой гомотопической эквивалентности топологических пространств f : X → Y ассоциированный гомоморфизм f _* : H _i ( X , Z ) → H _i ( Y , Z ) сингулярных групп гомологии является изоморфизмом для всех натуральных чисел i . Отсюда следует, что для каждого натурального числа i сингулярные гомологии H _i можно рассматривать как функтор из гомотопической категории в категорию абелевых групп . В частности, два гомотопических отображения из X в Y индуцируют один и тот же гомоморфизм на сингулярных группах гомологии.

Сингулярные когомологии обладают еще лучшим свойством: это представимый функтор в гомотопической категории. То есть для каждой абелевой группы A и натурального числа i существует комплекс CW K ( A , i ), называемый пространством Эйленберга – Маклейна , и класс когомологий u в H. ^я ( K ( A , i ), A ) такие, что результирующая функция

$[X,K(A,i)]\to H^{i}(X,A)$

(предоставление путем возвращения u обратно в X ) является биективным для всех топологических X. пространств Здесь [ X , Y ] следует понимать как множество отображений в истинной гомотопической категории, если кто-то хочет, чтобы это утверждение выполнялось для всех топологических X. пространств Оно выполняется в наивной гомотопической категории, если X — комплекс CW.

Остроконечная версия

Одним из полезных вариантов является гомотопическая категория точечных пространств . Точечное пространство означает пару ( X , x ), где X — топологическое пространство, а x — точка в X , называемая базовой точкой. Категория Top _* точечных пространств имеет объекты - указанные пространства, а морфизм f : X → Y представляет собой непрерывное отображение, которое переводит базовую точку X в базовую точку Y . Наивная гомотопическая категория точечных пространств имеет те же объекты, а морфизмы представляют собой гомотопические классы точечных отображений (это означает, что базовая точка остается фиксированной на протяжении всей гомотопии). Наконец, «истинная» гомотопическая категория точечных пространств получается из категории Top _* путем обращения точечных отображений, являющихся слабой гомотопической эквивалентностью.

Для точечных пространств X и Y [ X , Y ] может обозначать набор морфизмов из X в Y в любой версии гомотопической категории точечных пространств, в зависимости от контекста.

Некоторые основные конструкции теории гомотопий естественным образом определяются на категории точечных пространств (или на соответствующей гомотопической категории), а не на категории пространств. Например, надстройка Σ X и пространство петель Ω X определены для точечного пространства X и создают другое точечное пространство. Кроме того, смэш-произведение X ∧ Y является важным функтором точечных пространств X и Y . Например, суспензию можно определить как

$\Sigma X=S^{1}\wedge X.$

Функторы надстройки и пространства петель образуют присоединенную пару функторов в том смысле, что существует естественный изоморфизм

$[\Sigma X,Y]\cong [X,\Omega Y]$

для всех пространств X и Y.

Конкретные категории

Хотя объекты гомотопической категории представляют собой множества (с дополнительной структурой), морфизмы являются не реальными функциями между ними, а скорее классами функций (в наивной гомотопической категории) или «зигзагами» функций (в гомотопической категории). Действительно, Фрейд показал, что ни наивная гомотопическая категория точечных пространств, ни гомотопическая категория точечных пространств не являются конкретной категорией . То есть не существует точного функтора из этих категорий в категорию множеств .

Категории моделей

Основная статья: Категория модели

Есть более общее понятие: гомотопическая категория модельной категории . Модельная категория — это категория C с тремя выделенными типами морфизмов, называемыми расслоениями , корасслоениями и слабыми эквивалентностями , удовлетворяющими нескольким аксиомам. Соответствующая гомотопическая категория определяется путем локализации C относительно слабых эквивалентностей.

Эта конструкция, примененная к модельной категории топологических пространств с ее стандартной модельной структурой (иногда называемой структурой модели Квиллена), дает гомотопическую категорию, определенную выше. Многие другие модельные структуры рассматривались в категории топологических пространств, в зависимости от того, насколько мы хотим упростить категорию. Например, в структуре модели Гуревича в топологических пространствах ассоциированная гомотопическая категория является наивной гомотопической категорией, определенной выше.

Одна и та же гомотопическая категория может возникнуть из множества разных модельных категорий. Важным примером является стандартная структура модели на симплициальных множествах : соответствующая гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории топологических пространств, даже несмотря на то, что симплициальные множества представляют собой комбинаторно определенные объекты, лишенные какой-либо топологии . Некоторые топологи вместо этого предпочитают работать с компактно сгенерированными слабыми хаусдорфовыми пространствами ; опять же, при стандартной структуре модели соответствующая гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории всех топологических пространств.

В качестве более алгебраического примера модельной категории пусть A будет абелевой категорией Гротендика , например категорией модулей над кольцом или категорией пучков абелевых групп в топологическом пространстве. Тогда существует модельная структура в категории цепных комплексов объектов из A , где слабыми эквивалентностями являются квазиизоморфизмы . Полученная гомотопическая категория называется производной категорией D A .

Наконец, стабильная гомотопическая категория определяется как гомотопическая категория, связанная с модельной структурой категории спектров . Были рассмотрены различные категории спектров, но все принятые определения дают одну и ту же гомотопическую категорию.

Ссылки

• Беке, Тибор (2000), «Категории гомотопической модели, допускающие расслоение», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 129 (3): 447–473, arXiv : math/0102087 , Bibcode : 2000MPCPS.129..447B , doi : 10.1017/ С0305004100004722 , МР   1780498 , С2КИД   16563879
• Дуайер, Уильям Г.; Спалиньски, Дж. (1995), «Гомотопические теории и модельные категории» (PDF) , Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 73–126, MR   1361887
• Фрейд, Питер (1970), «Гомотопия не конкретна» , Алгебра Стинрода и ее приложения , Конспекты лекций по математике, том. 168, Шпрингер-Верлаг , MR   0276961
• Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-79540-0 , МР   1867354
• Хови, Марк (1999), Категории моделей (PDF) , Американское математическое общество , ISBN  0-8218-1359-5 , МР   1650134
• Мэй, Япония ; Понто, К. (2012), Более краткая алгебраическая топология. Локализация, завершение и категории моделей (PDF) , University of Chicago Press , ISBN  978-0-226-51178-8 , МР   2884233