Струнная топология

Струнная топология , раздел математики , представляет собой изучение алгебраических структур на гомологиях пространств свободных петель . Поле начали Мойра Час и Деннис Салливан ( 1999 ).

Мотивация [ править ]

Хотя сингулярные когомологии пространства всегда имеют структуру произведения, это неверно для сингулярных гомологий пространства. Тем не менее, такую структуру можно построить и для ориентированного многообразия. $M$ размера $d$ . Это так называемый продукт пересечения . Интуитивно это можно описать следующим образом: заданы классы $x\in H_{p}(M)$ и $y\in H_{q}(M)$ , возьмите их продукт $x\times y\in H_{p+q}(M\times M)$ и сделаем его поперечным диагонали $M\hookrightarrow M\times M$ . Пересечение тогда является классом в $H_{p+q-d}(M)$ , продукт пересечения $x$ и $y$ . Один из способов сделать эту конструкцию строгой — использовать стратифолды .

Другой случай, когда гомологии пространства имеют произведение, - это (базовое) пространство петель. $\Omega X$ пространства $X$ . Здесь само пространство имеет продукт

m\colon \Omega X\times \Omega X\to \Omega X

пройдя сначала первую петлю, а затем вторую. Аналогичной структуры произведения для пространства свободного цикла не существует. $LX$ всех карт из $S^{1}$ к $X$ поскольку две петли не обязательно должны иметь общую точку. Заменитель карты $m$ это карта

\gamma \colon {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\to LM

где ${\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)$ является подпространством $LM\times LM$ , где значение двух циклов совпадает в точках 0 и $\gamma$ определяется снова путем составления циклов.

Продукт Часа-Салливана [ править ]

Идея продукта Часа-Салливана состоит в том, чтобы объединить вышеописанные структуры продуктов. Рассмотрим два класса $x\in H_{p}(LM)$ и $y\in H_{q}(LM)$ . Их продукт $x\times y$ лежит в $H_{p+q}(LM\times LM)$ . Нам нужна карта

i^{!}\colon H_{p+q}(LM\times LM)\to H_{p+q-d}({\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)).

Один из способов построить это — использовать стратифолды (или другое геометрическое определение гомологии) для трансверсального пересечения (после интерпретации ${\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\subset LM\times LM$ как включение гильбертовых многообразий ). Другой подход начинается с карты коллапса из $LM\times LM$ в пространство Тома нормального расслоения ${\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)$ . Составляя индуцированное отображение в гомологии с изоморфизмом Тома , мы получаем искомое отображение.

Теперь мы можем составить $i^{!}$ с индуцированной картой $\gamma$ чтобы попасть на занятия $H_{p+q-d}(LM)$ , произведение Часа – Салливана $x$ и $y$ (см., например, Коэн и Джонс (2002) ).

Замечания [ править ]

Как и в случае с произведением пересечения, в отношении произведения Часа – Салливана существуют разные соглашения о знаках. В некоторых соглашениях он оценивается как коммутативный, в некоторых нет.
Та же конструкция работает, если заменить $H$ по другой теории мультипликативной гомологии $h$ если $M$ ориентирован относительно $h$ .
Кроме того, мы можем заменить $LM$ к $L^{n}M={\rm {Map}}(S^{n},M)$ . Путем простой модификации приведенной выше конструкции получаем, что ${\mathcal {}}h_{*}({\rm {Map}}(N,M))$ это модуль над ${\mathcal {}}h_{*}L^{n}M$ если $N$ представляет собой многообразие измерений $n$ .
Спектральная последовательность Серра совместима с указанными выше алгебраическими структурами как для расслоения, так и для расслоения ${\rm {ev}}\colon LM\to M$ с волокном $\Omega M$ и пучок волокон $LE\to LB$ для пучка волокон $E\to B$ , что важно для вычислений (см. Cohen, Jones & Yan (2004) и Meier (2010) ).

Структура Баталина-Вилковиского [ править ]

Есть действие $S^{1}\times LM\to LM$ путем вращения, что приводит к отображению

H_{*}(S^{1})\otimes H_{*}(LM)\to H_{*}(LM)

.

Подключение базового класса $[S^{1}]\in H_{1}(S^{1})$ , дает оператор

\Delta \colon H_{*}(LM)\to H_{*+1}(LM)

степени 1. Можно показать, что этот оператор хорошо взаимодействует с произведением Часа–Салливана в том смысле, что они вместе образуют структуру алгебры Баталина–Вилковиского на ${\mathcal {}}H_{*}(LM)$ . В целом этот оператор обычно сложно вычислить. Определяющие тождества алгебры Баталина-Вилковиского проверялись в оригинальной статье «по картинкам». Менее прямой, но, возможно, более концептуальный способ сделать это — использовать действие операды кактуса в свободном пространстве цикла. $LM$ . ^[1] Операда кактуса слабо эквивалентна операде маленьких дисков в рамке. ^[2] и его действие на топологическое пространство влечет за собой структуру Баталина-Вилковиского в гомологии. ^[3]

Теории поля [ править ]

Существует несколько попыток построить (топологические) теории поля с помощью струнной топологии. Основная идея состоит в том, чтобы зафиксировать ориентированное многообразие. $M$ и ассоциироваться с каждой поверхностью с $p$ входящие и $q$ исходящие граничные компоненты (с $n\geq 1$ ) операция

H_{*}(LM)^{\otimes p}\to H_{*}(LM)^{\otimes q}

которое удовлетворяет обычным аксиомам топологической теории поля . Продукт Chas-Sullivan ассоциируется с парой брюк . Можно показать, что эти операции равны 0, если род поверхности больше 0 ( Tamanoi (2010) ).

Ссылки [ править ]

^ Воронов, Александр (2005). «Заметки по универсальной алгебре» . Графы и закономерности в математике и теоретической физике (ред. М. Любич и Л. Тахтажан) . Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. стр. 81–103.
^ Коэн, Ральф Л.; Хесс, Кэтрин; Воронов, Александр А. (2006). «Операда кактусов». Струнная топология и циклические гомологии . Базель: Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-7388-7 .
^ Гетцлер, Эзра (1994). «Алгебры Баталина-Вилковиского и двумерные топологические теории поля» . Комм. Математика. Физ . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Бибкод : 1994CMaPh.159..265G . дои : 10.1007/BF02102639 . S2CID 14823949 .

Источники [ править ]

Час, Мойра; Салливан, Деннис (1999). «Струнная топология». arXiv : math/9911159v1 .
Коэн, Ральф Л .; Джонс, Джон Д.С. (2002). «Теоретико-гомотопическая реализация струнной топологии». Математические Аннален . 324 (4): 773–798. arXiv : math/0107187 . дои : 10.1007/s00208-002-0362-0 . МР 1942249 . S2CID 16916132 .
Коэн, Ральф Луи ; Джонс, Джон Д.С.; Ян, Джун (2004). «Алгебра гомологии петель сфер и проективных пространств». В Ароне, Грегори; Хаббак, Джон; Леви, Ран; Вайс, Майкл (ред.). Методы категориальной декомпозиции в алгебраической топологии: Международная конференция по алгебраической топологии, остров Скай, Шотландия, июнь 2001 г. Биркхойзер . стр. 77–92.
Мейер, Леннарт (2011). «Спектральные последовательности в струнной топологии». Алгебраическая и геометрическая топология . 11 (5): 2829–2860. arXiv : 1001.4906 . дои : 10.2140/agt.2011.11.2829 . МР 2846913 . S2CID 58893087 .
Таманой, Хиротака (2010). «Петлевые копродукции в строковой топологии и тривиальность операций TQFT высшего рода». Журнал чистой и прикладной алгебры . 214 (5): 605–615. arXiv : 0706.1276 . дои : 10.1016/j.jpaa.2009.07.011 . МР 2577666 . S2CID 2147096 .

[1] Воронов, Александр (2005). «Заметки по универсальной алгебре» . Графы и закономерности в математике и теоретической физике (ред. М. Любич и Л. Тахтажан) . Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. стр. 81–103.

[2] Коэн, Ральф Л.; Хесс, Кэтрин; Воронов, Александр А. (2006). «Операда кактусов». Струнная топология и циклические гомологии . Базель: Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-7388-7 .

[3] Гетцлер, Эзра (1994). «Алгебры Баталина-Вилковиского и двумерные топологические теории поля» . Комм. Математика. Физ . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Бибкод : 1994CMaPh.159..265G . дои : 10.1007/BF02102639 . S2CID 14823949 .

[1]

[2]

[3]