Дифференциальная градуированная алгебра
В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
В математике , в частности в гомологической алгебре , дифференциально-градуированная алгебра — это градуированная ассоциативная алгебра с добавленной цепной комплексной структурой, которая соответствует структуре алгебры .
Определение [ править ]
Дифференциальная градуированная алгебра (или DG-алгебра сокращенно ) A — это градуированная алгебра, снабженная отображением который имеет либо степень 1 (соглашение о комплексе коцепей), либо степень -1 (соглашение о комплексе цепей), который удовлетворяет двум условиям:
- .
Это говорит о том, что d придает А структуру цепного комплекса или коцепного комплекса (соответственно, понижает или повышает степень дифференциал). - , где – степень однородности элементов.
Это говорит о том, что дифференциал d подчиняется градуированному правилу Лейбница .
Более краткий способ сформулировать то же определение — сказать, что DG-алгебра — это моноидный объект в моноидальной категории цепных комплексов .Морфизм DG между DG-алгебрами — это гомоморфизм градуированных алгебр, который соблюдает дифференциал d .
Дифференциально -градуированная дополненная алгебра (также называемая DGA-алгеброй ,расширенная DG-алгебра или просто DGA ) — DG-алгебра, снабженная DG-морфизмом основного кольца (терминология принадлежит Анри Картану ). [1]
Предупреждение: используется термин DGA в некоторых источниках для обозначения DG-алгебры .
Примеры DG-алгебр [ править ]
Тензорная алгебра [ править ]
Тензорная алгебра представляет собой DG-алгебру с дифференциалом, подобным дифференциалу комплекса Кошуля . Для векторного пространства над полем существует градуированное векторное пространство определяется как
где .
Если является основой для есть дифференциал на тензорной алгебре, определенной покомпонентно
отправка базовых элементов в
В частности, у нас есть и так
Рубашка комплексная [ править ]
Одним из основополагающих примеров дифференциально-градуированной алгебры, широко используемой в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , является комплекс Кошуля . Это связано с широким спектром приложений, включая построение плоских разрешений полных пересечений, а с производной точки зрения они дают производную алгебру, представляющую производное критическое локус.
Алгебра Де-Рама [ править ]
Дифференциальные формы на многообразии вместе с внешним выводом и внешним произведением образуют DG-алгебру. Они имеют широкое применение, в том числе в производной теории деформации . [2] См. также когомологии де Рама .
Сингулярные когомологии [ править ]
- Сингулярные когомологии топологического пространства с коэффициентами из является DG-алгеброй: дифференциал задается гомоморфизмом Бокштейна, связанным с короткой точной последовательностью , а продукт представляет собой продукт чашки . Эта дифференциально-градуированная алгебра использовалась для вычисления когомологий пространств Эйленберга – Маклейна на семинаре Картана. [3] [4]
о DG алгебрах - Другие факты
- Гомология DG-алгебры является градуированной алгеброй. Гомологии DGA-алгебры — это дополненная алгебра .
См. также [ править ]
- Гомотопическая ассоциативная алгебра
- Дифференциальная оценочная категория
- Дифференциальная градуированная алгебра Ли
- Дифференциальная ступенчатая схема
- Дифференциальный модуль
Ссылки [ править ]
- ^ Картан, Анри (1954). «О группах Эйленберга-Мак Лейна . pnas.40.6.467 Sciences of the United States of America . 40 (6): 467–471. doi : 10.1073/ . PMC 534072. . PMID 16589508 Proceedings of the National Academy of
- ^ Манетти, Марко. «Дифференциально-градуированные алгебры Ли и формальная теория деформаций» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2013 г.
- ^ Картан, Анри (1954–1955). «DGA-алгебры и DGA-модули» . Семинар Анри Картана . 7 (1): 1–9.
- ^ Картан, Анри (1954–1955). «DGA-модули (продолжение), концепция построения» . Семинар Анри Картана . 7 (1): 1–11.
- Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей И. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9 , см. разделы V.3 и V.5.6.