Разрешение (алгебра)

В математике , а точнее в гомологической алгебре , резольвента (или левая резольвента ; двойственно корезольюция или правая резольвента). ) — точная последовательность модулей ), которая (или, шире, объектов абелевой категории используется для определения инвариантов, характеризующих структуру конкретного модуля или объекта этой категории. Когда, как обычно, стрелки ориентированы вправо, предполагается, что последовательность бесконечна влево для (левых) разрешений и вправо для правых разрешений. Однако конечное разрешение — это разрешение, при котором только конечное число объектов в последовательности ненулевые ; обычно он представляется конечной точной последовательностью, в которой самый левый объект (для резолюций) или самый правый объект (для совместных разрешений) является нулевым объектом .

Обычно объекты в последовательности ограничены некоторым свойством P (например, свободой). Таким образом, говорят о P-резолюции . В частности, каждый модуль имеет свободные резолюции , проективные резолюции и плоские резолюции , которые являются левыми резолюциями, состоящими соответственно из свободных модулей , проективных модулей или плоских модулей . Аналогично каждый модуль имеет инъективные резольвенты , которые являются правыми резольвентами, состоящими из инъективных модулей .

Разрешения модулей

Определения

Для модуля M над кольцом R ( левая резольвента или просто резольвента ) модуля M представляет собой точную последовательность (возможно, бесконечную) R -модулей.

$\cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.$

Гомоморфизмы d _i называются граничными отображениями. Отображение ε называется картой дополнения . Для краткости приведенную выше резолюцию можно записать в виде

$E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.$

Двойственное понятие — это правильное разрешение (или совместное разрешение , или просто разрешение ). В частности, для модуля M над кольцом R правая резольвента — это, возможно, бесконечная точная последовательность R -модулей.

$0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,$

где каждый C ^я является R -модулем (обычно используются верхние индексы над объектами в разрешении и отображениями между ними, чтобы указать на двойственную природу такого разрешения). Для краткости приведенную выше резолюцию можно записать в виде

$0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.$

(Ко)разрешение называется конечным, если только конечное число задействованных модулей отличны от нуля. Длина обозначающий конечного разрешения — это максимальный индекс n, ненулевой модуль в конечном разрешении.

Свободные, проективные, инъективные и плоские разрешения.

, накладываются условия Во многих случаях на модули Ei _, разрешающие данный модуль M . Например, свободная резольвента модуля M — это левая резольвента, в которой все модули E _i являются свободными R -модулями. Аналогично, проективная и плоская резольвенты — это левые резольвенты, такие, что все E _i являются проективными и плоскими R -модулями соответственно. Инъективные резольвенты – это правые резольвенты, у которых C ^я все инъективные модули .

Каждый R -модуль обладает свободной левой резольвентой. Тем более , каждый модуль также допускает проективную и плоскую резольвенты. Идея доказательства состоит в том, чтобы определить E ₀ как свободный R -модуль, порожденный элементами M , а затем E ₁ как свободный R -модуль, порожденный элементами ядра естественного отображения E ₀ → M и т. д. Двойственным образом каждый R -модуль обладает инъективной резольвентой. Проективные разрешения (и, в более общем смысле, плоские разрешения) можно использовать для вычисления функторов Tor .

Проективная резольвента модуля M единственна с точностью до цепной гомотопии , т. е. для данных двух проективных резольвент P ₀ → M и P ₁ → M модуля M существует цепная гомотопия между ними.

Разрешения используются для определения гомологических размеров . Минимальная длина конечной проективной резольвенты модуля M называется его проективной размерностью и обозначается pd( M ). Например, модуль имеет нулевую проективную размерность тогда и только тогда, когда он является проективным модулем. Если M не допускает конечной проективной резольвенты, то проективная размерность бесконечна. Например, для коммутативного локального кольца R проективная размерность конечна тогда и только тогда, когда и в R регулярно этом случае она совпадает с размерностью Крулля кольца R . Аналогично инъективная размерность id( M ) и плоская размерность fd( M для модулей также определяются ).

Инъективная и проективная размерности используются в категории правых R гомологической размерности R, называемой правой глобальной размерностью R -модулей для определения . Аналогичным образом, плоское измерение используется для определения слабого глобального измерения . Поведение этих размеров отражает характеристики кольца. Например, кольцо имеет правую глобальную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно является полупростым кольцом , а кольцо имеет слабую глобальную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно является регулярным кольцом фон Неймана .

Градуированные модули и алгебры

Пусть M — градуированный модуль над градуированной алгеброй , порожденный над полем своими элементами положительной степени. Тогда M имеет свободную резольвенту, в которой свободные модули E _i могут быть градуированы таким образом, что d _i и ε являются градуированными линейными отображениями . Среди этих градуированных свободных резолюций минимальными свободными резолюциями являются те, для которых количество базисных элементов каждого E _i минимально. Число базисных элементов каждого E _i и их степени одинаковы для всех минимальных свободных резолюций градуированного модуля.

Если I — однородный идеал в кольце многочленов над полем, регулярность Кастельнуово–Мамфорда проективного алгебраического множества, определенного I, — это минимальное целое число r такое, что степени базисных элементов E _i в минимальном свободном разрешении Я все ниже Ри .

Примеры

Классическим примером свободной резольвенты является комплекс Кошуля регулярной последовательности в локальном кольце или однородной регулярной последовательности в градуированной алгебре, конечно порожденной над полем.

Пусть X — асферическое пространство его универсальное покрытие E стягиваемо . , т. е . Тогда каждый сингулярный (или симплициальный ) цепной комплекс E является свободным разрешением модуля Z не только над кольцом Z , но и над групповым кольцом Z [ π ₁ ( X )].

Разрешения в абелевых категориях

Определение разрешений объекта M в абелевой категории A такое же, как и выше, но E _i и C ^я объектами в A , и все задействованные карты являются морфизмами в A. являются

Аналогичным понятием проективных и инъективных модулей являются проективные и инъективные объекты и, соответственно, проективные и инъективные резольвенты. резольвенты не обязательно должны существовать в общей абелевой категории A. Однако такие Если каждый объект A имеет проективное (соответственно инъективное) разрешение, то A говорят, что имеет достаточно проективов (соответственно достаточно инъективных ). Даже если они существуют, с такими резолюциями зачастую трудно работать. Например, как указывалось выше, каждый R -модуль имеет инъективную резольвенту, но эта резольвента не является функториальной , т. е. при заданном гомоморфизме M → M' вместе с инъективными резольвентами.

$0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},$

вообще не существует функториального способа получить отображение между $I_{*}$ и $I'_{*}$.

Абелевы категории без проективных резольвент в целом

Одним из классов примеров абелевых категорий без проективных резолюций являются категории ${\text{Coh}}(X)$ когерентных пучков на схеме $X$. Например, если $X=\mathbb {P} _{S}^{n}$ — проективное пространство, любой связный пучок ${\mathcal {M}}$ на $X$ имеет представление, заданное точной последовательностью

$\bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.$

Первые два члена, вообще говоря, не являются проективными, поскольку $H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0$ для $s>0$. Но оба термина локально свободны и локально плоские. Оба класса пучков могут использоваться для определенных вычислений, заменяя проективные резольвенты для вычисления некоторых производных функторов.

Ациклическое разрешение

Во многих случаях на самом деле нас интересуют не объекты, появляющиеся в разрешении, а поведение разрешения по отношению к данному функтору . понятие ациклических резольвент Поэтому во многих ситуациях используется : если задан точный левый функтор F : A → B между двумя абелевыми категориями, резольвента

$0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots$

объекта M из A называется F -ациклическим, если производные функторы R _i F ( En ₎ обращаются в нуль для всех i > 0 и n ≥ 0. Двойственно, левая резольвента ациклична относительно правого точного функтора, если его производные функторы исчезают на объектах разрешения.

Например, для данного R -модуля M тензорное произведение   $\otimes _{R}M$ — точный справа функтор Mod ( R ) → Mod ( R ). Любая плоская резольвента ациклична относительно этого функтора. Плоская резольвента ациклична для тензорного произведения на каждое M . Точно так же резольвенты, которые являются ациклическими для всех функторов Hom ( ⋅ , M ), являются проективными резольвентами, а резольвенты, которые являются ациклическими для функторов Hom ( M , ⋅ ), являются инъективными резольвентами.

Любая инъективная (проективная) резольвента является F -ациклической для любого точного слева (соответственно точного справа) функтора.

Важность ациклических резольвент заключается в том, что производные функторы R _i F (точного левого функтора, а также L _i F точного правого функтора) могут быть получены из гомологии F -ациклических резольвент: задан ациклический разрешение $E_{*}$ объекта M мы имеем

$R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),$

где правая часть — i -й объект гомологии комплекса $F(E_{*}).$

Эта ситуация применима во многих ситуациях. Например, для постоянного пучка R на дифференцируемом многообразии M можно разрешить пучками ${\mathcal {C}}^{*}(M)$ гладких дифференциальных форм :

$0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.$

Снопы ${\mathcal {C}}^{*}(M)$ представляют собой тонкие пучки , которые, как известно, ацикличны относительно глобального сечения. функтора $\Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)$. Следовательно, пучковые когомологии , которые являются производными функторами функтора глобального сечения Γ, вычисляются как $\mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).$

Точно так же резольвенты Годемана ацикличны по отношению к функтору глобальных сечений.

См. также

• Стандартное разрешение
• Теорема Гильберта – Берча
• Теорема о сизигиях Гильберта
• Бесплатная презентация
• Матричные факторизации (алгебра)

Ссылки

• Иэн Т. Адамсон (1972), Элементарные кольца и модули , Университетские математические тексты, Оливер и Бойд, ISBN  0-05-002192-3
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике , т. 1, с. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  3-540-94268-8 , МР   1322960 , Збл   0819.13001
• Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Основная алгебра II (второе изд.), Dover Publications, ISBN  978-0-486-47187-7
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-55540-0 , Збл   0848.13001
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .