Изоморфизм Сатаке

В математике изоморфизм Сатаке , введенный Ичиро Сатаке ( 1963 ), отождествляет алгебру Гекке над редуктивной группы локальным полем с кольцом инвариантов группы Вейля . Геометрическая эквивалентность Сатаке — это геометрическая версия изоморфизма Сатаке, доказанная Иваном Мирковичем и Кари Вилоненом ( 2007 ).

Заявление

Классический изоморфизм Сатаке .Позволять $G$ — полупростая алгебраическая группа , $K$ быть неархимедовым локальным полем и $O$ — его кольцо целых чисел. Это легко увидеть $Gr=G(K)/G(O)$ является грасманианом . Для простоты можно считать, что $K=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((x))$ и $O=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} [[x]]$, для $p$ простое число; в этом случае, $Gr$ — бесконечномерное алгебраическое многообразие ( Гинзбург, 2000 ). Обозначается категория всех сферических функций с компактным носителем на $G(K)$ биинвариант под действием $G(O)$ как $\mathbb {C} _{c}[G(O)\backslash G(K)/G(O)]$, $\mathbb {C}$ поле комплексных чисел, которое является алгеброй Гекке и может также рассматриваться как групповая схема над $\mathbb {C}$. Позволять $T(\mathbb {C} )$ быть максимальным тором $G(\mathbb {C} )$, $W$ быть Вейля группой $G$. Можно связать многообразие кохарактеров $\mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))$ к $T(\mathbb {C} )$. Позволять $X_{*}(T(\mathbb {C} ))$ быть множеством всех кохарактеров $T(\mathbb {C} )$, то есть $X_{*}(T(\mathbb {C} ))=\mathrm {Hom} (\mathbb {C} ^{*},T(\mathbb {C} ))$. Разнообразие соперсонажей $\mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))$ По сути, это групповая схема, созданная путем добавления элементов $X_{*}(T(\mathbb {C} ))$ в качестве переменных для $\mathbb {C}$, то есть $\mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))=\mathbb {C} [X_{*}(T(\mathbb {C} ))]$. Существует естественное действие $W$ о разновидности соперсонажей $\mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))$, вызванный естественным действием $W$ на $T$. Тогда изоморфизм Сатаке — это изоморфизм алгебр из категории сферических функций в категорию $W$-инвариантная часть вышеупомянутого многообразия кохарактеров. В формулах:

$\mathbb {C} _{c}[G(O)\backslash G(K)/G(O)]\quad \xrightarrow {\sim } \quad \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))^{W}$.

Геометрический изоморфизм Сатаке .Как сказал Гинзбург ( Гинзбург 2000 ), «геометрический» означает теорию пучков. Чтобы получить геометрическую версию изоморфизма Сатаке, нужно заменить левую часть изоморфизма, используя группу Гротендика категории перверсивных пучков на $Gr$ заменить категорию сферических функций ; замена де-факто является изоморфизмом алгебры над $\mathbb {C}$ ( Гинзбург 2000 ). Необходимо также заменить правую часть изоморфизма на группу Гротендика конечномерных комплексных представлений двойственного Ленглендсу ${}^{L}G$ из $G$; замена также является изоморфизмом алгебры над $\mathbb {C}$ ( Гинзбург 2000 ). Позволять $\mathrm {Perv} (Gr)$ обозначим категорию извращенных пучков на $Gr$. Тогда геометрический изоморфизм Сатаке равен

$K(\mathrm {Perv} (Gr))\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \quad \xrightarrow {\sim } \quad K(\mathrm {Rep} ({}^{L}G))\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}$,

где $K$ в $K(\mathrm {Rep} ({}^{L}G))$ обозначает группу Гротендика . Очевидно, это можно упростить до

$\mathrm {Perv} (Gr)\quad \xrightarrow {\sim } \quad \mathrm {Rep} ({}^{L}G)$,

что тем более является эквивалентностью таннакских категорий ( Гинзбург 2000 ).

Ссылки

• Гросс, Бенедикт Х. (1998), «Об изоморфизме Сатаке», представления Галуа в арифметической алгебраической геометрии (Дарем, 1996) , London Math. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 254, Cambridge University Press , стр. 223–237, doi : 10.1017/CBO9780511662010.006 , ISBN.  9780521644198 , МР   1696481
• Миркович, Иван; Вилонен, Кари (2007), «Геометрическая двойственность Ленглендса и представления алгебраических групп над коммутативными кольцами», Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95–143, arXiv : math/0401222 , doi : 10.4007/annals.2007.166 .95 , ISSN   0003-486X , MR   2342692 , S2CID   14127684
• Сатаке, Ичиро (1963), «Теория сферических функций на редуктивных алгебраических группах над p-адическими полями» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 18 (18): 5–69, doi : 10.1007/BF02684781 , ISSN   1618-1913 , МР   0195863 , S2CID   4666554
• Гинзбург, Виктор (2000). «Перверсные пучки на группе петель и двойственность Ленглендса». arXiv : alg-geom/9511007 .