Плетеная моноидальная категория

В математике ограничение коммутативности $\gamma$ по моноидальной категории ${\mathcal {C}}$ является выбором изоморфизма $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$ для каждой пары объектов A и B, образующих «естественное семейство». В частности, чтобы иметь ограничение коммутативности, необходимо иметь $A\otimes B\cong B\otimes A$ для всех пар объектов $A,B\in {\mathcal {C}}$ .

Скрученная моноидальная категория — это моноидальная категория. ${\mathcal {C}}$ снабженный оплеткой , т. е. ограничением коммутативности $\gamma$ который удовлетворяет аксиомам, включая тождества шестиугольника, определенные ниже. Термин «плетеный» указывает на тот факт, что группа кос играет важную роль в теории плетеных моноидальных категорий. Частично по этой причине плетеные моноидальные категории и другие темы связаны с теорией инвариантов узлов .

Альтернативно, плетеную моноидальную категорию можно рассматривать как трикатегорию с одной 0-ячейкой и одной 1-ячейкой.

Плетеные моноидальные категории были представлены Андре Джоялем и Росс Стрит в препринте 1986 года. ^[1] Модифицированная версия этой статьи была опубликована в 1993 году. ^[2]

Идентификаторы шестиугольников [ править ]

Для ${\mathcal {C}}$ наряду с ограничением коммутативности $\gamma$ чтобы называться плетеной моноидальной категорией, следующие шестиугольные диаграммы должны коммутировать для всех объектов $A,B,C\in {\mathcal {C}}$ . Здесь $\alpha$ — изоморфизм ассоциативности, исходящий из моноидальной структуры на ${\mathcal {C}}$ :

,

Свойства [ править ]

Согласованность [ править ]

Можно показать, что естественный изоморфизм $\gamma$ вместе с картами $\alpha ,\lambda ,\rho$ исходя из моноидальной структуры по категории ${\mathcal {C}}$ , удовлетворяют различным условиям когерентности , которые утверждают, что различные композиции структурных карт равны. В частности:

Оплетка коммутирует с единицами. То есть следующая диаграмма коммутирует:

Действие $\gamma$ на $N$ -сложите множители тензорного произведения через группу кос . В частности,

$(\gamma _{B,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,C})\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=({\text{Id}}\otimes \gamma _{A,B})\circ (\gamma _{A,C}\otimes {\text{Id}})\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})$

как карты $A\otimes B\otimes C\rightarrow C\otimes B\otimes A$ . Здесь мы не включили карты-ассоциаторы.

Вариации [ править ]

Существует несколько вариантов плетеных моноидальных категорий, которые используются в различных контекстах. См., например, объяснительную статью Сэвиджа (2009) для объяснения симметричных и кограничных моноидальных категорий и книгу Чари и Прессли (1995) для ленточных категорий.

Симметричные моноидальные категории [ править ]

Скрученная моноидальная категория называется симметричной, если $\gamma$ также удовлетворяет $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}$ для всех пар объектов $A$ и $B$ . В этом случае действие $\gamma$ на $N$ -кратные тензорные множители произведения через симметричную группу .

Категории ленты [ править ]

Скрученная моноидальная категория является ленточной категорией , если она жесткая и может сохранять квантовый и соквантовый след. Категории ленты особенно полезны при построении инвариантов узлов .

Кограничные моноидальные категории [ править ]

Кограничная или «кактусовая» моноидальная категория — это моноидальная категория. $(C,\otimes ,{\text{Id}})$ вместе с семейством естественных изоморфизмов $\gamma _{A,B}:A\otimes B\to B\otimes A$ со следующими свойствами:

$\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}$ для всех пар объектов $A$ и $B$ .
$\gamma _{B\otimes A,C}\circ (\gamma _{A,B}\otimes {\text{Id}})=\gamma _{A,C\otimes B}\circ ({\text{Id}}\otimes \gamma _{B,C})$

Первое свойство показывает нам, что $\gamma _{A,B}^{-1}=\gamma _{B,A}$ , что позволяет нам опустить аналог второй определяющей диаграммы плетеной моноидальной категории и игнорировать подразумеваемые отображения ассоциаторов.

Примеры [ править ]

Категория представлений группы (или алгебры Ли ) — это симметричная моноидальная категория, где $\gamma (v\otimes w)=w\otimes v$ .
Категория представлений квантованной универсальной обертывающей алгебры $U_{q}({\mathfrak {g}})$ – сплетенная моноидальная категория, где $\gamma$ строится с использованием универсальной R -матрицы . Фактически, этот пример также является категорией ленты.

Приложения [ править ]

Инварианты узлов .
Симметричные замкнутые моноидальные категории используются в денотационных моделях линейной логики и линейных типов .
Описание и классификация топологически упорядоченных квантовых систем.

Ссылки [ править ]

^ Андре Жойал; Росс Стрит (ноябрь 1986 г.), «Плетеные моноидальные категории» (PDF) , Macquarie Mathematics Reports (860081)
^ Андре Жойал; Росс Стрит (1993), «Категории плетеных тензоров», Успехи в математике , 102 : 20–78, doi : 10.1006/aima.1993.1055

Chari, Виджаянти ; Прессли, Эндрю. «Руководство по квантовым группам». Издательство Кембриджского университета. 1995.
Сэвидж, Алистер. Скрученные и кограничные моноидальные категории. Алгебры, представления и приложения, 229–251, Contemp. Матем., 483, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 2009. Доступно на arXiv.

Внешние ссылки [ править ]

Плетеная моноидальная категория в n Lab
Джон Баэз (1999), Введение в плетеные моноидальные категории , Находки этой недели по математической физике 137.

[1] Андре Жойал; Росс Стрит (ноябрь 1986 г.), «Плетеные моноидальные категории» (PDF) , Macquarie Mathematics Reports (860081)

[2] Андре Жойал; Росс Стрит (1993), «Категории плетеных тензоров», Успехи в математике , 102 : 20–78, doi : 10.1006/aima.1993.1055

[1]

[2]