Его версия

Версинус обнаруженная или версивный синус — это тригонометрическая функция, в некоторых из самых ранних ( санскритская Арьябхатия , ^[1]Раздел I) Тригонометрические таблицы . Версинус угла равен 1 минус его косинус .

Существует несколько связанных функций, в первую очередь коверсинус и гаверсинус . Последняя, полустиховая, имеет особое значение в гаверсинуальной формуле мореплавания.

Обзор

Стих ^[3]^[4]^[5]^[6]^[7] или разбирающийся синус ^[8]^[9]^[10]^[11]^[12] — это тригонометрическая функция , уже встречающаяся в некоторых из самых ранних тригонометрических таблиц. В формулах он обозначается сокращениями $versin$ , $sinver$ , ^[13]^[14] $стих$ , $вер$ ^[15] или $сив$ . ^[16]^[17] На латыни это известно как синус против (перевернутый синус), версинус , против или сагитта (стрелка). ^[18]

Выраженный через обычные тригонометрические функции синус, косинус и тангенс, версус равен $\operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}$

Есть несколько связанных функций, соответствующих версину:

Знающий косинус , ^[19]^{[номер 1]} или веркозин , сокращенно $веркозин$ , $веркос$ или $vcs$ .
Покрытый синус или коверсинус ^[20] (по латыни косинус против или коверсинус ), сокращенно $коверсин$ , ^[21] $обложки$ , ^[22]^[23]^[24] $cosiv$ или $cvs$ ^[25]
косинус Покрытый ^[26] или Covercosine , сокращенно $Covercosin$ , $Covercos$ или $CVC$

По полной аналогии с вышеупомянутыми четырьмя функциями существует еще один набор из четырех «половинных» функций:

Перевернутый синус ^[27] или гаверсинус (лат. semiversus ), ^[28]^[29] сокращенно $хаверсин$ , $семиверсин$ , $семиверсинус$ , $хаверс$ , $хав$ , ^[30]^[31] $хвс$ , ^{[номер 2]} $сем$ , или $хв$ , ^[32] наиболее известная из формулы хаверсина, исторически использовавшейся в мореплавании.
Перевернутый косинус ^[33] или хаверкозин , сокращенно $хаверкозин$ , $хаверкос$ , $hac$ или $hvc$
Хаковерсинус , хаковерсинус , ^[21] или кохаверсин , сокращенно $хаковерсин$ , $семиковерсин$ , $хаковерс$ , $хаков$ ^[34] или $гепатит С$
Покрытый косинус , ^[35] хаковеркозин , или кохаверкозин , сокращенно $хаковеркозин$ , $хаковеркос$ или $hcc$

История и приложения

Версинус и коверсинус

Синус, косинус и версинус угла θ в единицах окружности радиуса 1 с центром в O. точке Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой стих иногда называли сагиттой , что на латыни означает стрела . ^[18]^[36] Если дугу *ADB* двойного угла Δ = 2 θ рассматривать как « лук », а хорду AB как его «струну», то версина CD явно является «стержнем стрелы».

Обыкновенную синусоидальную функцию ( см. примечание по этимологии ) иногда исторически называли sinusrectus («прямой синус»), чтобы противопоставить ее развернутому синусу ( «синус против» ). ^[37] Значение этих терминов становится очевидным, если посмотреть на функции в исходном контексте их определения — единичном круге :

Для вертикальной хорды AB единичной окружности синус угла θ (представляющий половину стянутого угла Δ ) равен расстоянию AC (половина хорды). С другой стороны, перевернутый синус θ — это расстояние CD от центра хорды до центра дуги. Таким образом, сумма cos( θ ) (равная длине линии OC ) и versin( θ ) (равная длине линии CD ) представляет собой радиус OD (длиной 1). Проиллюстрированный таким образом, синус вертикальен ( прямая мышца , буквально «прямой»), тогда как версина горизонтальна ( vs , буквально «повернут против, неуместен»); оба являются расстояниями от C до окружности.

Этот рисунок также иллюстрирует причину, по которой стих иногда называли сагиттой , что на латыни означает стрела . ^[18]^[36] Если дугу ADB двойного угла Δ = 2 θ рассматривать как « лук », а хорду AB как его «струну», то версина CD явно является «стержнем стрелы».

В соответствии с интерпретацией синуса как «вертикального» и перевернутого синуса как «горизонтального», сагитта также является устаревшим синонимом абсциссы ( горизонтальной оси графика). ^[36]

В 1821 году Коши использовал термины синус против ( siv ) для версинуса и косинус против ( cosiv ) для коверсинуса. ^[16]^[17]^{[номер 1]}

Исторически перевернутый синус считался одной из важнейших тригонометрических функций. ^[12]^[37]^[38]

Поскольку θ стремится к нулю, версина ( θ ) представляет собой разницу между двумя почти равными величинами, поэтому пользователю тригонометрической таблицы только для косинуса потребуется очень высокая точность для получения версинуса, чтобы избежать катастрофического сокращения , создавая отдельные таблицы. для последнего удобно. ^[12] Даже при наличии калькулятора или компьютера ошибки округления делают целесообразным использовать грех ² формула для малых θ .

Еще одним историческим преимуществом версуса является то, что он всегда неотрицательен, поэтому его логарифм определен везде, за исключением единственного угла ( θ = 0, 2 $π$ ,…), где он равен нулю — таким образом, можно использовать логарифмические таблицы. для умножения в формулах, содержащих версины.

Фактически, самая ранняя сохранившаяся таблица значений синуса (полухорды ) (в отличие от аккордов, составленных Птолемеем и другими греческими авторами), рассчитанная на основе индийской Сурья Сиддханты, датируемая III веком до нашей эры, представляла собой таблицу значений для синуса и обратного синуса (с шагом 3,75° от 0 до 90°). ^[37]

Версина появляется как промежуточный шаг в применении формулы половинного угла sin. ²( ⁠ θ / 2 ⁠ ) = ⁠ 1/2 θ ) ⁠ versin( . , выведенный Птолемеем , который использовался для построения таких таблиц

Хаверсин

Хаверсинус, в частности, был важен в навигации , поскольку он появляется в формуле гаверсинуса , которая используется для достаточно точного расчета расстояний на астрономическом сфероиде (см. проблемы с радиусом Земли по сравнению со сферой ) с учетом угловых положений (например, долготы и широты). ). Можно также использовать грех ²( ⁠ θ / 2 ⁠ ) напрямую, но наличие таблицы гаверсинусов избавило от необходимости вычислять квадраты и квадратные корни. ^[12]

Раннее использование Хосе де Мендоса-и-Риосом того, что позже будет называться хаверсином, задокументировано в 1801 году. ^[14]^[39]

Первый известный английский эквивалент таблицы гаверсинусов был опубликован Джеймсом Эндрю в 1805 году под названием «Квадраты натуральных полухорд». ^[40]^[41]^[18]

термин хаверсинус (естественно обозначаемый как hav. или логарифмически по основанию 10 как log. Haversine или log. Havers. ). В 1835 году был придуман ^[42] Джеймс Инман ^[14]^[43]^[44] в третьем издании своей работы «Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками», чтобы упростить расчет расстояний между двумя точками на поверхности Земли с использованием сферической тригонометрии для приложений в навигации. ^[3]^[42] Инман также использовал термины nat. версина и физ. вер. для версинов. ^[3]

Другими высоко оцененными таблицами гаверсинусов были таблицы Ричарда Фарли в 1856 году. ^[40]^[45] и Джон Колфилд Хэннингтон в 1876 году. ^[40]^[46]

Гаверсинус продолжает использоваться в навигации и в последние десятилетия нашел новые применения, например, в методе Брюса Д. Старка для определения лунных расстояний с использованием гауссовских логарифмов с 1995 года. ^[47]^[48] или более компактный метод уменьшения прицела с 2014 года. ^[32]

Современное использование

Хотя использование версина, коверсинуса и гаверсина, а также их обратных функций можно проследить на протяжении столетий, названия остальных пяти кофункций, по-видимому, имеют гораздо более молодое происхождение.

Один период (0 < θ < 2 π ) версинусной или, чаще, хаверсинусной (или гаверкосинусоидальной) формы сигнала также широко используется в теории обработки сигналов и управления как форма импульса или оконная функция (включая Ханна , Ханна – окна Пуассона и Тьюки ), поскольку оно плавно ( непрерывно по значению и наклону ) «включается» от нуля до единицы (по гаверсинусу) и обратно к нулю. ^{[номер 2]} В этих приложениях она называется функцией Ханна или фильтром повышенного косинуса . Точно так же хаверкосинус используется в распределениях приподнятого косинуса в теории вероятностей и статистике .

В форме греха ²( θ ) хаверсинус двойного угла Δ описывает связь между разбросами и углами в рациональной тригонометрии , предложенной переформулировке метрической плоской и объемной геометрии Норманом Джоном Уайлдбергером с 2005 года. ^[49]

Математические тождества

Определения

${\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,$ ^[4]
${\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,$ ^[4]
${\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,$ ^[19]
${\textrm {covercosin}}(\theta ):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,$ ^[26]
${\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,$ ^[4]
${\textrm {hacoversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,$ ^[21]
${\textrm {havercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}=\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,$ ^[33]
${\textrm {hacovercosin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,$ ^[35]

Круговые вращения

Функции представляют собой круговое вращение друг друга.

{\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}

Производные и интегралы

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}$ ^[50]	$\int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C$ ^[4]^[50]
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}$	$\int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}$ ^[20]	$\int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C$ ^[20]
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}$	$\int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}$ ^[27]	$\int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C$ ^[27]
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}$	$\int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}$	$\int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C$
${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}$	$\int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C$

Обратные функции

Обратные функции, такие как аркверсинус ^[34] (аркверсин, аркверс, ^[8]^[34] аверс, ^[51]^[52] авер), аркверкосинус (аркверкозин, аркверкос, аверкос, avcs), аркковерсинус ^[34] (arccoversin, Arccovers, ^[8]^[34] охватывает, ^[51]^[52] acvs), аркковеркосинус (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), аркаверсинус (archaversin, arcav, ^[34] хаверсин ⁻¹, ^[53] invhav, ^[34]^[54]^[55]^[56] ahav, ^[34]^[51]^[52] обезьяна, обезьяна, обезьяна ⁻¹^[57]^[58]), арчаверкозин (archacovercosin,archavercos, ahvc), архаковерсин (archacoversin, ahcv) или архаверкозин (archacovercosin,archacovercos,ahcc) существуют также:

$\operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)\,$ ^[34]^[51]^[52]
$\operatorname {arcvercos} (y)=\arccos \left(y-1\right)\,$
$\operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)\,$ ^[34]^[51]^[52]
$\operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(y-1\right)\,$
$\operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,$ ^[34]^[51]^[52]^[53]^[54]^[55]^[57]^[58]
$\operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(2y-1\right)$
$\operatorname {archacoversin} (y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,$
$\operatorname {archacovercos} (y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,$

Другие объекты недвижимости

Эти функции могут быть расширены на комплексную плоскость . ^[50]^[20]^[27]

Серия Маклорен : ^[27]

{\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0

^[8]

{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}

^[8]

Приближения

Когда версина v мала по сравнению с радиусом r , ее можно аппроксимировать по длине полухорды L (расстояние AC, показанное выше) по формуле ^[59] $v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.$

В качестве альтернативы, если версинуса мала и известны версинуса, радиус и длина полухорды, их можно использовать для оценки длины дуги s ( AD на рисунке выше) по формуле $s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}$ Эта формула была известна китайскому математику Шэнь Го , а более точная формула, также включающая сагитту, была разработана два столетия спустя Го Шоуцзином . ^[60]

Более точное приближение, используемое в технике ^[61] является $v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}$

Произвольные кривые и хорды

Термин «версина» также иногда используется для описания отклонений от прямолинейности произвольной плоской кривой, частным случаем которой является приведенный выше круг. Учитывая хорду между двумя точками кривой, перпендикулярное расстояние v от хорды до кривой (обычно в средней точке хорды) называется версусным измерением. Для прямой версинуса любой хорды равна нулю, поэтому это измерение характеризует прямолинейность кривой. В пределе обращения длины хорды L к нулю соотношение ⁠ 8 В / Л ²⁠ переходит к мгновенной кривизне . Это использование особенно распространено на железнодорожном транспорте , где оно описывает измерения прямолинейности железнодорожных путей. ^[62] и это является основой метода Халлада для съемки железных дорог .

Термин сагитта (часто сокращенно сагитта ) используется аналогично в оптике для описания поверхностей линз и зеркал .

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Некоторые английские источники путают понятный косинус с скрытым синусом. Исторически (например, в Коши, 1821 г. ) соотношение синуса и (версины) определялось как siv( θ ) = 1−cos( θ ), а соотношение косинуса (то, что сейчас также известно как коверсинус) как cosiv( θ ) = 1− sin( θ ) и веркосинус как vcs θ = 1+cos( θ ). Однако в своем английском переводе работы Коши в 2009 году Брэдли и Сандифер связывают косинус и косинус (и cosiv) с ориентированным косинусом (то, что теперь также известно как веркозин), а не с покрытым синусом . Точно так же в своей работе 1968/2000 года Корн и Корн связывают функцию покрытия ( θ ) с ориентированным косинусом вместо покрытого синуса .
^ Перейти обратно: ^а ^б Аббревиатура hvs, иногда используемая для функции хаверсинуса при обработке и фильтрации сигналов, также иногда используется для несвязанной ступенчатой функции Хевисайда .

Ссылки

^ Арьябхатия Арьябхаты
^ Хаслетт, Чарльз (сентябрь 1855 г.). Хакли, Чарльз В. (ред.). Практический справочник механика, машиниста, инженера: содержит таблицы и формулы для использования при поверхностных и твердых измерениях; прочность и вес материалов; механика; техника; гидравлика, гидродинамика; судовые двигатели, химия; и разные рецепты. Адаптирован для использования всеми классами практической механики. Вместе с полевой книгой инженера: содержит формулы для различных операций движения и смены линий, определения местоположения боковых путей и стрелок и т. д. и т. д. Таблицы радиусов и их логарифмов, натуральных и логарифмических линейных синусов и внешних секущих, натуральных синусов и тангенсов в каждом градусе и минуте квадранта, а также логарифмов из натуральных чисел от 1 до 10 000 . Нью-Йорк, США: Джеймс Г. Грегори, преемник WA Townsend & Co. (Stringer & Townsend) . Проверено 13 августа 2017 г. […] Тем не менее, потребуется много вычислительной работы, которую можно сэкономить, используя таблицы внешних секущих. и вертикальные синусы , которые в последнее время с большим успехом применялись инженерами на железной дороге Огайо и Миссисипи и которые вместе с формулами и правилами, необходимыми для их применения при построении кривых, составлены г-ном Хаслеттом, одним из «Инженеры этой дороги» теперь впервые представлены публике. […] Представляя эту работу публике, Автор утверждает, что она представляет собой адаптацию нового принципа тригонометрического анализа формул, обычно используемых в полевых расчетах. Опыт показал, что сопоставляемые синусы и внешние секущие так же часто входят в расчеты кривых, как синусы и тангенсы; и благодаря их использованию, как показано в примерах, приведенных в этой работе, считается, что многие из общепринятых правил значительно упрощаются, а многие вычисления, касающиеся кривых и бегущих линий, становятся менее сложными, а результаты получаются с большей точностью и дальностью. меньше хлопот, чем при использовании любых методов, изложенных в работах такого рода. Все приведенные примеры были подсказаны реальной практикой и поясняются сами собой. […] Будучи книгой для практического использования в полевых работах, можно с уверенностью полагать, что она более прямолинейно применяет правила и облегчает расчеты, чем любая другая работа, используемая сейчас. В дополнение к таблицам, обычно встречающимся в книгах такого рода, автор с большим трудом подготовил таблицу натуральных и логарифмических вертикальных синусов и внешних секущих, рассчитанных в градусах для каждой минуты; также Таблица радиусов и их логарифмов от 1° до 60°. […] издание 1856 года
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Инман, Джеймс (1835) [1821]. Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками (3-е изд.). Лондон, Великобритания: В. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон . Проверено 9 ноября 2015 г. (Четвертое издание: [1] .)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Цукер, Рут (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 4.3.147: Элементарные трансцендентные функции — Круговые функции» . В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 78. ИСБН 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ Тэпсон, Фрэнк (2004). «Справочные сведения о мерах: углы» . 1.4. Расколоть книги. Архивировано из оригинала 9 февраля 2007 г. Проверено 12 ноября 2015 г.
^ Олдхэм, Кейт Б.; Майланд, Ян К.; Спанье, Джером (2009) [1987]. «32.13. Функции Cosine cos(x) и Sine sin(x) — Родственные функции». Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . п. 322 . дои : 10.1007/978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48806-6 . LCCN 2008937525 .
^ Биб, Нельсон ХФ (22 августа 2017 г.). «Глава 11.1. Свойства синуса и косинуса». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . п. 301. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6 . LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Обзор упражнений [100] Вторичные тригонометрические функции». Написано в Анн-Арборе, штат Мичиган, США. Тригонометрия . Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Генри Холт и компания / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс, США. стр. 125–127 . Проверено 12 августа 2017 г.
^ Бойер, Карл Бенджамин (1969) [1959]. «5: Комментарий к статье Э. Дж. Дейкстерхейса (Происхождение классической механики от Аристотеля до Ньютона)». В Кладжетте, Маршалл (ред.). Критические проблемы истории науки (3-е изд.). Мэдисон, Милуоки и Лондон: University of Wisconsin Press, Ltd., стр. 185–190. ISBN 0-299-01874-1 . LCCN 59-5304 . 9780299018740 . Проверено 16 ноября 2015 г.
^ Суонсон, Тодд; Андерсен, Джанет; Кили, Роберт (1999). «5 (Тригонометрические функции)» (PDF) . Предварительное исчисление: исследование функций и их приложений . Харкорт Брейс и компания . п. 344. Архивировано (PDF) из оригинала 17 июня 2003 г. Проверено 12 ноября 2015 г.
^ Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза М. (2000) [1961]. «Приложение B: B9. Плоская и сферическая тригонометрия: формулы, выраженные через функцию гаверсуса». Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc., стр. 892–893 . ISBN 978-0-486-41147-7 . (См . опечатки .)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Калверт, Джеймс Б. (14 сентября 2007 г.) [10 января 2004 г.]. «Тригонометрия» . Архивировано из оригинала 2 октября 2007 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
^ Эдлер фон Браунмюль, Антон (1903). Лекции по истории тригонометрии - от изобретения логарифмов до наших дней [ Лекции по истории тригонометрии - от изобретения логарифмов до наших дней ] (на немецком языке). Том 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер . п. 231 . Проверено 9 декабря 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений . Том. 2 (2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г.) изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . п. 172. ИСБН 978-1-60206-714-1 . 1602067147 . Проверено 11 ноября 2015 г. Гаверсинус впервые появляется в таблицах логарифмических стихов Хосе де Мендоса-и-Риоса (Мадрид, 1801 г., также 1805, 1809 г.), а затем в трактате Джеймса Инмана о мореплавании (1821 г.). См. Дж. Д. Уайта в журнале Nautical Magazine ( февраль и июль 1926 г. ). (Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
^ Шейнифелт, Тед В. «Заметки о кругах, Джонсе и Кейсе: Что такое хаковеркосин?» . Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 19 сентября 2015 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Коши, Огюстен-Луи (1821). «Алгебраический анализ». Курс анализа Королевской политехнической школы (на французском языке). Полет. 1. Королевская типография, братья Дебуре, книготорговцы короля и королевская библиотека . access-date=2015-11-07 --> (переиздано издательством Cambridge University Press , 2009 г.; ISBN 978-1-108-00208-0 )
^ Перейти обратно: ^а ^б Брэдли, Роберт Э.; Сандифер, Чарльз Эдвард (14 января 2010 г.) [2009]. Бухвальд, Дж. З. (ред.). Курс анализа Коши: аннотированный перевод . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Коши, Огюстен-Луи . Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . стр. 10, 285. doi : 10.1007/978-1-4419-0549-9 . ISBN 978-1-4419-0548-2 . LCCN 2009932254 . 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Проверено 9 ноября 2015 г. (См . опечатки .)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ван Бруммелен, Глен Роберт (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691148922 . 0691148929 . Проверено 10 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Веркозин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 24 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Коверсин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 27 ноября 2005 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаковерсин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
^ Ладлоу, Генри Хант; Басс, Эдгар Уэльс (1891). Элементы тригонометрии с логарифмическими и другими таблицами (3-е изд.). Бостон, США: John Wiley & Sons . п. 33 . Проверено 8 декабря 2015 г.
^ Вентворт, Джордж Альберт (1903) [1887]. Плоская тригонометрия (2-е изд.). Бостон, США: Джинн и компания . п. 5 .
^ Кеньон, Альфред Монро; Ингольд, Луи (1913). Тригонометрия . Нью-Йорк, США: Компания Macmillan . стр 8–9 . . Проверено 8 декабря 2015 г.
^ Андерегг, Фредерик; Роу, Эдвард Дрейк (1896). Тригонометрия: для школ и колледжей . Бостон, США: Джинн и компания . п. 10 . Проверено 8 декабря 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Коверкосинус» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 28 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаверсине» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 10 марта 2005 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
^ Фулст, Отто (1972). «17, 18». В Лютьене, Йоханнес; Стоун, Уолтер; Цвиблер, Герхард (ред.). Морские таблицы (на немецком языке) (24-е изд.). Бремен, Германия: Артур Гейст Верлаг.
^ Зауэр, Франк (2015) [2004]. «Метод полуверсуса: логарифмический расчет высоты» (на немецком языке). Хотхайм-ам-Таунус, Германия: Astrosail. Архивировано из оригинала 17 сентября 2013 г. Проверено 12 ноября 2015 г.
^ Райдер, Пол Рис; Дэвис, Альфред (1923). Плоская тригонометрия . Нью-Йорк, США: Компания Д. Ван Ностранда . п. 42 . Проверено 8 декабря 2015 г.
^ «Хаверсине» . Язык и система Wolfram: Центр документации . 7.0. 2008. Архивировано из оригинала 1 сентября 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Рудзински, Грег (июль 2015 г.). «Сверхкомпактный прицел-редуктор» . Океанский навигатор (227). Икс, Ханно. Портленд, Мэн, США: Navigator Publishing LLC: 42–43. ISSN 0886-0149 . Проверено 7 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаверкозин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ван Влеймен, Оскар (28 декабря 2005 г.) [2003]. «Гониология» . Единицы измерения, константы и преобразования . Архивировано из оригинала 28 октября 2009 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаковеркозин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с «Сагитта» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации .)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута К. (6 марта 1991 г.) [1968]. История математики (2-е изд.). Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons . ISBN 978-0471543978 . 0471543977 . Проверено 10 августа 2019 г.
^ Миллер, Джефф (10 сентября 2007 г.). «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов (V)» . Нью-Порт-Ричи, Флорида, США. Архивировано из оригинала 5 сентября 2015 г. Проверено 10 ноября 2015 г.
^ де Мендоса-и-Риос, Джозеф (1795). Память о некоторых новых методах расчета долготы по лунным расстояниям: и применении ее теории к решению других навигационных задач (на испанском языке). Мадрид, Испания: Имрента Реал.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Арчибальд, Раймонд Клэр (1945). «Недавние математические таблицы: 197 [C, D]. — Натуральные и логарифмические гаверсины …» Математические таблицы и другие средства вычислений . 1 (11): 421–422. дои : 10.1090/S0025-5718-45-99080-6 .
^ Эндрю, Джеймс (1805). Астрономические и морские таблицы с правилами определения широты и долготы мест . Том. Т. XIII. Лондон. стр. 29–148. (7-значная таблица гаверсинусов от 0° до 120° с шагом 10 дюймов.)
^ Перейти обратно: ^а ^б «гаверсин». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.
^ Уайт, JD (февраль 1926 г.). «(неизвестное название)». Морской журнал . (Примечание. Согласно Каджори, 1929 г. , в этом журнале обсуждается происхождение гаверсинусов.)
^ Уайт, JD (июль 1926 г.). «(неизвестное название)». Морской журнал . (Примечание. Согласно Каджори, 1929 г. , в этом журнале обсуждается происхождение гаверсинусов.)
^ Фарли, Ричард (1856). Натуральные вертикальные синусы от 0 до 125° и логарифмические вертикальные синусы от 0 до 135° . Лондон. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) ( таблица гаверсинусов от 0° до 125°/135°.)
^ Хэннингтон, Джон Колфилд (1876). Хаверсины, натуральные и логарифмические, используемые при вычислении лунных расстояний для Морского альманаха . Лондон. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) (7-местная таблица гаверсинусов от 0° до 180°, лог. гаверсинусов с интервалом 15", натур. гаверсинусов с интервалом 10".)
^ Старк, Брюс Д. (1997) [1995]. Таблицы Старка для определения лунного расстояния и определения всемирного времени путем секстантных наблюдений, включая удобный способ отточить навыки небесной навигации на суше (2-е изд.). Публикации Звездного пути. ISBN 978-0914025214 . 091402521X . Проверено 2 декабря 2015 г. (Примечание. Содержит таблицу гауссовских логарифмов lg (1+10 ^-х).)
^ Каливода, Ян (30 июля 2003 г.). «Брюс Старк - Таблицы для определения лунного расстояния и определения времени по Гринвичу с помощью секстантных наблюдений (1995, 1997)» (обзор). Прага, Чехия. Архивировано из оригинала 12 января 2004 г. Проверено 2 декабря 2015 г. [2] [3]
^ Вильдбергер, Норман Джон (2005). Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии (1-е изд.). Wild Egg Pty Ltd. Австралия: ISBN 0-9757492-0-Х . Проверено 1 декабря 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Версина» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 31 марта 2010 г. Проверено 5 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Симпсон, Дэвид Г. (08 ноября 2001 г.). «AUXTRIG» ( исходный код на Фортране 90 ). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА . Архивировано из оригинала 16 июня 2008 г. Проверено 26 октября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ван ден Доэл, Кес (25 января 2010 г.). "jass.utils Класс Fmath" . JASS — Java-система синтеза аудио . 1.25. Архивировано из оригинала 2 сентября 2007 г. Проверено 26 октября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б mf344 (04 июля 2014 г.). «Потерянный, но прекрасный: Гаверсинус» . Плюс журнал . maths.org. Архивировано из оригинала 18 июля 2014 г. Проверено 5 ноября 2015 г. {{cite news}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Перейти обратно: ^а ^б Скварц, Юре (1 марта 1999 г.). «identify.py: клиент asteroid_server, который идентифицирует измерения в формате MPC» . Fitsblink ( исходный код Python ). Архивировано из оригинала 20 ноября 2008 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Скварц, Юре (27 октября 2014 г.). «astrotrig.py: Функции, связанные с астрономической тригонометрией» ( исходный код Python ). Любляна, Словения: Телескоп Вега, Люблянский университет . Архивировано из оригинала 28 ноября 2015 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
^ Баллью, Пэт (08 февраля 2007 г.) [2003]. «Версина» . Математические слова, страница 4 . Версин. Архивировано из оригинала 8 февраля 2007 г. Проверено 28 ноября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Обратный гаверсинус» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 8 июня 2008 г. Проверено 5 октября 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Обратный Хаверсинус» . Язык и система Wolfram: Центр документации . 7.0. 2008 год . Проверено 5 ноября 2015 г.
^ Вудворд, Эрнест (декабрь 1978 г.). Геометрия — плоскость, тело и аналитическое решение задач . Руководства по решению проблем для решения проблем. Ассоциация исследований и образования (REA). п. 359. ИСБН 978-0-87891-510-1 .
^ Нидхэм, Ноэль Джозеф Теренс Монтгомери (1959). Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небе и земле . Том. 3. Издательство Кембриджского университета . п. 39. ИСБН 9780521058018 .
^ Бордман, Гарри (1930). Таблица для использования при вычислении дуг, хорд и версин . Чикагская мостовая и железная компания . п. 32.
^ Наир, П.Н. Бхаскаран (1972). «Системы измерения пути - концепции и методы». Рейл Интернешнл . 3 (3). Международная ассоциация железнодорожных конгрессов, Международный союз железных дорог : 159–166. ISSN 0020-8442 . OCLC 751627806 .

Дальнейшее чтение

Хокинг, Стивен Уильям , изд. (2002). На плечах гигантов: великие труды физики и астрономии . Филадельфия, США: Беговая пресса . ISBN 0-7624-1698-Х . LCCN 2002100441 . Проверено 31 июля 2017 г.

Внешние ссылки

[vercosine_vs._coversine-20] Перейти обратно: ^а ^б Некоторые английские источники путают понятный косинус с скрытым синусом. Исторически (например, в Коши, 1821 г. ) соотношение синуса и (версины) определялось как siv( θ ) = 1−cos( θ ), а соотношение косинуса (то, что сейчас также известно как коверсинус) как cosiv( θ ) = 1− sin( θ ) и веркосинус как vcs θ = 1+cos( θ ). Однако в своем английском переводе работы Коши в 2009 году Брэдли и Сандифер связывают косинус и косинус (и cosiv) с ориентированным косинусом (то, что теперь также известно как веркозин), а не с покрытым синусом . Точно так же в своей работе 1968/2000 года Корн и Корн связывают функцию покрытия ( θ ) с ориентированным косинусом вместо покрытого синуса .

[hvs-33] Перейти обратно: ^а ^б Аббревиатура hvs, иногда используемая для функции хаверсинуса при обработке и фильтрации сигналов, также иногда используется для несвязанной ступенчатой функции Хевисайда .

[1] Арьябхатия Арьябхаты

[Haslett_1855-2] Хаслетт, Чарльз (сентябрь 1855 г.). Хакли, Чарльз В. (ред.). Практический справочник механика, машиниста, инженера: содержит таблицы и формулы для использования при поверхностных и твердых измерениях; прочность и вес материалов; механика; техника; гидравлика, гидродинамика; судовые двигатели, химия; и разные рецепты. Адаптирован для использования всеми классами практической механики. Вместе с полевой книгой инженера: содержит формулы для различных операций движения и смены линий, определения местоположения боковых путей и стрелок и т. д. и т. д. Таблицы радиусов и их логарифмов, натуральных и логарифмических линейных синусов и внешних секущих, натуральных синусов и тангенсов в каждом градусе и минуте квадранта, а также логарифмов из натуральных чисел от 1 до 10 000 . Нью-Йорк, США: Джеймс Г. Грегори, преемник WA Townsend & Co. (Stringer & Townsend) . Проверено 13 августа 2017 г. […] Тем не менее, потребуется много вычислительной работы, которую можно сэкономить, используя таблицы внешних секущих. и вертикальные синусы , которые в последнее время с большим успехом применялись инженерами на железной дороге Огайо и Миссисипи и которые вместе с формулами и правилами, необходимыми для их применения при построении кривых, составлены г-ном Хаслеттом, одним из «Инженеры этой дороги» теперь впервые представлены публике. […] Представляя эту работу публике, Автор утверждает, что она представляет собой адаптацию нового принципа тригонометрического анализа формул, обычно используемых в полевых расчетах. Опыт показал, что сопоставляемые синусы и внешние секущие так же часто входят в расчеты кривых, как синусы и тангенсы; и благодаря их использованию, как показано в примерах, приведенных в этой работе, считается, что многие из общепринятых правил значительно упрощаются, а многие вычисления, касающиеся кривых и бегущих линий, становятся менее сложными, а результаты получаются с большей точностью и дальностью. меньше хлопот, чем при использовании любых методов, изложенных в работах такого рода. Все приведенные примеры были подсказаны реальной практикой и поясняются сами собой. […] Будучи книгой для практического использования в полевых работах, можно с уверенностью полагать, что она более прямолинейно применяет правила и облегчает расчеты, чем любая другая работа, используемая сейчас. В дополнение к таблицам, обычно встречающимся в книгах такого рода, автор с большим трудом подготовил таблицу натуральных и логарифмических вертикальных синусов и внешних секущих, рассчитанных в градусах для каждой минуты; также Таблица радиусов и их логарифмов от 1° до 60°. […] издание 1856 года

[Inman_1835-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Инман, Джеймс (1835) [1821]. Навигация и морская астрономия: для использования британскими моряками (3-е изд.). Лондон, Великобритания: В. Вудворд, К. и Дж. Ривингтон . Проверено 9 ноября 2015 г. (Четвертое издание: [1] .)

[Abramowitz_1972-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Цукер, Рут (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 4.3.147: Элементарные трансцендентные функции — Круговые функции» . В Абрамовице, Милтон ; Стегун, Ирен Энн (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 78. ИСБН 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .

[Tapson_2004-5] Тэпсон, Фрэнк (2004). «Справочные сведения о мерах: углы» . 1.4. Расколоть книги. Архивировано из оригинала 9 февраля 2007 г. Проверено 12 ноября 2015 г.

[Atlas_2009-6] Олдхэм, Кейт Б.; Майланд, Ян К.; Спанье, Джером (2009) [1987]. «32.13. Функции Cosine cos(x) и Sine sin(x) — Родственные функции». Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . п. 322 . дои : 10.1007/978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48806-6 . LCCN 2008937525 .

[Beebe_2017-7] Биб, Нельсон ХФ (22 августа 2017 г.). «Глава 11.1. Свойства синуса и косинуса». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . п. 301. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6 . LCCN 2017947446 . S2CID 30244721 .

[Hall_1909-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Обзор упражнений [100] Вторичные тригонометрические функции». Написано в Анн-Арборе, штат Мичиган, США. Тригонометрия . Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Генри Холт и компания / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс, США. стр. 125–127 . Проверено 12 августа 2017 г.

[Clagett_1969-9] Бойер, Карл Бенджамин (1969) [1959]. «5: Комментарий к статье Э. Дж. Дейкстерхейса (Происхождение классической механики от Аристотеля до Ньютона)». В Кладжетте, Маршалл (ред.). Критические проблемы истории науки (3-е изд.). Мэдисон, Милуоки и Лондон: University of Wisconsin Press, Ltd., стр. 185–190. ISBN 0-299-01874-1 . LCCN 59-5304 . 9780299018740 . Проверено 16 ноября 2015 г.

[Precalc_1999-10] Суонсон, Тодд; Андерсен, Джанет; Кили, Роберт (1999). «5 (Тригонометрические функции)» (PDF) . Предварительное исчисление: исследование функций и их приложений . Харкорт Брейс и компания . п. 344. Архивировано (PDF) из оригинала 17 июня 2003 г. Проверено 12 ноября 2015 г.

[Korn_2000-11] Корн, Грандино Артур; Корн, Тереза М. (2000) [1961]. «Приложение B: B9. Плоская и сферическая тригонометрия: формулы, выраженные через функцию гаверсуса». Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc., стр. 892–893 . ISBN 978-0-486-41147-7 . (См . опечатки .)

[Calvert_2004-12] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Калверт, Джеймс Б. (14 сентября 2007 г.) [10 января 2004 г.]. «Тригонометрия» . Архивировано из оригинала 2 октября 2007 г. Проверено 8 ноября 2015 г.

[Braunmühl_1903-13] Эдлер фон Браунмюль, Антон (1903). Лекции по истории тригонометрии - от изобретения логарифмов до наших дней [ Лекции по истории тригонометрии - от изобретения логарифмов до наших дней ] (на немецком языке). Том 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер . п. 231 . Проверено 9 декабря 2015 г.

[Cajori_1929-14] Перейти обратно: ^а ^б ^с Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. История математических обозначений . Том. 2 (2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г.) изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . п. 172. ИСБН 978-1-60206-714-1 . 1602067147 . Проверено 11 ноября 2015 г. Гаверсинус впервые появляется в таблицах логарифмических стихов Хосе де Мендоса-и-Риоса (Мадрид, 1801 г., также 1805, 1809 г.), а затем в трактате Джеймса Инмана о мореплавании (1821 г.). См. Дж. Д. Уайта в журнале Nautical Magazine ( февраль и июль 1926 г. ). (Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)

[Shaneyfelt-15] Шейнифелт, Тед В. «Заметки о кругах, Джонсе и Кейсе: Что такое хаковеркосин?» . Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 19 сентября 2015 г. Проверено 8 ноября 2015 г.

[Cauchy_1821-16] Перейти обратно: ^а ^б Коши, Огюстен-Луи (1821). «Алгебраический анализ». Курс анализа Королевской политехнической школы (на французском языке). Полет. 1. Королевская типография, братья Дебуре, книготорговцы короля и королевская библиотека . access-date=2015-11-07 --> (переиздано издательством Cambridge University Press , 2009 г.; ISBN 978-1-108-00208-0 )

[Bradley_2009-17] Перейти обратно: ^а ^б Брэдли, Роберт Э.; Сандифер, Чарльз Эдвард (14 января 2010 г.) [2009]. Бухвальд, Дж. З. (ред.). Курс анализа Коши: аннотированный перевод . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Коши, Огюстен-Луи . Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО . стр. 10, 285. doi : 10.1007/978-1-4419-0549-9 . ISBN 978-1-4419-0548-2 . LCCN 2009932254 . 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Проверено 9 ноября 2015 г. (См . опечатки .)

[Brummelen_2013-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ван Бруммелен, Глен Роберт (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691148922 . 0691148929 . Проверено 10 ноября 2015 г.

[Weisstein_vercos-19] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Веркозин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 24 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.

[Weisstein_covers-21] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Коверсин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 27 ноября 2005 г. Проверено 6 ноября 2015 г.

[Weisstein_hacoversin-22] Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаковерсин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.

[Ludlow_1891-23] Ладлоу, Генри Хант; Басс, Эдгар Уэльс (1891). Элементы тригонометрии с логарифмическими и другими таблицами (3-е изд.). Бостон, США: John Wiley & Sons . п. 33 . Проверено 8 декабря 2015 г.

[Wentworth_1903-24] Вентворт, Джордж Альберт (1903) [1887]. Плоская тригонометрия (2-е изд.). Бостон, США: Джинн и компания . п. 5 .

[Kenyon_1913-25] Кеньон, Альфред Монро; Ингольд, Луи (1913). Тригонометрия . Нью-Йорк, США: Компания Macmillan . стр 8–9 . . Проверено 8 декабря 2015 г.

[Anderegg_1896-26] Андерегг, Фредерик; Роу, Эдвард Дрейк (1896). Тригонометрия: для школ и колледжей . Бостон, США: Джинн и компания . п. 10 . Проверено 8 декабря 2015 г.

[Weisstein_covercos-27] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Коверкосинус» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 28 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.

[Weisstein_hav-28] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаверсине» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 10 марта 2005 г. Проверено 6 ноября 2015 г.

[Fulst_1972-29] Фулст, Отто (1972). «17, 18». В Лютьене, Йоханнес; Стоун, Уолтер; Цвиблер, Герхард (ред.). Морские таблицы (на немецком языке) (24-е изд.). Бремен, Германия: Артур Гейст Верлаг.

[Sauer_2015-30] Зауэр, Франк (2015) [2004]. «Метод полуверсуса: логарифмический расчет высоты» (на немецком языке). Хотхайм-ам-Таунус, Германия: Astrosail. Архивировано из оригинала 17 сентября 2013 г. Проверено 12 ноября 2015 г.

[Rider_1923-31] Райдер, Пол Рис; Дэвис, Альфред (1923). Плоская тригонометрия . Нью-Йорк, США: Компания Д. Ван Ностранда . п. 42 . Проверено 8 декабря 2015 г.

[Wolfram_hav-32] «Хаверсине» . Язык и система Wolfram: Центр документации . 7.0. 2008. Архивировано из оригинала 1 сентября 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.

[Rudzinski_2015-34] Перейти обратно: ^а ^б Рудзински, Грег (июль 2015 г.). «Сверхкомпактный прицел-редуктор» . Океанский навигатор (227). Икс, Ханно. Портленд, Мэн, США: Navigator Publishing LLC: 42–43. ISSN 0886-0149 . Проверено 7 ноября 2015 г.

[Weisstein_havercos-35] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаверкозин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.

[Vlijmen_2005-36] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ван Влеймен, Оскар (28 декабря 2005 г.) [2003]. «Гониология» . Единицы измерения, константы и преобразования . Архивировано из оригинала 28 октября 2009 г. Проверено 28 ноября 2015 г.

[Weisstein_hacovercos-37] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Хаковеркозин» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 29 марта 2014 г. Проверено 6 ноября 2015 г.

[OED_Sagitta-38] Перейти обратно: ^а ^б ^с «Сагитта» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации .)

[Boyer_1991-39] Перейти обратно: ^а ^б ^с Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута К. (6 марта 1991 г.) [1968]. История математики (2-е изд.). Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons . ISBN 978-0471543978 . 0471543977 . Проверено 10 августа 2019 г.

[Miller_2007-40] Миллер, Джефф (10 сентября 2007 г.). «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов (V)» . Нью-Порт-Ричи, Флорида, США. Архивировано из оригинала 5 сентября 2015 г. Проверено 10 ноября 2015 г.

[Ríos_1795-41] де Мендоса-и-Риос, Джозеф (1795). Память о некоторых новых методах расчета долготы по лунным расстояниям: и применении ее теории к решению других навигационных задач (на испанском языке). Мадрид, Испания: Имрента Реал.

[RCA_1945-42] Перейти обратно: ^а ^б ^с Арчибальд, Раймонд Клэр (1945). «Недавние математические таблицы: 197 [C, D]. — Натуральные и логарифмические гаверсины …» Математические таблицы и другие средства вычислений . 1 (11): 421–422. дои : 10.1090/S0025-5718-45-99080-6 .

[Andrew_1805-43] Эндрю, Джеймс (1805). Астрономические и морские таблицы с правилами определения широты и долготы мест . Том. Т. XIII. Лондон. стр. 29–148. (7-значная таблица гаверсинусов от 0° до 120° с шагом 10 дюймов.)

[OED_1989_Haversine-44] Перейти обратно: ^а ^б «гаверсин». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.

[White_1926-02-45] Уайт, JD (февраль 1926 г.). «(неизвестное название)». Морской журнал . (Примечание. Согласно Каджори, 1929 г. , в этом журнале обсуждается происхождение гаверсинусов.)

[White_1926-07-46] Уайт, JD (июль 1926 г.). «(неизвестное название)». Морской журнал . (Примечание. Согласно Каджори, 1929 г. , в этом журнале обсуждается происхождение гаверсинусов.)

[Farley_1856-47] Фарли, Ричард (1856). Натуральные вертикальные синусы от 0 до 125° и логарифмические вертикальные синусы от 0 до 135° . Лондон. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) ( таблица гаверсинусов от 0° до 125°/135°.)

[Hannyngton_1876-48] Хэннингтон, Джон Колфилд (1876). Хаверсины, натуральные и логарифмические, используемые при вычислении лунных расстояний для Морского альманаха . Лондон. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) (7-местная таблица гаверсинусов от 0° до 180°, лог. гаверсинусов с интервалом 15", натур. гаверсинусов с интервалом 10".)

[Stark_1997-49] Старк, Брюс Д. (1997) [1995]. Таблицы Старка для определения лунного расстояния и определения всемирного времени путем секстантных наблюдений, включая удобный способ отточить навыки небесной навигации на суше (2-е изд.). Публикации Звездного пути. ISBN 978-0914025214 . 091402521X . Проверено 2 декабря 2015 г. (Примечание. Содержит таблицу гауссовских логарифмов lg (1+10 ^-х).)

[Kalivoda_2003-50] Каливода, Ян (30 июля 2003 г.). «Брюс Старк - Таблицы для определения лунного расстояния и определения времени по Гринвичу с помощью секстантных наблюдений (1995, 1997)» (обзор). Прага, Чехия. Архивировано из оригинала 12 января 2004 г. Проверено 2 декабря 2015 г. [2] [3]

[Wildberger_2005-51] Вильдбергер, Норман Джон (2005). Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии (1-е изд.). Wild Egg Pty Ltd. Австралия: ISBN 0-9757492-0-Х . Проверено 1 декабря 2015 г.

[Weisstein_vers-52] Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Версина» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 31 марта 2010 г. Проверено 5 ноября 2015 г.

[Simpson_2001-53] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Симпсон, Дэвид Г. (08 ноября 2001 г.). «AUXTRIG» ( исходный код на Фортране 90 ). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА . Архивировано из оригинала 16 июня 2008 г. Проверено 26 октября 2015 г.

[Doel_2010-54] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ван ден Доэл, Кес (25 января 2010 г.). "jass.utils Класс Fmath" . JASS — Java-система синтеза аудио . 1.25. Архивировано из оригинала 2 сентября 2007 г. Проверено 26 октября 2015 г.

[Plus_hav-55] Перейти обратно: ^а ^б mf344 (04 июля 2014 г.). «Потерянный, но прекрасный: Гаверсинус» . Плюс журнал . maths.org. Архивировано из оригинала 18 июля 2014 г. Проверено 5 ноября 2015 г. {{cite news}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[Skvarc_1999-56] Перейти обратно: ^а ^б Скварц, Юре (1 марта 1999 г.). «identify.py: клиент asteroid_server, который идентифицирует измерения в формате MPC» . Fitsblink ( исходный код Python ). Архивировано из оригинала 20 ноября 2008 г. Проверено 28 ноября 2015 г.

[Skvarc_2014-57] Перейти обратно: ^а ^б Скварц, Юре (27 октября 2014 г.). «astrotrig.py: Функции, связанные с астрономической тригонометрией» ( исходный код Python ). Любляна, Словения: Телескоп Вега, Люблянский университет . Архивировано из оригинала 28 ноября 2015 г. Проверено 28 ноября 2015 г.

[Ballew_2007-58] Баллью, Пэт (08 февраля 2007 г.) [2003]. «Версина» . Математические слова, страница 4 . Версин. Архивировано из оригинала 8 февраля 2007 г. Проверено 28 ноября 2015 г.

[Weisstein_ahav-59] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Обратный гаверсинус» . Математический мир . Wolfram Research, Inc. Архивировано из оригинала 8 июня 2008 г. Проверено 5 октября 2015 г.

[Wolfram_ahav-60] Перейти обратно: ^а ^б «Обратный Хаверсинус» . Язык и система Wolfram: Центр документации . 7.0. 2008 год . Проверено 5 ноября 2015 г.

[Woodward_1978-61] Вудворд, Эрнест (декабрь 1978 г.). Геометрия — плоскость, тело и аналитическое решение задач . Руководства по решению проблем для решения проблем. Ассоциация исследований и образования (REA). п. 359. ИСБН 978-0-87891-510-1 .

[Needham_1959-62] Нидхэм, Ноэль Джозеф Теренс Монтгомери (1959). Наука и цивилизация в Китае: математика и науки о небе и земле . Том. 3. Издательство Кембриджского университета . п. 39. ИСБН 9780521058018 .

[Boardman_1930-63] Бордман, Гарри (1930). Таблица для использования при вычислении дуг, хорд и версин . Чикагская мостовая и железная компания . п. 32.

[Nair_1972-64] Наир, П.Н. Бхаскаран (1972). «Системы измерения пути - концепции и методы». Рейл Интернешнл . 3 (3). Международная ассоциация железнодорожных конгрессов, Международный союз железных дорог : 159–166. ISSN 0020-8442 . OCLC 751627806 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[номер 1]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[номер 2]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

v т и Тригонометрические и гиперболические функции
Группы	Тригонометрический Синус и косинус Обратная тригонометрическая гиперболический Обратная гиперболическая
Другой	Его версия Дайте им высохнуть Джья, коти-джья и уткрама-джья Атан2