Распределение повышенного косинуса

Повышенный косинус

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\mu \,$( настоящий ) $s>0\,$( настоящий )
Поддерживать	$x\in [\mu -s,\mu +s]\,$
PDF	${\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,$
CDF	${\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]$
Иметь в виду	$\mu \,$
медиана	$\mu \,$
Режим	$\mu \,$
Дисперсия	$s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,$
асимметрия	$0\,$
Избыточный эксцесс	${\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}=-0.59376\ldots \,$
МГФ	${\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t}$
CF	${\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}$

В теории вероятностей и статистике представляет распределение приподнятого косинуса собой непрерывное распределение вероятностей, поддерживаемое на интервале $[\mu -s,\mu +s]$. Функция плотности вероятности (PDF)

$f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right){\text{ for }}\mu -s\leq x\leq \mu +s$

и ноль в противном случае. Кумулятивная функция распределения (CDF) равна

$F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]$

для $\mu -s\leq x\leq \mu +s$ и ноль для $x<\mu -s$ и единство ради $x>\mu +s$.

Моменты распределения приподнятого косинуса в общем случае несколько сложны, но значительно упрощены для стандартного распределения приподнятого косинуса. Стандартное распределение приподнятого косинуса — это просто распределение приподнятого косинуса с $\mu =0$ и $s=1$. Поскольку стандартное распределение приподнятого косинуса является четной функцией , нечетные моменты равны нулю. Четные моменты определяются следующим образом:

${\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{2n}\operatorname {hvc} (x\pi )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{1+2n}}\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\end{aligned}}$

где $\,_{1}F_{2}$ — обобщенная гипергеометрическая функция .

См. также

• функция Ханна
• Гаверкосинус (hvc)

Ссылки

• Хорст Ринне (2010). «Распределения в масштабе местоположения – линейная оценка и построение вероятностных графиков с использованием MATLAB» (PDF) . п. 116 . Проверено 16 ноября 2012 г.