Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии

Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии — это книга математика Нормана Дж. Вильдбергера, вышедшая в 2005 году, о предлагаемом альтернативном подходе к евклидовой геометрии и тригонометрии , называемом рациональной тригонометрией . В книге предлагается заменить обычные основные величины тригонометрии, евклидово расстояние и угол , на квадрат расстояния и квадрат синуса угла соответственно. Это логически эквивалентно стандартному развитию (поскольку объемы замещения могут быть выражены через стандартные и наоборот). Автор утверждает, что его подход имеет некоторые преимущества, например, отсутствие необходимости использовать иррациональные числа .

Книга была «по сути самостоятельно издана». Вильдбергером через его издательскую компанию Wild Egg. Формулы и теоремы в книге считаются правильной математикой, но утверждения о практическом или педагогическом превосходстве в первую очередь продвигаются самим Вильдбергером и получили неоднозначные отзывы.

Обзор

Основная идея « Божественных пропорций» состоит в том, чтобы заменить расстояния квадратом евклидова расстояния , которое Вильдбергер называет квадрантом , и заменить угловые меры квадратами их синусов, которые Вильдбергер называет разбросом между двумя линиями. «Божественные пропорции» определяют обе эти концепции непосредственно из декартовых координат точек, определяющих отрезок линии или пару пересекающихся линий. Определенные таким образом, они являются рациональными функциями этих координат и могут быть рассчитаны напрямую без необходимости извлекать квадратные корни или обратные тригонометрические функции, необходимые при вычислении расстояний или угловых мер.

Для Вильдбергера, финитиста , эта замена имеет предполагаемое преимущество, заключающееся в том, что она позволяет избежать концепций пределов и фактической бесконечности, используемых при определении действительных чисел , которые Вильдбергер считает необоснованными. Это также позволяет напрямую распространить аналогичные концепции с рациональных чисел на другие системы счисления, такие как конечные поля, используя те же формулы для квадрации и распространения. Кроме того, этот метод позволяет избежать неоднозначности двух дополнительных углов, образованных парой линий, поскольку оба угла имеют одинаковый разброс. Утверждается, что эта система более интуитивна и ее легче расширить из двух до трех измерений. Однако в обмен на эти преимущества теряется аддитивность расстояний и углов: например, если отрезок разделен на две части, его длина равна сумме длин двух частей, но объединение четырехугольников частей равнозначно сумме длин двух частей. сложнее и требует квадратных корней.

Организация и темы

«Божественные пропорции» разделены на четыре части. В части I представлен обзор использования квадранта и разброса для замены расстояния и угла, а также приводятся аргументы в пользу их преимуществ. Часть II формализует утверждения, высказанные в части I, и строго их доказывает. Вместо того, чтобы определять линии как бесконечные множества точек, они определяются их однородными координатами , которые можно использовать в формулах для проверки инцидентности точек и линий. Как и синус, косинус и тангенс заменяются рациональными эквивалентами, называемыми «крестом» и «поворотом», а «Божественные пропорции» разрабатывают различные аналоги тригонометрических тождеств , включающих эти величины. включая версии теоремы Пифагора , закона синусов и закона косинусов .

В части III разрабатывается геометрия треугольников и конических сечений с использованием инструментов, разработанных в двух предыдущих частях. Хорошо известные результаты, такие как формула Герона для вычисления площади треугольника по длинам его сторон или теорема о вписанном угле в виде равенства углов, образуемых хордой окружности из других точек окружности, переформулируются в терминах квадранта и разброса и тем самым обобщается на произвольные поля чисел. Наконец, в части IV рассматриваются практические применения в физике и геодезии, а также развиваются расширения многомерного евклидова пространства и полярных координат .

Аудитория

«Божественные пропорции» не требуют от своих читателей большого математического образования, но многочисленные длинные формулы, частое рассмотрение конечных полей и (после части I) акцент на математической строгости, вероятно, будут препятствиями для популярной математической аудитории. Вместо этого он в основном написан для учителей математики и исследователей. Однако его также могут читать студенты-математики, и он содержит упражнения, которые можно использовать в качестве основы для курса математики.

Критический прием

Особенностью книги, которая была наиболее положительно встречена рецензентами, была ее работа, распространяющая результаты по геометрии расстояний и углов на конечные поля. Рецензент Лаура Уисвелл нашла эту работу впечатляющей и была очарована тем результатом, что наименьшее конечное поле, содержащее правильный пятиугольник, равно $\mathbb {F} _{19}$. Михаэль Генле называет распространение геометрии треугольника и конического сечения на конечные поля в части III книги «элегантной теорией большой общности». и Уильям Баркер также одобрительно отзывается об этом аспекте книги, называя его «особенно новым» и, возможно, открывающим новые направления исследований.

Уисвелл поднимает вопрос о том, насколько многие из подробных результатов, представленных в этой работе без указания авторства, на самом деле являются новыми. В этом свете Михаэль Хенле отмечает, что использование квадрата евклидова расстояния «часто оказывалось удобным в других местах»; например, он используется в геометрии расстояний , статистике наименьших квадратов и выпуклой оптимизации . Джеймс Франклин отмечает, что для пространств трех или более измерений, традиционно моделируемых с помощью линейной алгебры , использование Божественных пропорций не сильно отличается от стандартных методов, включающих скалярное произведение вместо тригонометрических функций.

Преимущество методов Вильдбергера, отмеченное Генле, состоит в том, что, поскольку они включают только простую алгебру, доказательства легко проследить и легко проверить на компьютере. Однако он предполагает, что утверждения книги о большей простоте ее общей теории основаны на ложном сравнении, в котором квадрантность и размах сравниваются не с соответствующими классическими концепциями расстояний, углов и синусов, а с гораздо более широким набором инструментов из классической теории. тригонометрия. Он также отмечает, что для студента с научным калькулятором формулы, избегающие квадратных корней и тригонометрических функций, не являются проблемой. и Баркер добавляет, что новые формулы часто включают в себя большее количество отдельных этапов расчета. Хотя многие рецензенты считали, что сокращение времени, необходимого для обучения студентов тригонометрии, было бы весьма желательным, Пол Кэмпбелл скептически относится к тому, что эти методы действительно ускорят обучение. Джерри Леверша сохраняет непредвзятость, написав: «Будет интересно увидеть некоторые из учебников, предназначенных для школьников, которые [Вильдбергер] обещал выпустить, и… контролируемые эксперименты с участием студентов-подопытных морских свинок». Однако эти учебники и эксперименты не были опубликованы.

Уисвелла не убеждают утверждения о том, что традиционная геометрия имеет фундаментальные недостатки, которых эти методы избегают. Соглашаясь с Уисвеллом, Баркер отмечает, что могут быть и другие математики, разделяющие философские подозрения Вильдбергера относительно бесконечности, и что эта работа должна представлять для них большой интерес.

Последний вопрос, поднятый многими рецензентами, — это инерция: предположим ради аргументации, что эти методы лучше, достаточно ли они лучше, чтобы оправдать большие индивидуальные усилия по повторному изучению геометрии и тригонометрии в этих терминах, а также институциональные усилия по переучению геометрии и тригонометрии в этих терминах, а также институциональные усилия по переосмыслению. -работаете в школьной программе, чтобы использовать их вместо классической геометрии и тригонометрии? Хенле, Баркер и Леверша приходят к выводу, что в книге это не отражено. но Сандра Арлингхаус видит в этой работе возможность для таких областей, как ее математическая география, «которые относительно мало инвестировали в традиционную институциональную жесткость», чтобы продемонстрировать перспективность такой замены.

См. также

• Конфигурация Перля — конечный набор точек и линий на евклидовой плоскости, который невозможно представить в рациональных координатах.